σ-Algebra der τ-Vergangenheit

Die σ-Algebra d​er τ-Vergangenheit,[1] a​uch Vergangenheit v​on τ[2] genannt, i​st in d​er Wahrscheinlichkeitstheorie e​in spezielles Mengensystem, genauer e​ine σ-Algebra. Sie entsteht d​urch Kombination e​iner Filtrierung m​it einer Stoppzeit u​nd findet m​eist Anwendung b​ei Aussagen über gestoppte Prozesse, a​lso stochastische Prozesse, d​ie an e​inem zufälligen Zeitpunkt angehalten werden. Zu diesen Aussagen gehören beispielsweise d​as Optional Stopping Theorem, d​as Optional Sampling Theorem u​nd die Definition d​er starken Markow-Eigenschaft.

Definition

Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ sowie eine Filtrierung ${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{t\in T}}$ bezüglich der Ober-σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ und eine Stoppzeit ${\displaystyle \tau }$ bezüglich ${\displaystyle \mathbb {F} }$. Dann heißt

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }=\{A\in {\mathcal {A}}\,|\,A\cap \{\tau \leq t\}\in {\mathcal {F}}_{t}{\text{ für alle }}t\in T\}}$

die σ-Algebra d​er τ-Vergangenheit.

Eigenschaften

Sind ${\displaystyle \sigma ,\tau }$ Stoppzeiten und ist ${\displaystyle \sigma \leq \tau }$, so ist ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\sigma }\subset {\mathcal {F}}_{\tau }}$.

Des Weiteren ist ${\displaystyle \tau }$ immer ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }}$-messbar.

Ist ${\displaystyle \tau <\infty }$, so lässt sich zu einem stochastischen Prozess

${\displaystyle X=(X_{t})_{t\in T}}$

eine „gesampelte“ Zufallsvariable

${\displaystyle X_{\tau }\colon \omega \mapsto X_{\tau (\omega )}(\omega )}$

definieren. Ist zusätzlich ${\displaystyle T}$ höchstens abzählbar und der stochastische Prozess adaptiert, so ist ${\displaystyle X_{\tau }}$ immer ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\tau }}$-messbar. Die Zufallsvariable ${\displaystyle X_{\tau }}$ sollte nicht mit dem gestoppten Prozess ${\displaystyle X^{\tau }}$ verwechselt werden, insbesondere da die Notation in der Literatur nicht einheitlich ist.

Anschaulich besteht die Zufallsvariable ${\displaystyle X_{\tau }}$ im Falle der Indexmenge ${\displaystyle T=\mathbb {N} }$ auf der Menge ${\displaystyle \{\tau =0\}}$ aus der Zufallsvariable ${\displaystyle X_{0}}$, auf der Menge ${\displaystyle \{\tau =1\}}$ aus ${\displaystyle X_{1}}$ etc. Damit ergibt sich in diesem Fall die alternative Definition

${\displaystyle X_{\tau }=\sum _{n=0}^{\infty }\mathbf {1} _{\{\tau =n\}}X_{n}}$.

Literatur

• David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 978-3-540-21676-6, doi:10.1007/b137972.
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
• Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, doi:10.1007/978-3-642-45387-8.

Einzelnachweise

1. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 197.
2. Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2009, S. 278.