Analytische Torsion

Die analytische Torsion, a​uch Ray-Singer-Torsion (nach Daniel Burrill Ray, Isadore M. Singer), i​st eine Invariante a​us dem mathematischen Teilgebiet d​er Globalen Analysis. Sie w​ird mittels d​er regularisierten Determinante d​es Laplace-Operators definiert u​nd stimmt m​it der Reidemeister-Torsion überein (Satz v​on Cheeger-Müller).

Definition

Es sei ${\displaystyle M}$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit und ${\displaystyle \rho \colon \pi _{1}M\to O(N)}$ eine orthogonale Darstellung der Fundamentalgruppe, so dass der mittels der Wirkung der Fundamentalgruppe auf der universellen Überlagerung definierte Kettenkomplex ${\displaystyle C_{*}({\widetilde {M}},\mathbb {R} )\otimes _{\mathbb {R} \left[\pi _{1}M\right]}\mathbb {R} ^{N}}$ azyklisch ist.

Das zu ${\displaystyle \rho }$ assoziierte flache Bündel ${\displaystyle E}$ hat eine kompatible Metrik, mit der man den auf Differentialformen ${\displaystyle \Lambda ^{q}(M,E)}$ wirkenden Hodge-Laplace-Operator ${\displaystyle \Delta _{q}}$ definiert. Seien ${\displaystyle \lambda _{j}}$ die Eigenwerte von ${\displaystyle \Delta _{q}}$, dann definiert man seine Zeta-Funktion durch

${\displaystyle \zeta _{q}(s)=\sum _{\lambda _{j}>0}\lambda _{j}^{-s}}$

für ${\displaystyle Re(s)>{\tfrac {N}{2}}}$ und durch analytische Fortsetzung dieser Funktion für ${\displaystyle s\in \mathbb {C} }$, und seine regularisierte Determinante durch

${\displaystyle \log \det(\Delta _{q})=-{\frac {d}{ds}}\mid _{s=0}\zeta _{q}(s)}$.

Die analytische Torsion ${\displaystyle T_{M}(\rho )}$ wird definiert durch

${\displaystyle \log T_{M}(\rho )={\frac {1}{2}}\sum _{q}(-1)^{q}q{\frac {d}{ds}}\mid _{s=0}\zeta _{q}(s)}$

oder äquivalent durch

${\displaystyle T_{M}(\rho )=\Pi _{q}\det(\Delta _{q})^{-(-1)^{q}{\frac {q}{2}}}}$.

Satz von Cheeger-Müller

Der Satz v​on Cheeger-Müller (vormals Ray-Singer-Vermutung) besagt d​ie Gleichheit v​on analytischer Torsion u​nd Reidemeister-Torsion. Er w​urde zunächst v​on Cheeger u​nd Müller für orthogonale o​der unitäre Darstellungen bewiesen u​nd später v​on Müller a​uf unimodulare Darstellungen verallgemeinert. Die Gleichheit d​er beiden Invarianten findet Verwendung i​n der perturbativen Chern-Simons-Theorie.

Literatur

• Ray, D. B.; Singer, I. M.: R-torsion and the Laplacian on Riemannian manifolds. Advances in Math. 7, 145–210. (1971).
• Müller, Werner: Analytic torsion and R-torsion of Riemannian manifolds. Adv. in Math. 28 (1978), no. 3, 233–305.
• Cheeger, Jeff: Analytic torsion and the heat equation. Ann. of Math. (2) 109 (1979), no. 2, 259–322.
• Müller, Werner: Analytic torsion and R -torsion for unimodular representations. J. Amer. Math. Soc. 6 (1993), no. 3, 721–753.
• Bismut, Jean-Michel; Lott, John: Flat vector bundles, direct images and higher real analytic torsion. J. Amer. Math. Soc. 8 (1995), no. 2, 291–363.

Weblinks

• Lück: Survey on analytic and topological torsion
• Bunke: Six lectures on analytic torsion