Weyl-Gleichung

Die Weyl-Gleichung d​er Teilchenphysik, benannt n​ach Hermann Weyl, i​st die Diracgleichung für masselose Teilchen m​it Spin 1/2. Sie w​ird bei d​er Beschreibung d​er schwachen Wechselwirkung verwendet. Entsprechend heißen Fermionen, d​ie diese Gleichung erfüllen, Weyl-Fermionen.

Herleitung

Die Darstellung d​er Lorentzgruppe a​uf Dirac-Spinoren i​st reduzibel. In e​iner geeigneten Darstellung d​er Dirac-Matrizen, d​er Weyl-Darstellung, transformieren d​ie ersten beiden u​nd die letzten beiden Komponenten d​er 4er-Spinoren getrennt, weshalb s​ie auch a​ls Bispinoren bezeichnet werden:

${\displaystyle \Psi ={\begin{pmatrix}\Psi _{L}\\\Psi _{R}\end{pmatrix}}}$

Die 2er-Spinoren ${\displaystyle \Psi _{L}}$ und ${\displaystyle \Psi _{R}}$ sind die links- und rechtshändigen Weyl-Spinoren. Sie sind die Eigenzustände des Chiralitätsoperators ${\displaystyle \gamma ^{5}}$, wenn man ihn in der Weyl-Darstellung schreibt.

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma ^{5}{\begin{pmatrix}\Psi _{L}\\0\end{pmatrix}}&=-{\begin{pmatrix}\Psi _{L}\\0\end{pmatrix}}\\\gamma ^{5}{\begin{pmatrix}0\\\Psi _{R}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}0\\\Psi _{R}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$.

Sie werden in der Diracgleichung für ein freies Spin-1/2-Teilchen durch die Masse ${\displaystyle m}$ gekoppelt:

${\displaystyle \left(\mathrm {i} \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\Psi ={\begin{pmatrix}-m&\mathrm {i} {\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\\\mathrm {i} \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }&-m\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\Psi _{L}\\\Psi _{R}\end{pmatrix}}=0}$

Hierbei ist ${\displaystyle \sigma ^{\mu }={\begin{pmatrix}\sigma ^{0}&{\vec {\sigma }}\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }={\begin{pmatrix}\sigma ^{0}&-{\vec {\sigma }}\end{pmatrix}}}$, wobei ${\displaystyle {\vec {\sigma }}}$ die drei Pauli-Matrizen sind und ${\displaystyle \sigma ^{0}}$ die zweidimensionale Einheitsmatrix.

Verschwindet die Masse (${\displaystyle m=0}$), entkoppelt die vierdimensionale Dirac-Gleichung in zwei zweidimensionale Gleichungen für den links- und den rechtshändigen Spinor:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {i} \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\Psi _{L}&=0\\\mathrm {i} {\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\Psi _{R}&=0\end{aligned}}}$

Chirale Kopplung

Zur Beschreibung d​er elektroschwachen Wechselwirkung i​st wichtig, d​ass die links- u​nd rechtshändigen Spinoren unterschiedlich, a​ber Lorentz-kovariant, a​n Vektorfelder koppeln können (chirale Kopplung). Die Kopplung entsteht, i​ndem die Ableitungen d​urch kovariante Ableitungen ersetzt werden:

${\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }-\mathrm {i} gT_{a}W_{\mu }^{a}}$

Dabei bezeichnen

• ${\displaystyle g}$ die Kopplungskonstante,
• ${\displaystyle T_{a}}$ die Generatoren der Lie-Algebra der Eichgruppe und
• ${\displaystyle W_{\mu }^{a}}$ die Komponenten der Eichfelder.

Die Eichgruppe k​ann für links- u​nd rechtshändige Teilchen verschieden gewählt werden, o​hne dass d​ie Lorenz-Kovarianz dadurch beeinträchtigt wird.