Weyl-Gleichung

Die Weyl-Gleichung der Teilchenphysik, benannt nach Hermann Weyl, ist die Diracgleichung für masselose Teilchen mit Spin 1/2. Sie wird bei der Beschreibung der schwachen Wechselwirkung verwendet. Entsprechend heißen Fermionen, die diese Gleichung erfüllen, Weyl-Fermionen.

Herleitung

Die Darstellung der Lorentzgruppe auf Dirac-Spinoren ist reduzibel. In einer geeigneten Darstellung der Dirac-Matrizen, der Weyl-Darstellung, transformieren die ersten beiden und die letzten beiden Komponenten der 4er-Spinoren getrennt, weshalb sie auch als Bispinoren bezeichnet werden:

${\displaystyle \Psi ={\begin{pmatrix}\Psi _{L}\\\Psi _{R}\end{pmatrix}}}$

Die 2er-Spinoren ${\displaystyle \Psi _{L}}$ und ${\displaystyle \Psi _{R}}$ sind die links- und rechtshändigen Weyl-Spinoren. Sie sind die Eigenzustände des Chiralitätsoperators ${\displaystyle \gamma ^{5}}$, wenn man ihn in der Weyl-Darstellung schreibt.

${\displaystyle {\begin{aligned}\gamma ^{5}{\begin{pmatrix}\Psi _{L}\\0\end{pmatrix}}&=-{\begin{pmatrix}\Psi _{L}\\0\end{pmatrix}}\\\gamma ^{5}{\begin{pmatrix}0\\\Psi _{R}\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}0\\\Psi _{R}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$.

Sie werden in der Diracgleichung für ein freies Spin-1/2-Teilchen durch die Masse ${\displaystyle m}$ gekoppelt:

${\displaystyle \left(\mathrm {i} \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m\right)\Psi ={\begin{pmatrix}-m&\mathrm {i} {\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\\\mathrm {i} \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }&-m\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\Psi _{L}\\\Psi _{R}\end{pmatrix}}=0}$

Hierbei ist ${\displaystyle \sigma ^{\mu }={\begin{pmatrix}\sigma ^{0}&{\vec {\sigma }}\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle {\bar {\sigma }}^{\mu }={\begin{pmatrix}\sigma ^{0}&-{\vec {\sigma }}\end{pmatrix}}}$, wobei ${\displaystyle {\vec {\sigma }}}$ die drei Pauli-Matrizen sind und ${\displaystyle \sigma ^{0}}$ die zweidimensionale Einheitsmatrix.

Verschwindet die Masse (${\displaystyle m=0}$), entkoppelt die vierdimensionale Dirac-Gleichung in zwei zweidimensionale Gleichungen für den links- und den rechtshändigen Spinor:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {i} \sigma ^{\mu }\partial _{\mu }\Psi _{L}&=0\\\mathrm {i} {\bar {\sigma }}^{\mu }\partial _{\mu }\Psi _{R}&=0\end{aligned}}}$

Chirale Kopplung

Zur Beschreibung der elektroschwachen Wechselwirkung ist wichtig, dass die links- und rechtshändigen Spinoren unterschiedlich, aber Lorentz-kovariant, an Vektorfelder koppeln können (chirale Kopplung). Die Kopplung entsteht, indem die Ableitungen durch kovariante Ableitungen ersetzt werden:

${\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }-\mathrm {i} gT_{a}W_{\mu }^{a}}$

Dabei bezeichnen

• ${\displaystyle g}$ die Kopplungskonstante,
• ${\displaystyle T_{a}}$ die Generatoren der Lie-Algebra der Eichgruppe und
• ${\displaystyle W_{\mu }^{a}}$ die Komponenten der Eichfelder.

Die Eichgruppe kann für links- und rechtshändige Teilchen verschieden gewählt werden, ohne dass die Lorenz-Kovarianz dadurch beeinträchtigt wird.