Progressiv messbarer stochastischer Prozess

Ein progressiv messbarer stochastischer Prozess i​st ein stochastischer Prozess i​n der Wahrscheinlichkeitstheorie, d​er noch zusätzlichen Messbarkeitskriterien genügt. Progressiv messbare Prozesse s​ind eine Verschärfung v​on adaptierten Prozessen u​nd treten beispielsweise b​ei der Untersuchung v​on Stoppzeiten auf. Ebenso spielen s​ie eine zentrale Rolle b​ei der Konstruktion d​es Itō-Integrals i​n der stochastischen Analysis.

Definition

Gegeben sei ein stochastischer Prozess ${\displaystyle X=(X_{t})_{t\in T}}$ auf ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ mit Werten in einem polnischen Raum ${\displaystyle E}$, versehen mit der Borelschen σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {B}}(E)}$ und Indexmenge ${\displaystyle T=[0,\infty )}$ sowie eine Filtration ${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}}$ in ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

Dann heißt der stochastische Prozess progressiv messbar (bezüglich ${\displaystyle \mathbb {F} }$), wenn für jedes ${\displaystyle t\in T}$ die Abbildung

${\displaystyle S\colon \Omega \times [0,t]\to E}$

definiert durch

${\displaystyle S(\omega ,s):=X_{s}(\omega )}$

stets ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}\otimes {\mathcal {B}}([0,t])}$-${\displaystyle {\mathcal {B}}(E)}$-messbar ist.

In den meisten Fällen ist ${\displaystyle (E,{\mathcal {B}}(E))=(\mathbb {R} ,{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ))}$.

Eigenschaften

• Jeder progressiv messbare Prozess ist ein adaptierter Prozess und produktmessbar. Umgekehrt lässt sich zeigen, dass ein adaptierter produktmessbarer Prozess immer eine progressiv messbare Modifikation besitzt.[1]
• Ist ein Prozess adaptiert und linksstetig oder rechtsstetig, so ist er progressiv messbar. Somit ist aufgrund der Definition der vorhersagbaren σ-Algebra auch jeder vorhersagbare Prozess progressiv messbar.
• Ist der Prozess hingegen nur fast sicher linksstetig oder rechtsstetig, so existiert eine Modifikation des Prozesses, die progressiv messbar ist.
• Die einem reellwertigen stochastischen Prozess und einer Stoppzeit ${\displaystyle \tau }$ zugeordnete Zufallsvariable ${\displaystyle X_{\tau }:=X_{\tau (\omega )}(\omega )}$ ist für progressiv messbare stochastische Prozesse immer messbar bezüglich der σ-Algebra der τ-Vergangenheit.[2]

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
• David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 978-3-540-21676-6, doi:10.1007/b137972.

Einzelnachweise

1. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 574.
2. Meintrup, Schäffler: Stochastik. 2005, S. 316.