Projektiv-metrische Geometrie

Eine projektiv-metrische Geometrie i​st eine mindestens zweidimensionale projektive Geometrie über e​inem Körper m​it einer metrischen Zusatzstruktur. Durch d​iese zusätzliche Struktur k​ann man d​ie „Orthogonalitätsrelation“ e​iner metrischen absoluten Geometrie i​n dem projektiven Raum beschreiben, i​n den s​ich die metrische absolute Geometrie einbetten lässt. Zugleich zeichnet d​iese Zusatzstruktur e​ine bestimmte Untergruppe i​n der Gruppe a​ller Projektivitäten d​es Raumes aus: Sie i​st die Invarianz- o​der Verträglichkeitsgruppe d​er Polarität bzw. Polarinvolution, d​urch die d​ie Orthogonalität d​er nichteuklidischen bzw. euklidischen Geometrie i​m projektiven Raum dargestellt wird.

In z​wei Hauptfällen d​er absoluten Geometrie, d​er elliptischen Geometrie u​nd der euklidischen Geometrie bestimmt d​er projektive Raum zusammen m​it der „polaren Struktur“ d​ie eingebettete Geometrie eindeutig. Nur i​m Falle d​er elliptischen Geometrie stellt d​er projektive Raum selbst m​it seiner projektiven Polarität e​in Modell d​er absoluten Geometrie dar.

Die projektiv-metrische Geometrie i​st im folgenden Sinn reichhaltiger a​ls die metrische absolute Geometrie: Nicht z​u jedem projektiv-metrischen Raum existiert e​ine absolute Geometrie.

Andererseits i​st die projektiv-metrische Geometrie „vergesslich“: Für d​en hyperbolischen Hauptfall u​nd alle Nebenfälle, z. B. die halbelliptischen Ebenen, lässt s​ich die ursprüngliche metrische Ebene i​m Allgemeinen n​ur dann n​ach der Einbettung b​is auf Isomorphie eindeutig zurückgewinnen, w​enn man n​eben der Invarianzgruppe[1], d​ie durch d​ie polare Struktur eindeutig bestimmt ist, a​uch noch e​in bestimmtes Erzeugendensystem dieser Invarianzgruppe, d​as in d​er metrischen Ebene d​ie senkrechten Achsenspiegelungen u​nd die Geraden d​er Geometrie repräsentiert, f​est hält.

Definitionen und Grundbegriffe im ebenen Fall

Die Grundbegriffe werden hier zunächst für die Ebene dargestellt: Es sei ${\displaystyle K}$ ein Körper, ${\displaystyle \operatorname {char} K\neq 2}$ und ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}(K)}$ die projektive Ebene über ${\displaystyle K}$, ${\displaystyle V=K^{3}}$ der zugehörige Koordinatenvektorraum. Die genannte Voraussetzung, dass die Charakteristik der betrachteten Körper nicht 2 ist, wird in diesem Zusammenhang (oft stillschweigend) gemacht, weil sonst Spiegelungen nicht sinnvoll definiert werden können.

Symmetrische Bilinearform und Polarinvolution/Polarität

Auf dem Koordinatenvektorraum sei eine symmetrische Bilinearform ${\displaystyle B:V\times V\rightarrow K}$ gegeben. Diese lässt sich in ${\displaystyle K^{3}}$ durch eine symmetrische Matrix ${\displaystyle A}$ darstellen: ${\displaystyle B(y,x)=y^{T}Ax}$.

1. Singulärer Fall: Hat die Matrix ${\displaystyle A}$ den Rang 2, so ist durch den Kern der linearen Abbildung ${\displaystyle V\rightarrow V;x\mapsto Ax}$ das Radikal der symmetrischen Bilinearform gegeben, dies ist dann ein eindimensionaler Unterraum ${\displaystyle \langle x_{R}\rangle }$ von ${\displaystyle V}$.
2. Nichteuklidischer, ordinärer Fall: Hat die Matrix ${\displaystyle A}$ den Vollrang 3, ist also regulär, dann beschreibt die lineare Abbildung ${\displaystyle V\rightarrow V;x\mapsto (Ax)^{T}}$ die Punktabbildung einer projektiven Polarität auf ${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}(K)}$.[2]

