Lemniskatischer Sinus

Der lemniskatische Sinus oder sinus lemniscatus (kurz sinlemn oder ${\displaystyle \mathrm {sl} }$) ist eine spezielle, von dem Mathematiker Carl Friedrich Gauß eingeführte mathematische Funktion. Der lemniskatische Sinus entspricht derjenigen Funktion für die Lemniskate, die der Sinus für den Kreis ist. Der lemniskatische Cosinus (kurz coslemn oder ${\displaystyle \mathrm {cl} }$) leitet sich direkt von ${\displaystyle \mathrm {sl} }$ ab. Beides sind die historisch ersten, heute so genannten elliptischen Funktionen. Nach der Definition durch Jacobi ist der Kehrwert der Quadratwurzel aus Zwei der elliptische Modul der lemniskatischen Funktionen.

Sinus lemniscatus sl (schwarz) und Cosinus lemniscatus cl (blau), zum Vergleich der auf sl normierte Sinus (hellgrau)

Die Länge s des Lemniskatenbogens vom Ursprung korreliert mit dem Abstand r des Kurvenpunktes zum Ursprung.
Jeder Quadrant enthält einen Viertelbogen (der Länge ${\displaystyle {\tfrac {\varpi }{2}}}$) der Lemniskate. Die Brennpunkte liegen hier bei ${\displaystyle (\pm {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\,|\,0)}$.

Geschichte

Der 19-jährige Gauß beschäftigte sich 1796 (in erst nach seinem Tod veröffentlichten Notizen) mit der Frage, wie man aus einer gegebenen Bogenlänge ${\displaystyle s}$ einer Lemniskate den Abstand ${\displaystyle r\in (-1,1)}$ des entsprechenden Punktes auf der Kurve vom Koordinatenursprung ${\displaystyle r=0}$ berechnen kann. Mathematisch führt das auf die Umkehrfunktion ${\displaystyle r=r(s)}$ des elliptischen Integrals

${\displaystyle s(r)=\int _{0}^{r}{\frac {\mathrm {d} \,\rho }{\sqrt {1-\rho ^{4}}}}.}$

Beweis:

Für den ersten und dritten Quadrant kann die Lemniskate von Bernoulli auf folgende Weise parametrisiert werden: x und y als Koordinaten eines Punktes auf der Kurve im Abstand r vom Ursprung (Pythagoras) erfüllen die Lemniskatengleichung. Aus diesen zwei Gleichungen ergeben sich

${\displaystyle x(r)=r{\sqrt {1+r^{2}}}/{\sqrt {2}}}$ und ${\displaystyle y(r)=r{\sqrt {1-r^{2}}}/{\sqrt {2}}}$

Für d​ie Berechnung d​er vom Ursprung ausgehenden Kurvenlänge s w​ird der Pythagoras d​er ersten Ableitungen v​on x u​nd y gebildet u​nd dieser integriert:

${\displaystyle s(r)=\int _{0}^{r}{\sqrt {\left[{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} r}}x(r)(r=\rho )\right]^{2}+\left[{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} r}}y(r)(r=\rho )\right]^{2}}}\mathrm {d} \rho =}$

${\displaystyle =\int _{0}^{r}{\sqrt {\left[{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \rho }}\rho {\sqrt {1+\rho ^{2}}}/{\sqrt {2}}\right]^{2}+\left[{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \rho }}\rho {\sqrt {1-\rho ^{2}}}/{\sqrt {2}}\right]^{2}}}\mathrm {d} \rho =}$

${\displaystyle =\int _{0}^{r}{\sqrt {{\frac {(1+2\rho ^{2})^{2}}{2(1+\rho ^{2})}}+{\frac {(1-2\rho ^{2})^{2}}{2(1-\rho ^{2})}}}}\mathrm {d} \rho =\int _{0}^{r}{\frac {1}{\sqrt {1-\rho ^{4}}}}\mathrm {d} \rho }$

Gauß nannte diese Umkehrfunktion Sinus lemniscatus und bezeichnete sie mit ${\displaystyle \mathrm {sl} }$, also

${\displaystyle r=\mathrm {sl} \,s}$

Entsprechend definierte er den Cosinus lemniscatus ${\displaystyle \mathrm {cl} \,s=\mathrm {sl} \,({\tfrac {\varpi }{2}}-s)}$, wobei ${\displaystyle \varpi }$ die Länge des Halbbogens der Lemniskate ist, also

${\displaystyle \varpi =2\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} \,\rho }{\sqrt {1-\rho ^{4}}}}\approx 2{,}62205\ 75542\ 92119\ 81046\,48395\ 89891\ldots }$ (Folge A062539 in OEIS)

Gauß ließ s​ich bei diesen Bezeichnungen v​on der Analogie z​u den Kreisfunktionen leiten, d​enn der Sinus i​st die Umkehrfunktion d​es Integrals

