Poincaré-Ungleichung

In d​er Analysis bezeichnet m​an als Poincaré-Ungleichung e​ine nach d​em französischen Mathematiker Henri Poincaré benannte Ungleichung a​us der Theorie d​er Sobolev-Räume. Die Ungleichung ermöglicht es, Schranken für e​ine Funktion a​us Schranken d​er Ableitungen u​nd der Geometrie d​es Definitionsbereichs herzuleiten. Solche Schranken spielen i​n der Variationsrechnung e​ine große Rolle.

Formulierung der Ungleichung

Die klassische Poincaré-Ungleichung

Sei ${\displaystyle 1\leq p<\infty }$ und ${\displaystyle \Omega }$ eine beschränkte zusammenhängende offene Teilmenge des ${\displaystyle n}$-dimensionalen euklidischen Raumes ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ mit Lipschitz-Rand (d. h. ${\displaystyle \Omega }$ ist ein Lipschitz-Gebiet). Dann gibt es eine Konstante ${\displaystyle C}$, die nur von ${\displaystyle \Omega }$ und ${\displaystyle p}$ abhängt, so dass für jede Funktion ${\displaystyle u}$ im Sobolev-Raum ${\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}$ die Ungleichung

${\displaystyle \|u-u_{\Omega }\|_{L^{p}(\Omega )}\leq C\|\nabla u\|_{L^{p}(\Omega )}}$

gilt, wobei

${\displaystyle u_{\Omega }={\frac {1}{|\Omega |}}\int _{\Omega }u(y)\,\mathrm {d} y}$

der Mittelwert von ${\displaystyle u}$ über ${\displaystyle \Omega }$ ist, ${\displaystyle |\Omega |}$ bezeichnet das Lebesgue-Maß des Gebietes ${\displaystyle \Omega }$.

Mit Hilfe der Hölder-Ungleichung kann man zeigen, dass die ${\displaystyle L^{2}}$-Poincaré-Ungleichung aus der ${\displaystyle L^{1}}$-Poincaré-Ungleichung folgt. Allgemein: Wenn für ein Gebiet ${\displaystyle \Omega }$ die Poincaré-Ungleichung für ein ${\displaystyle p^{\prime }}$ gilt, dann gilt sie auch für alle ${\displaystyle p>p^{\prime }}$, eventuell mit einer anderen Konstanten ${\displaystyle C}$.

Eindimensionales Beispiel

Sei f e​ine stetig differenzierbare Funktion m​it Fourierreihe

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}e^{inx}}$,

dann i​st unter Benutzung d​er Parsevalschen Gleichung

${\displaystyle \|f-f_{[0,2\pi ]}\|_{L^{2}[0,2\pi ]}=\sum _{n\not =0}|a_{n}|^{2}\leq \sum _{n}n^{2}|a_{n}|^{2}=\|f'\|_{L^{2}[0,2\pi ]}}$.

Mannigfaltigkeiten

Für Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit nichtnegativer Ricci-Krümmung (zum Beispiel nichtnegativer Schnittkrümmung) gilt die Poincaré-Ungleichung. Es gibt eine nur von der Dimension n abhängende Konstante ${\displaystyle C_{n}}$, so dass für alle ${\displaystyle p\in M,r>0,u\in W_{loc}^{2,1}(M)}$ gilt:

${\displaystyle \|u-u_{B(p,r)}\|_{L^{2}(B(p,r))}\leq C_{n}r\|\nabla u\|_{L^{2}(B(p,r))}}$ [1]

Metrische Räume

Bruce Kleiner bewies 2007 e​ine Poincaré-Ungleichung für d​ie Cayley-Graphen endlich erzeugter Gruppen:

${\displaystyle \int _{B_{R}}\|f-f_{R}\|^{2}\leq 8\|S\|^{2}R^{2}{\frac {\|B(2R)\|}{\|B(R)\|}}\int _{B_{3R}}\|\nabla f\|^{2},}$

wobei ${\displaystyle f}$ eine stückweise glatte Funktion, ${\displaystyle f_{R}}$ ihr Mittelwert über den Ball ${\displaystyle B_{R}}$ und ${\displaystyle S}$ das den Cayley-Graphen definierende Erzeugendensystem ist. Mit Hilfe dieser Ungleichung gab er einen vereinfachten Beweis von Gromows Satz über Gruppen polynomialen Wachstums.[2]

Für metrische Räume mit nichtnegativer Ricci-Krümmung im Sinne von Lott-Villani-Sturm wurde die schwache lokale ${\displaystyle L^{1}}$-Poincaré-Ungleichung 2012 von Rajala bewiesen.[3]