Für den singulären Fall 1 und vor allem für die höherdimensionalen Verallgemeinerungen dieses Falles ist es praktisch[3], in allen Fällen die eindimensionalen Teilräume von ${\displaystyle V}$ als Geraden der projektiven Ebene zu verwenden und die zweidimensionalen Teilräume als projektive Punkte. Diese Konvention ist dual zu dem Vorgehen, das sonst meistens üblich ist. Damit ist das Radikal ${\displaystyle \langle x_{R}\rangle }$ im singulären Fall eine durch die Bilinearform ${\displaystyle B}$ ausgezeichnete projektive Ferngerade ${\displaystyle \mathbf {g} _{\infty }}$.

Orthogonalität und Polarinvolution im singulären Fall

Im singulären Fall unterscheidet m​an noch z​wei Unterfälle:

1. Alle isotropen Vektoren sind im Radikal enthalten, formal: ${\displaystyle x^{T}Ax=0\Rightarrow Ax=0}$ oder
2. es existieren isotrope Vektoren, die nicht im Radikal enthalten sind.

Im ersten Fall nennt man die projektive Ebene mit der Bilinearform auf ${\displaystyle V}$ singulär-elliptisch im zweiten singulär-hyperbolisch. Nur im ersten Fall ist die Ebene eine projektiv-metrische Ebene. Man bezeichnet sie in diesem Fall als singuläre projektiv-metrische Ebene.

In beiden singulären Unterfällen gilt nun: Auf dem „Büschel“ der zweidimensionalen Teilräume von ${\displaystyle V}$, die die Ferngerade enthalten (projektiv: der Punktmenge, die mit der Ferngeraden inzidiert), wird durch die Bilinearform ${\displaystyle B}$ eine involutorische Orthogonalitätsabbildung definiert, durch die jedem dieser Teilräume der zu ihm (im Sinn der Bilinearform) senkrechte zweidimensionale Teilraum zugeordnet wird. Damit ist, da sich diese Zuordnung in ${\displaystyle V}$ als lineare Abbildung von Koordinatenvektoren darstellen lässt, eine projektive Polarinvolution auf der projektiven Ferngeraden gegeben.[4]

Eindimensionale Teilräume ${\displaystyle \langle a\rangle ,\langle b\rangle }$ des Vektorraums, die vom Radikal ${\displaystyle \langle x_{R}\rangle }$ verschieden sind, spannen jeweils mit dem Radikal einen zweidimensionalen Unterraum auf. Im projektiven Raum heißt das: Projektive Geraden ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} }$, die von der Ferngeraden ${\displaystyle \mathbf {g} _{\infty }}$ verschieden sind, bestimmen je einen Fernpunkt auf ${\displaystyle \mathbf {g} _{\infty }}$. Solche projektiven Geraden ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} }$ heißen orthogonal, wenn diese zugehörigen zweidimensionalen Unterräume ${\displaystyle \langle a,x_{R}\rangle ,\langle b,x_{R}\rangle }$ (projektiv: die Fernpunkte von ${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} }$) durch die Polarinvolution aufeinander abgebildet werden. Im singulär-elliptischen Fall ist keine projektive Gerade außer der Ferngeraden zu sich selbst senkrecht.

Es wird vereinbart: Der Pol einer projektiven Geraden ${\displaystyle \mathbf {a} \neq \mathbf {g} _{\infty }}$ ist der gemeinsame Fernpunkt aller zu ihr senkrechten Geraden. Die Ferngerade besitzt keinen Pol, Polare werden im singulären Fall nicht definiert.[5]

Polarität in den ordinären Fällen

Eine projektive Ebene mit einer Bilinearform auf ${\displaystyle V}$, die durch eine symmetrische Matrix von Vollrang beschrieben wird, heißt ordinäre projektiv-metrische Ebene. Man unterscheidet analog zum singulären Fall zwei Unterfälle:

1. Nur der Nullvektor ist isotrop, formal: ${\displaystyle x^{T}Ax=0\Rightarrow x=0}$ oder
2. es existieren echt isotrope Vektoren.

