Dirac-Spinor

Ein Dirac-Spinor ist ein Begriff aus der Mathematik, der nach Paul Dirac benannt ist. Dirac-Spinoren sind ein Elemente der fundamentalen Darstellung ${\displaystyle \Delta }$ der komplexifizierten Clifford-Algebra ${\displaystyle \mathrm {Cliff} (p,q)}$ und sind somit eine bestimmte Gattung von Spinoren. Sie sind ein nützliches Konzept der Quantenphysik.

Häufig a​ls Dirac-Spinoren bezeichnet werden a​uch Lösungen d​er Dirac-Gleichung. Diese s​ind Dirac-Spinorfelder, d​as heißt j​edem Punkt d​er Raumzeit w​ird ein vierdimensionaler Dirac-Spinor zugeordnet.

Mathematische Konstruktion

Sei ${\displaystyle n=p+q}$. Die komplexifizierte Clifford-Algebra ${\displaystyle \mathrm {Cliff} (p,q)}$ ist isomorph zur Matrizenalgebra ${\displaystyle Mat_{2^{k}}(\mathbb {C} )}$ falls ${\displaystyle n=2k}$ gerade ist, oder isomorph zu ${\displaystyle Mat_{2^{k-1}}(\mathbb {C} )\oplus Mat_{2^{k-1}}(\mathbb {C} )}$ falls ${\displaystyle n=2k-1}$ ungerade ist. In jedem Fall hat sie eine kanonische ${\displaystyle 2^{k}}$-dimensionale Darstellung, die also für alle Signaturen ${\displaystyle (p,q)}$ mit ${\displaystyle n=p+q}$ existiert und auch eine Darstellung der Spin-Gruppe ${\displaystyle \mathrm {Spin} (p,q)}$ ist. Diese Darstellung heißt Spinor-Darstellung, die Vektoren dieses Darstellungsraumes werden als Dirac-Spinoren bezeichnet.

In ungeraden Dimensionen ${\displaystyle n}$ ist diese Darstellung, als Darstellung von ${\displaystyle \mathrm {Spin} (p,q)}$ betrachtet, reduzibel. Sie kann in zwei sogenannte Weyl-Spinoren der Dimension ${\displaystyle 2^{k-1}}$ zerlegt werden: ${\displaystyle \Delta =\Delta _{+}\oplus \Delta _{-}}$.

Anwendung in der Elementarteilchenphysik

Dirac-Spinoren in 3+1 Raum-Zeit-Dimensionen, also zu ${\displaystyle \mathrm {Cliff} (3,1)}$, dienen im Rahmen der Quantenelektrodynamik zur mathematischen Beschreibung von Fermionen mit Spin 1/2. Zu diesen Dirac-Fermionen gehören im Standardmodell der Teilchenphysik sämtliche fundamentalen Fermionen. In diesem Fall sind die Dirac-Spinoren vierdimensional, gehören zu einer Darstellung der Lorentzgruppe und sind Lösungen der Dirac-Gleichung.

Majorana-Fermionen wurden dagegen bisher n​icht gefunden, a​ber von manchen vereinheitlichten Feldtheorien vorhergesagt. Sie entsprechen reellen Darstellungen d​er Cliffordalgebren. In Stringtheorien u​nd Branentheorien werden a​uch Dirac-Spinoren i​n höheren Dimensionen betrachtet.

Literatur

• Thomas Friedrich: Dirac-Operatoren in der Riemannschen Geometrie. Vieweg Verlag, ISBN 978-3-528-06926-1.
• Michael E. Peskin, Daniel V. Schroeder: An Introduction to Quantum Field Theory. Addison-Wesley, 1995, ISBN 978-0-201-50397-5 (englisch).
• Pierre Ramond: Field Theory. A Modern Primer. Addison-Wesley, 1990, ISBN 978-0-201-54611-8 (englisch).