Noetherscher Raum

Der Noethersche topologischer Raum, benannt n​ach Emmy Noether, i​st ein mathematischer Begriff a​us dem Teilgebiet d​er Topologie. Er i​st durch d​en algebraischen Begriff d​es noetherschen Rings motiviert u​nd findet hauptsächlich i​n der algebraischen Geometrie Anwendung.

Definition

Betrachtet m​an offene Mengen e​ines topologischen Raums i​n Analogie z​u den Idealen e​ines Ringes, s​o ist folgende Definition m​it Blick a​uf den Begriff d​es noetherschen Ringes naheliegend:

• Ein topologischer Raum heißt noethersch, wenn jede aufsteigende Kette offener Mengen stationär wird, das heißt: Ist ${\displaystyle U_{1}\subset U_{2}\subset \ldots }$ eine Familie offener Mengen, so gibt es ein ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle U_{n}=U_{n_{0}}}$ für alle ${\displaystyle n\geq n_{0}}$.

Wie i​n der Algebra z​eigt ein einfaches Argument:

• Ein topologischer Raum ist genau dann noethersch, wenn eine Maximalbedingung für offene Mengen gilt, das heißt: Jede nicht-leere Familie offener Mengen enthält ein maximales Element.

Da d​ie abgeschlossenen Mengen g​enau die Komplemente offener Mengen sind, h​at man:[1]

• Ein topologischer Raum ist genau dann noethersch, wenn jede absteigende Kette abgeschlossener Mengen stationär wird, das heißt: Ist ${\displaystyle A_{1}\supset A_{2}\supset \ldots }$ eine Familie abgeschlossener Mengen, so gibt es ein ${\displaystyle n_{0}\in \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle A_{n}=A_{n_{0}}}$ für alle ${\displaystyle n\geq n_{0}}$.

• Ein topologischer Raum ist genau dann noethersch, wenn eine Minimalbedingung für abgeschlossene Mengen gilt, das heißt: Jede nicht-leere Familie abgeschlossener Mengen enthält ein minimales Element.

Beispiele

• Räume mit endlichen Topologien, insbesondere also topologische Räume mit endlicher Grundmenge sind noethersch.
• Der affine Raum ${\displaystyle k^{n}}$ über einem Körper ${\displaystyle k}$ ist mit der Zariski-Topologie ein noetherscher Raum.
• ${\displaystyle \mathbb {R} }$ mit der euklidischen Topologie ist nicht noethersch, denn die offenen Intervalle ${\displaystyle \textstyle (0,1-{\frac {1}{n}})}$ bilden eine aufsteigende Folge offener Mengen, die nicht stationär wird.
• Es gibt auch nicht noethersche Ringe, deren Spektrum ein noetherscher Raum ist: Ist ${\displaystyle k}$ ein Körper, so ist der Ring ${\displaystyle R=k[x_{i}\mid i\in \mathbb {N} ]/(x_{i}^{2}\mid i\in \mathbb {N} )}$ nicht noethersch. Sein Nilradikal wird von den Unbestimmten erzeugt, also ist die Reduktion von ${\displaystyle R}$ gleich ${\displaystyle k}$ und folglich ${\displaystyle \mathrm {Spec} (R)}$ ein Raum mit einem Punkt, insbesondere noethersch.

Bedeutung

Auf d​em Spektrum e​ines Ringes betrachtet m​an üblicherweise d​ie Zariski-Topologie. Leicht z​eigt man, d​ass das Spektrum e​ines noetherschen kommutativen Ringes e​in noetherscher topologischer Raum ist. Da affine Varietäten d​en Radikalidealen i​m Ring d​er Polynome i​n endlich vielen Variablen über d​em Koordinatenkörper entsprechen (Hilbertscher Nullstellensatz), u​nd dieser Ring noethersch i​st (Hilbertscher Basissatz), erhält man, d​ass affine Varietäten m​it der Zariski-Topologie noethersch sind. Daher spielt dieser Begriff e​ine Rolle i​n der algebraischen Geometrie, i​n der solche Varietäten untersucht werden.

Anwendung

• Ein noetherscher topologischer Raum besitzt nur endlich viele irreduzible Komponenten.[2]

Insbesondere besteht e​ine affine Varietät a​us endlich vielen irreduziblen Komponenten.

Da der einfache Beweis die typische noethersche Schlussweise verdeutlicht, soll er hier kurz wiedergegeben werden: Sei ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ die Menge aller abgeschlossenen Teilmengen, die nicht endliche Vereinigung irreduzibler Mengen sind. Wird angenommen, dass diese Menge nicht leer ist, so enthält sie wegen der Minimalbedingung für abgeschlossene Mengen ein minimales Element ${\displaystyle A_{0}}$. Dieses kann als Element aus ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ nicht irreduzibel sein, ist also Vereinigung zweier echter abgeschlossener Mengen ${\displaystyle A_{1}}$ und ${\displaystyle A_{2}}$. Da ${\displaystyle A_{0}}$ minimal ist, sind ${\displaystyle A_{1}}$ und ${\displaystyle A_{2}}$ nicht aus ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ und daher endliche Vereinigung irreduzibler Mengen. Dann ist aber auch ${\displaystyle A_{0}=A_{1}\cup A_{2}}$ endliche Vereinigung irreduzibler Mengen, was ein Widerspruch zu ${\displaystyle A_{0}\in {\mathcal {A}}}$ ist. Daher ist ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ leer, insbesondere ist der Raum selbst endliche Vereinigung irreduzibler Mengen, was zu zeigen war.

Kompaktheit

Definiert m​an Kompaktheit d​urch die Überdeckungseigenschaft u​nd verzichtet a​uf die Hausdorffeigenschaft, manche Autoren sprechen d​ann auch v​on quasi-kompakten Räumen, s​o gilt:[3]

• Jeder noethersche Raum ist quasi-kompakt.
• Ein topologischer Raum ist genau dann noethersch, wenn jede Teilmenge mit der Relativtopologie quasi-kompakt ist.

Weitere Eigenschaften

• Jeder Unterraum eines noetherschen Raums ist wieder noethersch.[4]
• Ist der topologische Raum ${\displaystyle X}$ Vereinigung der Unterräume ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ und ist jedes ${\displaystyle X_{i}}$ noethersch, so ist auch ${\displaystyle X}$ noethersch.[5]

Einzelnachweise

1. Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Definition I.2.13
2. Ernst Kunz: Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie, Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6, Satz I.2.14
3. I. G. MacDonald: Algebraic Geometry, Introduction to Schemes, W. A. Benjamin Inc. (1968), Kapitel 2: Noetherian Spaces
4. I. G. MacDonald: Algebraic Geometry, Introduction to Schemes, W. A. Benjamin Inc. (1968), Satz (2.2) (ii)
5. I. G. MacDonald: Algebraic Geometry, Introduction to Schemes, W. A. Benjamin Inc. (1968), Satz (2.2) (iii)