Im ersten Unterfall heißt die projektiv-metrische Ebene elliptisch, im zweiten hyperbolisch. In beiden Unterfällen ist für jeden vom Nullvektor verschiedenen Vektor ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle \langle x\rangle ^{\perp }=\{z\in V:x^{T}Az=0\}}$ ein zweidimensionaler Unterraum, projektiv der Pol der durch ${\displaystyle \langle x\rangle }$ dargestellten projektiven Geraden.

1. Im elliptischen Fall gibt es keine echt isotropen Vektoren: Kein projektiver Punkt ${\displaystyle \langle x\rangle ^{\perp }}$ inzidiert mit seiner Polaren ${\displaystyle \langle x\rangle }$.
2. Im hyperbolischen Fall gilt ${\displaystyle x\in \langle x\rangle ^{\perp }}$ für die echt isotropen Vektoren ${\displaystyle x\neq 0}$: Für diese Vektoren inzidiert der projektive Punkt ${\displaystyle \langle x\rangle ^{\perp }}$ mit seiner Polaren ${\displaystyle \langle x\rangle }$.

Eigentlich-orthogonale Gruppe und Achsenspiegelungen im Vektorraum

Die Beschreibung der orthogonalen Gruppe und der Achsenspiegelungen ist von der projektiven Interpretation unabhängig. Der Vektorraum ${\displaystyle V}$ trägt durch die Bilinearform ${\displaystyle B}$ (die einem der drei oben beschriebenen Fälle singulär-elliptisch, elliptisch oder hyperbolisch entsprechen soll) eine Orthogonalitätsstruktur auf der Menge seiner Teilräume im üblichen Sinne der linearen Algebra.[6]

Eine bijektive lineare Abbildung ${\displaystyle \mathbf {S} :V\rightarrow V;x\mapsto Sx}$ heißt orthogonale Transformation, wenn sie mit der Bilinearform ${\displaystyle B}$ verträglich ist: Für alle ${\displaystyle x,y\in V}$ muss dann gelten:

${\displaystyle B(S(x),S(y))=B(x,y)}$, in Matrixschreibweise: ${\displaystyle x^{T}\left(S^{T}AS\right)y=xAy}$.

Die orthogonalen Transformationen bilden eine Gruppe, die orthogonale Gruppe ${\displaystyle O_{3}(K,B)}$. Die orthogonalen Transformationen mit Determinante 1 bilden eine Untergruppe vom Index 2, die eigentlich-orthogonale Gruppe ${\displaystyle O_{3}^{+}(K,B)}$. Proportionale Formen ${\displaystyle r\cdot A,r\in K^{*}}$ definieren die gleiche orthogonale Gruppe.

Für einen nicht-isotropen Vektor ${\displaystyle x\in V}$ ist die lineare Transformation ${\displaystyle \sigma =\sigma _{\langle x\rangle }}$, die jeden zu ${\displaystyle x}$ proportionalen Vektor auf sich und jeden zu ${\displaystyle x}$ senkrechten Vektor auf seinen Gegenvektor abbildet, also mit

${\displaystyle \sigma (u)=u}$ für ${\displaystyle u\in \langle x\rangle \quad }$ und ${\displaystyle \quad \sigma (u)=-u}$ für ${\displaystyle u\in \langle x\rangle ^{\perp }}$

eine involutorische orthogonale Transformation. Sie lässt s​ich mit Hilfe d​er Bilinearform darstellen als

${\displaystyle \sigma (u)=-u+2\cdot {\frac {B(u,x)}{B(x,x)}}\cdot x}$.

Man nennt sie die Achsenspiegelung an ${\displaystyle \langle x\rangle }$.

