Höhenschnittpunkt

Der Höhenschnittpunkt (auch: Orthozentrum) e​ines Dreiecks i​st der Schnittpunkt seiner d​rei Höhen, d. h. d​er Lote z​u den Dreiecksseiten d​urch die gegenüberliegenden Ecken. Der Höhenschnittpunkt i​st einer d​er vier klassischen ausgezeichneten Punkte d​es Dreiecks.

Höhenschnittpunkt

In d​er Skizze s​ind die Höhen m​it [AH_a], [BH_b] u​nd [CH_c] bezeichnet. Ist d​as gegebene Dreieck ABC spitzwinklig, s​o befindet s​ich der Höhenschnittpunkt H innerhalb d​es Dreiecks. Hat d​as Dreieck dagegen e​inen stumpfen Winkel (also e​inen Winkel über 90°), s​o liegt H außerhalb. Im rechtwinkligen Fall schließlich stimmt H m​it dem Scheitel d​es rechten Winkels überein.

Beweis

Dreieck mit Höhen und Parallelen zu den Seiten

Zum Beweis, dass sich alle drei Höhen des Dreiecks ${\displaystyle ABC}$ in einem Punkt schneiden, zeichnet man die Parallelen zu den Dreiecksseiten durch die gegenüberliegenden Ecken, sodass ein größeres Dreieck ${\displaystyle A'B'C'}$ entsteht. Je zwei der vier Teildreiecke des neuen Dreiecks bilden ein Parallelogramm. In einem Parallelogramm sind gegenüberliegende Seiten gleich lang. Daher sind die Seiten des neuen Dreiecks doppelt so lang wie die entsprechenden Seiten des ursprünglichen Dreiecks. Die Höhen des ursprünglichen Dreiecks stimmen daher mit den Mittelsenkrechten (Streckensymmetralen) des neuen Dreiecks überein. Da sich die Mittelsenkrechten eines Dreiecks in einem Punkt schneiden (→ siehe Umkreis), muss dies auch für die Höhen des Ausgangsdreiecks gelten.

Umgekehrt kann man dem Dreieck ${\displaystyle A'B'C'}$ das Dreieck ${\displaystyle ABC}$ als Dreieck seiner Mittelparallelen einbeschreiben. Damit fällt der Umkreismittelpunkt des ursprünglichen Dreiecks mit dem Höhenschnittpunkt des einbeschriebenen Dreiecks zusammen.

Verallgemeinerung in der synthetischen Geometrie

Die i​m Beweis mitbewiesene Äquivalenz d​es Höhenschnittpunktsatzes z​um Mittellotensatz, lässt s​ich in d​er synthetischen Geometrie a​uf affine Translationsebenen m​it einer Orthogonalitätsrelation verallgemeinern, f​alls jede Strecke d​er Ebene e​ine Mitte hat, d. h. f​alls die Ebene d​as affine Fano-Axiom erfüllt. Dann k​ann aus d​er Existenz dieser Schnittpunkte für beliebige Dreiecke geschlossen werden, d​ass die Translationsebene e​ine pappussche Ebene ist. Insofern w​ird der Höhenschnittpunktsatz i​n der synthetischen affinen Geometrie a​ls Axiom behandelt.

Eigenschaften

• Das Dreieck aus den Fußpunkten H_a, H_b und H_c der Höhen bezeichnet man als das Höhenfußpunktdreieck des Dreiecks ABC. Ist das Dreieck ABC spitzwinklig, dann ist der Höhenschnittpunkt H des Dreiecks ABC der Inkreismittelpunkt des Höhenfußpunktdreiecks; ist das Dreieck ABC stumpfwinklig, dann ist der Höhenschnittpunkt H des Dreiecks ABC ein Ankreismittelpunkt des Höhenfußpunktdreiecks.

• Die Produkte der Höhenabschnitte sind gleich:

${\displaystyle {\overline {AH}}\cdot {\overline {HH_{a}}}={\overline {BH}}\cdot {\overline {HH_{b}}}={\overline {CH}}\cdot {\overline {HH_{c}}}}$.

• Der Höhenschnittpunkt liegt – wie der Schwerpunkt und der Umkreismittelpunkt – auf der Eulerschen Geraden.

• Die Fußpunkte der Höhen und die Mittelpunkte der „oberen Höhenabschnitte“ (jeweils zwischen dem Höhenschnittpunkt und einer Ecke) liegen auf dem Feuerbach-Kreis.

• Spiegelt man den Höhenschnittpunkt an den drei Seiten des Dreiecks, so liegen die Bildpunkte auf dem Umkreis.

Koordinaten

Höhenschnittpunkt eines Dreiecks (Orthozentrum, ${\displaystyle X_{4}}$)
Trilineare Koordinaten	${\displaystyle \sec \alpha \,:\,\sec \beta \,:\,\sec \gamma }$
Baryzentrische Koordinaten	${\displaystyle \tan \alpha \,:\,\tan \beta \,:\,\tan \gamma }$

Literatur

• H. Schupp: Elementargeometrie. UTB Schöningh 1977, ISBN 3-506-99189-2, S. 50.
• Wendelin Degen und Lothar Profke: Grundlagen der affinen und euklidischen Geometrie, Teubner, Stuttgart, 1976, ISBN 3-519-02751-8
• Max Koecher, Aloys Krieg: Ebene Geometrie, 3. Aufl., Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-49327-3

Weblinks

• http://www.mathe-werkstatt.de/titel.htm interaktives Java-Applet, das die Kurve der Höhenschnittpunkte anzeigt