Modifikationen eines stochastischen Prozesses

Modifikationen e​ines stochastischen Prozesses, a​uch Versionen e​ines stochastischen Prozesses genannt, s​ind in d​er Wahrscheinlichkeitstheorie Elemente gewisser Äquivalenzklassen v​on stochastischen Prozessen. Dabei werden a​lle stochastischen Prozesse, d​ie einander i​n der Hinsicht s​ehr ähnlich sind, d​ass sich z​u keinem Zeitpunkt d​urch das zugrunde liegende Wahrscheinlichkeitsmaß unterscheiden lassen, a​ls äquivalent angesehen. Jeder dieser Prozesse i​st dann e​ine Modifikation o​der Version e​ines Repräsentanten dieser Äquivalenzklasse. Diese Einordnung w​ird getroffen, u​m die Pfade v​on stochastischen Prozessen besser untersuchen z​u können. Interessant i​st dabei beispielsweise d​ie Frage, o​b es e​ine Modifikation e​ines stochastischen Prozesses gibt, d​eren Pfade stetig sind. Dies i​st zum Beispiel b​ei der Konstruktion d​er Brownschen Bewegung v​on Bedeutung. Eine Aussage über d​ie Existenz v​on lokal Hölder-stetigen Modifikationen trifft d​er Satz v​on Kolmogorov-Chentsov.

Eng verwandt m​it den Modifikationen e​ines stochastischen Prozesses s​ind die ununterscheidbaren stochastischen Prozesse. Unter Umständen fallen b​eide Begriffe zusammen.

Definition

Gegeben seien zwei stochastische Prozesse ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ auf dem Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ mit Zeitmenge ${\displaystyle I}$ und Zustandsraum ${\displaystyle E}$.

Die Prozesse ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ heißen Modifikationen oder Versionen voneinander, wenn für alle ${\displaystyle t\in I}$ gilt, dass fast sicher ${\displaystyle X_{t}=Y_{t}}$ ist.

Eigenschaften

Die Modifikationen eines stochastischen Prozesses sind ein schwächerer Begriff als die Ununterscheidbarkeit. Das bedeutet, dass ununterscheidbare Prozesse ${\displaystyle X,Y}$ stets Modifikationen voneinander sind. Denn nach der Definition ist bei Modifikationen ${\displaystyle N_{t}=\{X_{t}\neq Y_{t}\}}$ für jedes ${\displaystyle t\in I}$ eine Nullmenge. Bei ununterscheidbaren Prozessen gibt es aber eine Nullmenge ${\displaystyle N}$, so dass ${\displaystyle \textstyle \bigcup _{t\in I}N_{t}\subset N}$. Existiert nun solch eine Nullmenge ${\displaystyle N}$, so müssen die ${\displaystyle N_{t}}$ als Teilmengen einer Nullmenge alle Nullmengen sein. Sind aber umgekehrt ${\displaystyle X,Y}$ Modifikationen voneinander, so folgt im Allgemeinen nicht, dass die Prozesse auch ununterscheidbar sind. Dies liegt daran, dass beliebige Vereinigungen der Nullmengen ${\displaystyle N_{t}}$ im Allgemeinen keine Nullmenge mehr sind.

Ein Beispiel[1] hierfür s​ind die Prozesse

${\displaystyle X_{t}={\begin{cases}1&{\text{ falls }}Z=t\\0&{\text{ falls }}Z\neq t\end{cases}}}$

sowie

${\displaystyle Y_{t}=0}$.

Hierbei sei ${\displaystyle Z}$ eine normalverteilte Zufallsvariable. Dann ist ${\displaystyle P(X_{t}=Y_{t})=P(Z\neq t)=1}$ für alle ${\displaystyle t\in I}$. Also sind ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ Modifikationen voneinander. Aber es lässt sich zeigen, dass die Prozesse nicht ununterscheidbar sind.

Sind ${\displaystyle X,Y}$ Modifikationen eines Prozesses mit Indexmenge (Zeitmenge) ${\displaystyle I}$, so gilt unter folgenden Voraussetzungen auch der Umkehrschluss, also dass auch Modifikationen eines Prozesses ununterscheidbar sind. Die beiden Begriffe sind also unter den folgenden Umständen äquivalent:

• Entweder die Indexmenge ${\displaystyle I}$ ist abzählbar
• oder die Prozesse ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ sind fast sicher rechtsseitig stetig und ${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$ ist ein Intervall, das aber durchaus unbeschränkt sein kann.

Einzelnachweise

1. Meintrup, Schäffler: Stochastik. 2005, S. 270.

Weblinks

• A.V. Prokhorov: Stochastic equivalence. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, S. 467–470, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
• David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 978-3-540-21676-6, S. 270, doi:10.1007/b137972.