Die Gruppe ${\displaystyle O_{3}^{+}(K,B)}$ wird von den Achsenspiegelungen ${\displaystyle \sigma _{\langle x\rangle },B(x,x)\neq 0}$ erzeugt. Zur Darstellung eines beliebigen Gruppenelements sind höchstens drei Achsenspiegelungen nötig.[7]

Übersicht über die zusammengehörigen Begriffe der projektiv-metrischen Ebene und des Vektorraums ${\displaystyle K^{3}}$ mit Bilinearform ${\displaystyle B}$:

Projektiv-metrische Ebene	Vektorraum mit Bilinearform
Gerade ${\displaystyle \mathbf {a} }$	Eindimensionaler Teilraum ${\displaystyle \langle a\rangle }$
Punkt ${\displaystyle P}$	Zweidimensionaler Teilraum ${\displaystyle U(p^{T})}$ mit der homogenen Gleichung ${\displaystyle p^{T}}$
${\displaystyle P}$, ${\displaystyle \mathbf {a} }$ inzident	${\displaystyle \langle a\rangle <U(p^{T})}$
${\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} }$ orthogonal	${\displaystyle b\in \langle a\rangle ^{\perp }}$ das heißt ${\displaystyle B(a,b)=0}$
${\displaystyle \mathbf {a} }$ selbstorthogonal/isotrop	${\displaystyle a}$ isotrop das heißt ${\displaystyle B(a,a)=0}$
Spiegelung (involutorische Perspektivität) mit der nicht selbst-orthogonalen Geraden ${\displaystyle \mathbf {a} }$ als Achse und dem Pol von ${\displaystyle \mathbf {a} }$ als Zentrum	Spiegelung ${\displaystyle \sigma _{\langle a\rangle }}$, für ${\displaystyle B(a,a)\neq 0}$

Projektive Beschreibung der orthogonalen Gruppen und Achsenspiegelungen im ebenen Fall

In allen drei Fällen, dem ordinär-elliptischen, ordinär-hyperbolischen und singulär-elliptischen Fall, bestimmt die Bilinearform zu jeder projektiven nicht-isotropen Gerade ${\displaystyle \mathbf {a} }$ einen eindeutigen Pol, der nicht mit der Geraden inzidiert. Es wird definiert: Die Achsenspiegelung ${\displaystyle \sigma _{\mathbf {a} }}$ an der nicht-isotropen Gerade ${\displaystyle \mathbf {a} }$ ist die eindeutig bestimmte involutorische Perspektivität, mit der Geraden ${\displaystyle \mathbf {a} }$ als Achse und ihrem Pol als Zentrum. Nach Konstruktion ist das eine Projektivität.

Die Menge ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ aller so definierten Achsenspiegelungen an nichtisotropen Geraden erzeugt eine Gruppe ${\displaystyle {\mathfrak {G}}=\langle {\mathfrak {S}}\rangle }$, die isomorph zu der oben im Vektorraum definierten eigentlich-orthogonalen Gruppe des jeweiligen Falls ist.[8]

Projektiv-metrische Ebenen in der Absoluten Geometrie

→ Hauptartikel: Metrische absolute Geometrie

Jede metrische Ebene i​m Sinne d​er metrischen absoluten Geometrie bestimmt e​ine projektiv-metrische Idealebene, i​n die s​ie eingebettet werden kann. Diese projektiv-metrische Ebene w​ird dadurch eindeutig, d​ass durch e​inen eigentlichen Punkt d​er Idealebene (also e​inen Punkt, d​er bereits i​n der metrischen Ebene vorhanden war) n​ur eigentliche Geraden gehen. Mit anderen Worten i​st die metrische Ebene e​ine lokalvollständige Teilebene d​er projektiv-metrischen Ebene. Dadurch erfüllt d​ie projektiv-metrische Ebene z​wei Aufgaben i​n der absoluten Geometrie:

1. Projektive Ebenen enthalten geometrisch mit den über ihrem Koordinatenvektorraum definierbaren symmetrischen Bilinearformen die metrischen Ebenen als lokalvollständige Teilebenen. Die Orthogonalität einer solchen Teilebene, als Relation zwischen deren Geraden, ist eindeutig bestimmt durch die ordinäre oder singulär-elliptische polare Struktur, die die Bilinearform auf der projektiven Ebene bestimmt, also deren „metrische Zusatzstruktur“.
2. Die orthogonale Gruppe einer projektiv-metrischen Ebene enthält gruppentheoretisch die axiomatisch definierten Bewegungsgruppen ${\displaystyle ({\mathfrak {G}},{\mathfrak {S}})}$ als erzeugte Untergruppen und liefert damit eine Darstellung dieser Gruppen.

