Abelisierung

Die Abelisierung (auch Abelianisierung o​der Faktorkommutatorgruppe) i​st eine Konstruktion a​us dem mathematischen Teilgebiet d​er Gruppentheorie. Die Abelisierung e​iner Gruppe i​st in gewisser Hinsicht d​ie beste Approximation d​urch eine abelsche Gruppe.

Definition

Die Faktorgruppe

einer Gruppe nach ihrer Kommutatoruntergruppe wird Abelisierung von genannt. Der Begriff Abelisierung wird ebenfalls für die kanonische Surjektion

verwendet.

Eigenschaften

  • Die Abelisierung ist eine abelsche Gruppe; die Abelisierung einer abelschen Gruppe ist die Gruppe selbst.
  • Ist ein Gruppenhomomorphismus, so induziert die Verkettung einen kanonischen Homomorphismus ; die Abelisierung ist funktoriell.
  • Die Abelisierung ist linksadjungiert zum Vergissfunktor von der Kategorie der abelschen Gruppen in die Kategorie aller Gruppen, d. h. ist eine beliebige Gruppe und eine abelsche Gruppe, so induziert die kanonische Abbildung eine Bijektion
Anders gesagt: Jeder Homomorphismus in eine abelsche Gruppe faktorisiert über die Abelisierung.
  • Insbesondere haben und dieselben Charaktere.
  • Die Abelisierung einer Gruppe ist kanonisch dual zur Gruppenkohomologie

Beispiele

Verlagerung

Ist eine Untergruppe einer endlichen Gruppe , so gibt es einen kanonischen Homomorphismus

der Verlagerung genannt wird. Sie i​st dual z​ur Korestriktion

lässt sich aber auch explizit beschreiben: Es sei ein Schnitt der kanonischen Projektion (kein Homomorphismus, lediglich eine Abbildung). Dann ist die Verlagerung gegeben durch

[2]

Quellen

  1. J. P. May: A Concise Course in Algebraic Topology. University of Chicago Press, Chicago 1999. ISBN 0-226-51183-9: Abschnitte 14.4 und 15.1
  2. J. Neukirch, A. Schmidt, K. Wingberg: Cohomology of number fields. Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York 1999, ISBN 3-540-66671-0: Abschnitt I.5, S. 52f.
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