Lipschitz-Gebiet

In d​er Mathematik i​st ein Lipschitz-Gebiet – o​der auch Gebiet m​it Lipschitz-Rand genannt – e​in Gebiet i​m euklidischen Raum, dessen Rand i​n dem Sinne „ausreichend regulär“ ist, d​ass dieser l​okal der Graph e​iner Lipschitz-stetigen Funktion ist. Anwendung finden Lipschitz-Gebiete i​n der Theorie partieller Differentialgleichungen. Der Begriff i​st nach d​em deutschen Mathematiker Rudolf Lipschitz benannt.

Die h​ier beschriebenen Gebiete werden a​uch als starke Lipschitz-Gebiete bezeichnet, u​m eine Verwechselung m​it den schwachen Lipschitz-Gebieten z​u verhindern, d​ie eine allgemeinere Klasse v​on Gebieten darstellen.

Definition

Ein Gebiet ${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}$ des euklidischen Raums heißt (starkes) Lipschitz-Gebiet, falls sowohl positive Zahlen ${\displaystyle \delta }$ und ${\displaystyle M}$ existieren, als auch es eine lokal endliche Überdeckung ${\displaystyle (U_{i})_{i}}$ des Randes ${\displaystyle \partial \Omega }$ gibt, so dass für jedes ${\displaystyle U_{i}}$ eine reellwertige Funktion ${\displaystyle f_{i}}$ von ${\displaystyle n-1}$ Variablen existiert, so dass die folgenden Bedingungen gelten:[1]

1. Für eine Zahl ${\displaystyle R}$ hat jede Teilfamilie von ${\displaystyle (U_{i})_{i}}$ mit ${\displaystyle R+1}$ Elementen die leere Menge als gemeinsame Schnittmenge.

2. Für jedes Paar an Punkten ${\displaystyle x,y\in \Omega _{\delta }:=\{a\in \Omega$ :\operatorname {dist} (a,\partial \Omega )<\delta \}} mit ${\displaystyle |x-y|<\delta }$ existiert ein ${\displaystyle i}$, so dass

${\displaystyle x,y\in V:=\{a\in U_{i}:\operatorname {dist} (x,\partial U_{i})>\delta \}}$

gilt.

3. Jede Funktion ${\displaystyle f_{i}}$ erfüllt eine Lipschitz-Bedingung

${\displaystyle |f_{i}(\xi _{i,1},\ldots ,\xi _{i,n-1})-f_{i}(\nu _{i,1},\ldots ,\nu _{i,n-1})|<M|\xi _{i,1}-\nu _{i,1},\ldots ,\xi _{i,n-1}-\nu _{i,n-1}|}$

mit der Lipschitz-Konstanten ${\displaystyle M}$.

4. Für ein kartesisches Koordinatensystem ${\displaystyle (\xi _{i,1},\ldots ,\xi _{i,n-1})}$ in ${\displaystyle U_{j}}$ ist die Menge ${\displaystyle \Omega \cap U_{i}}$ beschrieben durch

${\displaystyle \xi _{i,n}<f_{i}(\xi _{i,1},\ldots ,\xi _{i,n-1})}$.

Beschränkte Lipschitz-Gebiete

Falls ${\displaystyle \Omega }$ ein beschränktes Gebiet ist, dann vereinfacht sich obige Definition zu einer einzigen Bedingung. Das beschränkte Gebiet ${\displaystyle \Omega }$ ist genau dann ein Lipschitz-Gebiet, falls der Rand lokal ein Lipschitz-Rand ist. Das bedeutet, dass für jeden Randpunkt ${\displaystyle x\in \partial \Omega }$ eine Umgebung ${\displaystyle U_{i}}$ existiert, so dass die Menge ${\displaystyle \partial \Omega \cap U_{i}}$ der Graph einer lipschitzstetigen Funktion ist.[2]

Eigenschaften

• Jedes ${\displaystyle C^{k}}$-Gebiet mit ${\displaystyle k\geq 1}$ ist auch ein Lipschitz-Gebiet.[2]
• Nach dem Satz von Rademacher können an einem Lipschitz-Rand fast überall Tangentialvektoren gefunden werden.[3]

Beispiele

• Die offene Kreisfläche ist ein ${\displaystyle C^{\infty }}$-Gebiet und damit auch ein Lipschitz-Gebiet.[4]
• Die Fläche eines offenen Rechtecks ist ein Lipschitz-Gebiet, aber kein ${\displaystyle C^{1}}$-Gebiet.[4]
• Geschlitzte Flächen, wie zum Beispiel die geschlitzte Kreisfläche

${\displaystyle \Omega$ :=\{x\in \mathbb {R} ^{d}:|x-x_{0}|<R,x\neq x_{0}+\lambda e_{1}\ {\text{for}}\ 0\leq \lambda <R\}} ,

wobei ${\displaystyle e_{1}}$ ein Basisvektor der kanonischen Basis des ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ist, sind keine Lipschitz-Gebiete.[4]

Theorie partieller Differentialgleichungen

In d​er Theorie d​er Sobolev-Räume t​ritt der Begriff d​es Lipschitz-Gebietes auf. So fordern beispielsweise einige Varianten d​es Einbettungssatzes v​on Sobolev, d​ass die untersuchten Gebiete Lipschitz-Gebiete sind. Somit s​ind auch v​iele Definitionsbereiche Lipschitz-Gebiete, d​ie im Kontext gewisser partieller Differentialgleichungen u​nd Variationsproblemen untersucht werden.

Einzelnachweise

1. R. A. Adams: Sobolev spaces. 1. Auflage. Academic Press, New York, San Francisco, London 1975, ISBN 978-0-12-044150-1, S. 66.
2. R. A. Adams: Sobolev spaces. 1. Auflage. Academic Press, New York, San Francisco, London 1975, ISBN 978-0-12-044150-1, S. 67.
3. Giovanni Leoni: A First Course in Sobolev Spaces: Second Edition. 2. Auflage. American Mathematical Society, Pittsburgh 2017, ISBN 978-1-4704-2921-8, S. 274.
4. Peter Knabner, Lutz Angerman: Numerical Methods for Elliptic and Parabolic Partial Differential Equations. Springer-Verlag, New York 2003, ISBN 978-1-4419-3004-0, S. 96.