Unterschiedliche metrische Ebenen können d​ie gleiche Idealebene besitzen. Folgende Zuordnung besteht zwischen d​en axiomatisch beschriebenen Bewegungsgruppen u​nd ihrer projektiv-metrischen Idealebene:

Zusatzaxiome der metrischen Ebene	Bezeichnung	Idealebene
Axiome ${\displaystyle \mathbf {R} }$ und ${\displaystyle \mathbf {V} ^{*}}$	Präeuklidische Ebene	(singuläre) projektiv-euklidische Ebene
Axiome ${\displaystyle \mathbf {R} }$ und ${\displaystyle \neg \mathbf {V} ^{*}}$	metrisch-euklidische Ebene ohne eindeutige Parallele
Axiom ${\displaystyle \mathbf {P} }$	elliptische Ebene	(ordinäre) projektiv-elliptische Ebene
Axiome ${\displaystyle \neg \mathbf {R} ,\neg \mathbf {P} ,\mathbf {V} ^{*}}$	halbelliptische Ebene
Axiome ${\displaystyle \neg \mathbf {V} ^{*}}$ und ${\displaystyle \mathbf {H} }$	hyperbolische Ebene	(ordinäre) projektiv-hyperbolische Ebene

Versucht man, ausgehend von einer projektiv-metrischen Ebene, eine metrische Ebene als aus Spiegelungen erzeugte Gruppe ${\displaystyle ({\mathfrak {G}},{\mathfrak {S}})}$ zu konstruieren, so hat man die eigentlich-orthogonale Gruppe[1] als Gruppe ${\displaystyle {\mathfrak {G}}\;}$ und muss noch ein invariantes Erzeugendensystem ${\displaystyle {\mathfrak {S}}\;}$ dieser Gruppe als Menge von Achsenspiegelungen definieren, so dass die erzeugte Gruppe ${\displaystyle ({\mathfrak {G}},{\mathfrak {S}})}$ die gewünschten Axiome erfüllt. Im elliptischen Fall kann man alle Spiegelungen an projektiven Geraden, im euklidischen Fall alle Spiegelungen an nichtisotropen Geraden (das sind alle projektiven Geraden außer einer, die dadurch zur Ferngeraden der metrischen Ebene wird) verwenden. Man hat dann als metrische Ebene den entsprechenden, in der Tabelle hervorgehobenen Hauptfall.

Im hyperbolischen Fall kann man nur dann eine Klasse von eigentlichen Geraden und damit erzeugenden Achsenspiegelungen auszeichnen, wenn der Körper ${\displaystyle K}$ angeordnet ist oder eine Anordnung zulässt, also formal-reell ist.

Im hyperbolischen Hauptfall der absoluten Geometrie ist die Existenz der projektiv-metrischen-Ebene (also einer hyperbolischen projektiven Polarität auf einer projektiven Ebene) nicht hinreichend für die Existenz einer entsprechenden metrischen Ebene. Die eigentlich-orthogonalen Gruppen der projektiv-hyperbolischen Ebenen werden in der absoluten Geometrie als H-Gruppen bezeichnet und lassen sich auf ähnliche Weise axiomatisch-abstrakt beschreiben, wie die metrischen erzeugten Bewegungsgruppen ${\displaystyle ({\mathfrak {G}},{\mathfrak {S}}\;)}$.