Verallgemeinerungen

Es gibt Verallgemeinerungen der Poincaré-Ungleichung für andere Sobolev-Räume, zum Beispiel die folgende Poincaré-Ungleichung[4] für den Sobolev-Raum ${\displaystyle H^{\frac {1}{2}}(T^{2})}$, d. h. den Raum der Funktionen ${\displaystyle u}$ im ${\displaystyle L^{2}}$-Raum des Torus ${\displaystyle T^{2}}$, deren Fourier-Transformierte ${\displaystyle {\hat {u}}}$ die Bedingung

${\displaystyle [u]_{H^{1/2}(\mathbf {T} ^{2})}^{2}=\sum _{k\in \mathbf {Z} ^{2}}|k|{\big |}{\hat {u}}(k){\big |}^{2}<+\infty }$

erfüllt: Es gibt eine Konstante ${\displaystyle C}$, so dass für jedes ${\displaystyle u\in H^{\frac {1}{2}}(T^{2})}$ mit ${\displaystyle u}$ identisch 0 auf einer offenen Menge ${\displaystyle E\subset T^{2}}$ folgende Ungleichung gilt:

${\displaystyle \int _{\mathbf {T} ^{2}}|u(x)|^{2}\,\mathrm {d} x\leq C\left(1+{\frac {1}{\operatorname {cap} (E\times \{0\})}}\right)[u]_{H^{1/2}(\mathbf {T} ^{2})}^{2},}$

wobei ${\displaystyle \operatorname {cap} (E\times \left\{0\right\})}$ die harmonische Kapazität von ${\displaystyle E\times \left\{0\right\}}$ als Teilmenge von ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ bedeutet.

Die Poincaré-Konstante

Die optimale Konstante ${\displaystyle C}$ in der Poincaré-Ungleichung wird als Poincaré-Konstante des Gebietes ${\displaystyle \Omega }$ bezeichnet. Es ist im Allgemeinen sehr schwer, die Poincaré-Konstante zu bestimmen, abhängig von ${\displaystyle p}$ und der Geometrie des Gebietes ${\displaystyle \Omega }$. Gewisse Spezialfälle sind aber behandelbar. Zum Beispiel für beschränkte, konvexe Lipschitz-Gebiete ${\displaystyle \Omega }$ mit Durchmesser ${\displaystyle d}$ ist die Poincaré-Konstante höchstens ${\displaystyle d/2}$ falls ${\displaystyle p=1}$, und höchstens ${\displaystyle d/\pi }$ falls ${\displaystyle p=2}$ [5][6] und das ist die bestmögliche nur vom Durchmesser abhängende Abschätzung für die Poincaré-Konstante. Für glatte Funktionen erhält man das als eine Anwendung der isoperimetrischen Ungleichung auf die Level-Mengen der Funktion.[7] Im Eindimensionalen ist das die Wirtinger-Ungleichung für Funktionen.

Es gibt Spezialfälle, in denen die Konstante ${\displaystyle C}$ explizit bestimmt werden kann. Zum Beispiel für ${\displaystyle p=2}$ ist bekannt, dass für das Gebiet des gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks mit Katheten der Länge 1 die Poincaré-Konstante ${\displaystyle C=1/\pi }$ ist (und damit kleiner als ${\displaystyle d/\pi }$ für den Durchmesser ${\displaystyle d={\sqrt {2}}}$).[8]

Einzelnachweise

1. Peter Buser: A note on the isoperimetric constant. In: Ann. Sci. École Norm. Sup., (4) 15, 1982, no. 2, S. 213—230
2. Bruce Kleiner: A new proof of Gromov’s theorem on groups of polynomial growth. In: J. Amer. Math. Soc., 23, 2010, no. 3, S. 815–829, arxiv:0710.4593
3. Tapio Rajala: Local Poincaré inequalities from stable curvature conditions on metric spaces. In: Calc. Var. Partial Differ. Equ., 44, No. 3-4, 2012, S. 477–494
4. Adriana Garroni, Stefan Müller: Γ-limit of a phase-field model of dislocations. In: SIAM J. Math. Anal., 36, 2005, no. 6, S. 1943–1964
5. Gabriel Acosta, Ricardo Durán: An optimal Poincaré inequality in ${\displaystyle L^{1}}$ for convex domains. In: Proc. Amer. Math. Soc., 132, 2004, no. 1, S. 195–202
6. L.E. Payne, Hans F. Weinberger: An optimal Poincaré inequality for convex domains. In: Arch. Rational Mech. Anal., 5, 1960, S. 286–292.
7. Nick Alger: L1 Poincaré Inequality.
8. Fumio Kikuchi, Xuefeng Liu: Estimation of interpolation error constants for the P0 and P1 triangular finite elements. In: Comput. Methods Appl. Mech. Engrg., 196, 2007, no. 37-40, S. 3750–3758.