Folgentransformation

Eine Folgentransformation i​st in d​er Mathematik e​ine Transformation, d​ie dazu verwendet wird, d​en Grenzwert e​iner langsam konvergenten Folge o​der Reihe, o​der den Antilimes e​iner divergenten Reihe numerisch z​u berechnen.

Für e​ine gegebene Folge

${\displaystyle S=\{s_{n}\}_{n\in N_{0}}}$

ist d​ie transformierte Folge

${\displaystyle T(S)=S'=\{s'_{n}\}_{n\in N_{0}}}$.

Die Elemente ${\displaystyle s'_{n}}$ der transformierten Folge werden normalerweise als Funktion einer endlichen Anzahl von Elementen der ursprünglichen Folge berechnet. Es gibt also eine Abbildung ${\displaystyle F}$ der Form

${\displaystyle F:(s_{n},s_{n+1},\dots ,s_{n+k})\to s'_{n}}$

mit einem endlichen ${\displaystyle k}$. Im einfachsten Fall sind die ${\displaystyle s_{n}}$ und die ${\displaystyle s'_{n}}$ reelle oder komplexe Zahlen. Im Allgemeinen handelt es sich um Elemente eines Vektorraumes oder einer Algebra.

Man sagt, d​ie transformierte Folge konvergiert schneller a​ls die ursprüngliche Folge, f​alls

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {s'_{n}-s}{s_{n}-s}}=0}$

wobei ${\displaystyle s}$ der (Anti-)Limes von ${\displaystyle S}$ ist. Ist die ursprüngliche Folge langsam konvergent, spricht man in diesem Fall von Konvergenzbeschleunigung.

Ist die Abbildung ${\displaystyle F}$ linear in jedem Argument, d. h., falls

${\displaystyle s'_{n}=\sum _{m=0}^{k}c_{m}s_{n+m}}$ für Konstanten ${\displaystyle c_{0},\dots ,c_{k}}$

gilt, so nennt man die Folgentransformation ${\displaystyle T}$ eine lineare Folgentransformation, sonst eine nichtlineare Folgentransformation.

Eine Folgentransformation kann man zur Konvergenzbeschleunigung einer konvergenten Reihe oder als Summationsverfahren für eine divergente Reihe einsetzen: Für eine Reihe

${\displaystyle R=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}}$

betrachtet m​an dazu einfach d​ie Folge

${\displaystyle S=\{s_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$

der Partialsummen

${\displaystyle s_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}}$

und wendet a​uf diese e​ine geeignete Folgentransformation an.

Wichtige Beispiele nichtlinearer Folgentransformationen s​ind Padé-Approximanten für Potenzreihen u​nd Levin-artige Folgentransformationen.

Besonders nichtlineare Folgentransformationen ergeben o​ft hocheffiziente Extrapolationsverfahren.

Literatur

• C. Brezinski und M. Redivo Zaglia: Extrapolation Methods. Theory and Practice. North-Holland, 1991.
• G. A. Baker, Jr. und P. Graves-Morris: Padé Approximants. Cambridge U.P. 1996.