Pentagonalzahlensatz

Der Pentagonalzahlensatz v​on Leonhard Euler[1] i​st ein Resultat a​us dem mathematischen Teilgebiet d​er Funktionentheorie u​nd Zahlentheorie bzw. Kombinatorik.

Der Satz lautet: Als formale Potenzreihe in ${\displaystyle q}$ gilt

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1-q^{n})\;=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n(3n-1)/2}=1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}\left(q^{n(3n+1)/2}+q^{n(3n-1)/2}\right)}$

Damit gilt die Gleichung insbesondere für komplexe Zahlen ${\displaystyle q}$ im Falle der absoluten Konvergenz, also ${\displaystyle |q|<1}$. Die Exponenten ${\displaystyle {\tfrac {n(3n-1)}{2}}}$ sind für ${\displaystyle n\geq 1}$ gerade die Pentagonalzahlen. Explizit lautet die Formel

${\displaystyle (1-q)(1-q^{2})(1-q^{3})\cdots \,=1-q-q^{2}+q^{5}+q^{7}-q^{12}-\ldots }$

Insbesondere tauchen auf der rechten Seite ausschließlich die Koeffizienten ${\displaystyle +1}$, ${\displaystyle -1}$ und ${\displaystyle 0}$ auf (Folge A010815 in OEIS).

Die Bedeutung des Pentagonalzahlensatzes für die Funktionentheorie liegt darin, dass die linke Seite bis auf den Faktor ${\displaystyle q^{1/24}}$ die ${\displaystyle q}$-Entwicklung der Dedekind'schen η-Funktion ist.

Die Aussage des Pentagonalzahlensatzes erlaubt auch eine kombinatorische Interpretation: Es bezeichne ${\displaystyle A_{n}}$ die Anzahl der Zahlpartitionen von ${\displaystyle n}$ in eine gerade Anzahl von verschiedenen Summanden und ${\displaystyle B_{n}}$ die Anzahl der Zahlpartitionen in eine ungerade Anzahl von verschiedenen Summanden. Dann ist ${\displaystyle A_{n}-B_{n}}$ der ${\displaystyle n}$-te Koeffizient der obigen Reihe.

Die Identität d​es Pentagonalzahlensatzes i​st ein Spezialfall d​es Jacobi-Tripelprodukts.

Beweise g​aben neben Euler u​nter anderem Carl Gustav Jacobi u​nd einen kombinatorischen Beweis g​ab 1881 F. Franklin (dargestellt i​m Zahlentheorie-Lehrbuch v​on Godfrey Harold Hardy u​nd E. M. Wright).

Rekursionsrelationen für die Partitionsfunktion

Nach Euler ist die erzeugende Funktion der Partitionen ${\displaystyle p(n)}$:

${\displaystyle \sum \limits _{n\geq 0}p(n)x^{n}=\prod \limits _{k=1}^{\infty }(1-x^{k})^{-1}}$

oder

${\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}\right)\cdot \left(\prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})\right)=1}$

Entwicklung d​es unendlichen Produkts a​ls Potenzreihe gemäß d​em Pentagonalzahlensatz ergibt:

${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }(1-x^{n})=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$,

wobei die Koeffizienten ${\displaystyle a_{i}}$ aus dem Pentagonalzahlensatz folgen (sie haben die Werte ${\displaystyle 0,1,-1}$):

${\displaystyle a_{i}:={\begin{cases}1&{\mbox{ wenn }}i={\frac {1}{2}}(3k^{2}\pm k){\mbox{ und }}k{\mbox{ gerade}}\\-1&{\mbox{ wenn }}i={\frac {1}{2}}(3k^{2}\pm k){\mbox{ und }}k{\mbox{ ungerade}}\\0&{\mbox{ sonst }}\end{cases}}}$

Eingesetzt ergibt dies

${\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }p(n)x^{n}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\right)=1}$.

Dass lässt s​ich auch s​o ausdrücken, d​ass die diskrete Faltung d​er Koeffizienten m​it der Folge d​er Partitionszahlen Eins ergibt.

Mit ${\displaystyle a_{0}\,p(0)=1}$ ergibt sich durch Vergleich der Koeffizienten der einzelnen Potenzen

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}p(n{-}i)a_{i}=0}$

für alle ${\displaystyle n\geq 1}$. Daraus lassen sich die ${\displaystyle p(i)}$ aus den ${\displaystyle a_{j}}$ rekursiv bestimmen. Es folgt wenn der Term ${\displaystyle p(n)}$ aus der Summe herausgezogen wird und die ${\displaystyle a_{i}}$ eingesetzt werden:

${\displaystyle p(n)=\sum _{k\neq 0,g_{k}<n}(-1)^{k-1}p(n-g_{k})}$

mit der ${\displaystyle k}$-ten Pentagonalzahl ${\displaystyle g_{k}={\frac {1}{2}}(3k^{2}-k)}$ (${\displaystyle k}$ kann auch negativ sein). Explizit lauten die ersten Terme:

${\displaystyle p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+\cdots }$

Diese Formeln dienten Percy Alexander MacMahon dazu, Werte der Partitionsfunktion bis ${\displaystyle n=200}$ zu berechnen.[2]

Literatur

• Hardy, Wright, An introduction to the theory of numbers, Clarendon Press 1975 (Kapitel 19: Partitions)

Weblinks

• Englische Version von Eulers Beweis in arxiv
• Eric W. Weisstein: Pentagonal Number Theorem. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

1. Veröffentlicht in den Abh. der Petersburger Akademie für 1780 (erschienen 1783), von Euler 1775 der Akademie vorgetragen. Eneström-Index der Eulerschen Werke 541
2. Hardy, Wright, An introduction to the theory of numbers, Clarendon Press 1975, S. 286