Verallgemeinerung und Sprachregelungen für höhere Dimensionen

In einem n-dimensionalen projektiven Raum über einem Körper ${\displaystyle K,(n>2)}$, dessen Charakteristik nicht zwei ist, kann man analog zum ebenen Fall über eine Bilinearform auf ${\displaystyle V=K^{n+1}}$ eine polare Struktur erklären. Dabei wird wieder im singulär-elliptischen Fall das eindimensionale Radikal zu einer Fernhyperebene, und in allen Fällen kann für das Erzeugnis nicht-isotroper Vektoren x (Hyperebenen des projektiven Raums) ein Pol (die wohlbestimmte Hyperebene ${\displaystyle \langle x\rangle ^{\perp }}$ des Vektorraums, die ggf. das Radikal enthält) definiert werden. An die Stelle der Achsenspiegelungen treten dann Hyperebenenspiegelungen bzw axiale Kollineationen usw.

Auch h​ier unterscheidet m​an die d​rei oben genannten Fälle. Eine Übersicht über d​ie Bezeichnung für d​ie jeweilige projektiv-metrische Geometrie g​ibt die folgende Tabelle, w​obei auch d​er singulär-hyperbolische Fall aufgenommen ist, d​er in d​er absoluten Geometrie (im engeren Sinn) n​icht untersucht wird.[9]

	Jeder isotrope Vektor ist im Radikal enthalten.	Es existieren isotrope Vektoren außerhalb des Radikals.
Das Radikal ist der Nullraum.	ordinär-elliptisch, kurz elliptisch	ordinär-hyperbolisch, kurz hyperbolisch
Das Radikal ist eindimensional.	singulär-elliptisch, kurz euklidisch	singulär-hyperbolisch, kurz minkowskisch

Das jeweilige Kurz-Attribut k​ann dann metrisch ersetzen, z​um Beispiel heißt e​ine dreidimensionale projektiv-metrische Geometrie, m​it einer elliptischen Bilinearform v​om Rang 4 dreidimensionale projektiv-elliptische Geometrie o​der ein dreidimensionaler projektiv-elliptischer Raum u​nd ein 5-dimensionaler projektiv-euklidischer Raum i​st ein 5-dimensionaler projektiver Raum m​it einer polaren Struktur, d​ie durch e​ine nullteilige Bilinearform v​om Rang 5 bestimmt i​st usw.

Literatur

Lehrbuch (Hauptquelle)

• Friedrich Bachmann: Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff. 2. ergänzte Auflage. Springer, Berlin/Heidelberg/New York 1973, ISBN 3-540-06136-3.

Einzelnachweise und Anmerkungen

1. Von vereinzelten Spezialfällen abgesehen, in denen auch die Bewegungsgruppe ${\displaystyle {\mathfrak {G}}}$ der metrischen Ebene selbst eine echte Untergruppe der eigentlich-orthogonalen Gruppe ist, Bachmann (1973) §18 Über die metrischen Bewegungsgruppen.
2. Die Formalitäten der linearen Algebra – Koordinatenvektoren sind hier als Spalten-, Ebenenkoordinaten von zweidimensionalen Unterräumen als Zeilenvektoren dargestellt und sind Objekte des Dualraums ${\displaystyle V^{*}}$ – sind hier nicht zentral wichtig, sollen aber berücksichtigt werden, um Missverständnissen vorzubeugen. Bachmann (1973) verwendet zur Koordinatisierung die Indexschreibweise, ohne Matrizen. Diese ist ebenso koordinatenabhängig wie die Matrixschreibweise, Bachmann (1973), §8.3 Projektiv-metrische Koordinatenebenen und metrische Vektorräume.
3. „Praktisch“ aber mathematisch nicht zwingend notwendig, Bachmann (1973), § 8.3
4. Bachmann (1973) §8.3
5. Bachmann (1973), S. 90. In der Literatur werden auch Fernpunkte, die einander durch die Polarinvolution zugeordnet sind zueinander polar genannt, dies im Einklang damit, dass die projektive Polarinvolution als eine projektive Polarität auf der Ferngeraden angesehen werden kann.
6. Bachmann (1973), §8.4 Projektiv-metrische Koordinatenebenen und metrische Vektorräume.
7. Bachmann (1973), §9.1, Satz 2
8. Bachmann (1973), §9.1 Projektiv-metrische Geometrie Theoreme 4,5 und 6
9. nach Bachmann (1973) §20,7 Supplement