Konstante von Glaisher-Kinkelin

Die Konstante v​on Glaisher-Kinkelin, o​ft auch n​ur glaishersche Konstante, i​st eine mathematische Konstante, d​ie in einigen Summen u​nd Integralen auftritt, v​or allem i​m Zusammenhang m​it der Gammafunktion u​nd der riemannschen Zetafunktion. Sie i​st nach J. W. L. Glaisher u​nd Hermann Kinkelin benannt.

Näherungswert

Die Konstante von Glaisher-Kinkelin wird üblicherweise mit ${\displaystyle A}$ bezeichnet. Ein Näherungswert ist

${\displaystyle A=1,28242{\text{ }}71291{\text{ }}00622{\text{ }}63687{\text{ }}53425{\text{ }}68869{\text{ }}79172{\text{ }}77676{\text{ }}88927{\text{ }}32500{\text{ }}11920{\text{ }}63740{\text{ }}02174{\text{ }}04063{\text{ }}08858{\text{ }}82646{\text{ }}11297{\text{ }}36491{\text{ }}95820{\text{ }}23743{\text{ }}...}$[1]

Die einzelnen Nachkommastellen bilden d​ie Folge A074962 i​n OEIS.

Definitionen

Eine mögliche Definition von ${\displaystyle A}$ ist[2]

${\displaystyle A=\lim _{n\to \infty }{\frac {K(n+1)}{n^{{\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{2}}n+{\frac {1}{12}}}\,e^{-{\frac {1}{4}}n^{2}}}}}$

mit der K-Funktion ${\displaystyle K(n+1)=1^{1}\cdot 2^{2}\cdot 3^{3}\cdots n^{n}.}$

Eine andere Definition ist

${\displaystyle A=\exp \left({\tfrac {1}{12}}-\zeta ^{\prime }(-1)\right),}$

die einen Zusammenhang zur Ableitung der riemannschen Zetafunktion ${\displaystyle \zeta }$ darstellt.

Eine weitere Definition unter Verwendung der Kreiszahl ${\displaystyle \pi }$ lautet:

${\displaystyle A=\lim _{n\to \infty }{\frac {n^{{\frac {1}{2}}n^{2}-{\frac {1}{12}}}\,(2\pi )^{{\frac {1}{2}}n}\,e^{-{\frac {3}{4}}n^{2}+{\frac {1}{12}}}}{G(n+1)}}}$

mit der barnesschen G-Funktion ${\displaystyle G(n+1)=1!\cdot 2!\cdot 3!\cdots (n-1)!.}$

Eine andere Möglichkeit mit der Gammafunktion ${\displaystyle \Gamma }$ ist:

${\displaystyle A={\frac {2^{7/36}}{\pi ^{1/6}}}\exp \left({\frac {1}{3}}+{\frac {2}{3}}\int _{0}^{1/2}\!\ln \Gamma (x+1)\,\mathrm {d} x\right).}$

Eine Reihendarstellung lautet (Guillera, Sondow 2008)[3]

${\displaystyle \ln A={\frac {1}{8}}+{\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k+1}{\binom {n}{k}}(k+1)^{2}\ln(k+1).}$

Literatur

• Hermann Kinkelin: Ueber eine mit der Gammafunction verwandte Transcendente und deren Anwendung auf die Integralrechnung. (Juli 1856) In: Journal für die reine und angewandte Mathematik, 57, 1860, S. 122–138 (beim GDZ: digizeitschriften.de)
• J. W. L. Glaisher: On the Product 1¹.2².3³...nⁿ. In: The Messenger of Mathematics, 7, 1878, S. 43–47 (englisch; „A=1·28242 7130“ auf S. 43); Textarchiv – Internet Archive

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Glaisher-Kinkelin Constant. In: MathWorld (englisch).
• Folge A087501 in OEIS (Kettenbruchentwicklung von A)

Einzelnachweise

1. 20,000 digits of the Glaisher-Kinkelin constant (Memento vom 13. März 2011 im Internet Archive) – die ersten 20.000 Nachkommastellen beim Projekt mpmath (englisch)
2. Julian Havil: Gamma: Eulers Konstante, Primzahlstrände und die Riemannsche Vermutung. Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-48495-0, S. 103
3. Jesús Guillera, Jonathan Sondow: Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch’s transcendent. In: The Ramanujan Journal, 16, 2008, S. 247–270 (arxiv:math.NT/0506319)