Abelisierung

Die Abelisierung (auch Abelianisierung o​der Faktorkommutatorgruppe) i​st eine Konstruktion a​us dem mathematischen Teilgebiet d​er Gruppentheorie. Die Abelisierung e​iner Gruppe i​st in gewisser Hinsicht d​ie beste Approximation d​urch eine abelsche Gruppe.

Definition

Die Faktorgruppe

${\displaystyle G^{\mathrm {ab} }=G/K(G)}$

einer Gruppe ${\displaystyle G}$ nach ihrer Kommutatoruntergruppe ${\displaystyle K(G)}$ wird Abelisierung von ${\displaystyle G}$ genannt. Der Begriff Abelisierung wird ebenfalls für die kanonische Surjektion

${\displaystyle G\to G^{\mathrm {ab} }}$

verwendet.

Eigenschaften

• Die Abelisierung ist eine abelsche Gruppe; die Abelisierung einer abelschen Gruppe ist die Gruppe selbst.
• Ist ${\displaystyle G_{1}\to G_{2}}$ ein Gruppenhomomorphismus, so induziert die Verkettung ${\displaystyle G_{1}\to G_{2}\to G_{2}^{\mathrm {ab} }}$ einen kanonischen Homomorphismus ${\displaystyle G_{1}^{\mathrm {ab} }\to G_{2}^{\mathrm {ab} }}$; die Abelisierung ist funktoriell.
• Die Abelisierung ist linksadjungiert zum Vergissfunktor von der Kategorie der abelschen Gruppen in die Kategorie aller Gruppen, d. h. ist ${\displaystyle G}$ eine beliebige Gruppe und ${\displaystyle A}$ eine abelsche Gruppe, so induziert die kanonische Abbildung ${\displaystyle G\to G^{\mathrm {ab} }}$ eine Bijektion

${\displaystyle \operatorname {Hom} (G^{\mathrm {ab} },A)\cong \operatorname {Hom} (G,A).}$

Anders gesagt: Jeder Homomorphismus in eine abelsche Gruppe faktorisiert über die Abelisierung.

• Insbesondere haben ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle G^{\mathrm {ab} }}$ dieselben Charaktere.
• Die Abelisierung einer Gruppe ${\displaystyle G}$ ist kanonisch dual zur Gruppenkohomologie

${\displaystyle H^{2}(G,\mathbb {Z} )\cong H^{1}(G,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )\cong \operatorname {Hom} (G,\mathbb {Q} /\mathbb {Z} ).}$

Beispiele

• Ist eine einfache Gruppe nicht abelsch, so ist ihre Abelisierung die triviale Gruppe.
• Für einen wohlpunktierten wegzusammenhängenden topologischen Raum ${\displaystyle X}$ ist die erste Homologiegruppe ${\displaystyle H_{1}(X,\mathbb {Z} )}$ die Abelisierung der Fundamentalgruppe.[1]
• Die Klassenkörpertheorie beschäftigt sich mit der Beschreibung der Abelisierung der absoluten Galoisgruppe ${\displaystyle \mathrm {Gal} ({\bar {K}}/K)}$ eines Zahlkörpers ${\displaystyle K}$.

Verlagerung

Ist ${\displaystyle H}$ eine Untergruppe einer endlichen Gruppe ${\displaystyle G}$, so gibt es einen kanonischen Homomorphismus

${\displaystyle \operatorname {Ver} \colon G^{\mathrm {ab} }\to H^{\mathrm {ab} },}$

der Verlagerung genannt wird. Sie i​st dual z​ur Korestriktion

${\displaystyle \operatorname {cor} \colon H^{2}(H,\mathbb {Z} )\to H^{2}(G,\mathbb {Z} ),}$

lässt sich aber auch explizit beschreiben: Es sei ${\displaystyle s\colon H\backslash G\to G}$ ein Schnitt der kanonischen Projektion (kein Homomorphismus, lediglich eine Abbildung). Dann ist die Verlagerung gegeben durch

${\displaystyle \operatorname {Ver} (gK(G))=\prod _{c\in H\backslash G}s(c)gs(cg)^{-1}K(H)\qquad (g\in G).}$[2]

Quellen

1. J. P. May: A Concise Course in Algebraic Topology. University of Chicago Press, Chicago 1999. ISBN 0-226-51183-9: Abschnitte 14.4 und 15.1
2. J. Neukirch, A. Schmidt, K. Wingberg: Cohomology of number fields. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York 1999, ISBN 3-540-66671-0: Abschnitt I.5, S. 52f.