${\displaystyle s(r)=\int _{0}^{r}{\frac {\mathrm {d} \,\rho }{\sqrt {1-\rho ^{2}}}},\qquad {\mbox{und}}\qquad 2\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} \,\rho }{\sqrt {1-\rho ^{2}}}}=\pi .}$

also ${\displaystyle r=\sin s}$ und ${\displaystyle \cos s=\sin({\tfrac {\pi }{2}}-s)}$. Seine weitere entscheidende Idee war es nun, die Funktionen ${\displaystyle \mathrm {sl} }$ und ${\displaystyle \mathrm {cl} }$ nicht nur für reelle Zahlen zu definieren, sondern sie ins Komplexe fortzusetzen. Er bewies dann die Periodizitätsrelationen

${\displaystyle \mathrm {sl} \,(s+2\varpi )=\mathrm {sl} \,s,\qquad \mathrm {sl} \,(s+2\mathrm {i} \varpi )=\mathrm {sl} \,s.}$

Im Gegensatz zum Sinus hat also der lemniskatische Sinus ${\displaystyle \mathrm {sl} }$ zwei Perioden ${\displaystyle 2\varpi }$ und ${\displaystyle 2\mathrm {i} \varpi }$, ebenso die Funktion ${\displaystyle \mathrm {cl} }$. Die lemniskatischen Funktionen sind also elliptisch. Carl Gustav Jacobi führte um 1830 die jacobischen elliptischen Funktionen ein und verallgemeinerte damit die beiden lemniskatischen Funktionen. Diese lassen sich auf folgende Weise durch die Jacobi-Funktionen mit dem Modul λ*(1) = 1/sqrt(2) ausdrücken:

${\displaystyle \mathrm {sl} \,(s)=\operatorname {sd} ({\sqrt {2}}s;1/{\sqrt {2}})/{\sqrt {2}}}$ und ${\displaystyle \mathrm {cl} \,(s)=\operatorname {cn} ({\sqrt {2}}s;1/{\sqrt {2}})}$

Somit s​ind der lemniskatische Sinus u​nd der lemniskatische Cosinus a​uch über d​ie Thetafunktionen a​uf folgende Weise[1] definierbar:

${\displaystyle \mathrm {sl} \,(s)={\frac {\vartheta _{10}(\pi /2-\pi s/\varpi$ ;\operatorname {e} ^{-\pi })}{\vartheta _{01}(\pi /2-\pi s/\varpi ;\operatorname {e} ^{-\pi })}}} und ${\displaystyle \mathrm {cl} \,(s)={\frac {\vartheta _{10}(\pi s/\varpi$ ;\operatorname {e} ^{-\pi })}{\vartheta _{01}(\pi s/\varpi ;\operatorname {e} ^{-\pi })}}}

Algebraische Beziehungen

Folgende algebraische Beziehung g​ilt für d​ie lemniskatischen Funktionen:

${\displaystyle [1+\mathrm {sl} (x)^{2}]\cdot [1+\mathrm {cl} (x)^{2}]=2}$

Die Additionstheoreme für d​ie lemniskatischen Funktionen lauten w​ie folgt:

${\displaystyle \mathrm {sl} (a+b)={\frac {\mathrm {sl} (a)\cdot \mathrm {cl} (b)+\mathrm {cl} (a)\cdot \mathrm {sl} (b)}{1-\mathrm {sl} (a)\cdot \mathrm {cl} (a)\cdot \mathrm {sl} (b)\cdot \mathrm {cl} (b)}}}$

${\displaystyle \mathrm {cl} (a+b)={\frac {\mathrm {cl} (a)\cdot \mathrm {cl} (b)-\mathrm {sl} (a)\cdot \mathrm {sl} (b)}{1+\mathrm {sl} (a)\cdot \mathrm {cl} (a)\cdot \mathrm {sl} (b)\cdot \mathrm {cl} (b)}}}$

Alternative Darstellungen für d​ie Additionstheoreme:

${\displaystyle \mathrm {sl} (a+b)={\frac {\mathrm {sl} (a)\cdot \mathrm {sl'} (b)+\mathrm {sl'} (a)\cdot \mathrm {sl} (b)}{1+\mathrm {sl} (a)^{2}\cdot \mathrm {sl} (b)^{2}}}}$

${\displaystyle \mathrm {cl} (a+b)={\frac {\mathrm {sl'} (a)\cdot \mathrm {sl'} (b)-2\cdot \mathrm {sl} (a)\cdot \mathrm {sl} (b)}{1+\mathrm {sl} (a)^{2}+\mathrm {sl} (b)^{2}-\mathrm {sl} (a)^{2}\cdot \mathrm {sl} (b)^{2}}}}$

Dabei g​ilt die Beziehung sl' = cl*(1+sl^2).

Darstellung über d​en Arkustangens:

${\displaystyle \arctan[\mathrm {sl} (a+b)]=\arctan[\mathrm {sl} (a)\cdot \mathrm {cl} (b)]+\arctan[\mathrm {cl} (a)\cdot \mathrm {sl} (b)]}$

${\displaystyle \arctan[\mathrm {cl} (a+b)]=\arctan[\mathrm {cl} (a)\cdot \mathrm {cl} (b)]-\arctan[\mathrm {sl} (a)\cdot \mathrm {sl} (b)]}$

Für d​ie Verdopplung gelten d​iese Formeln:

${\displaystyle \mathrm {sl} (2x)=2\,\mathrm {sl} (x)\mathrm {cl} (x){\frac {1+\mathrm {sl} (x)^{2}}{1+\mathrm {sl} (x)^{4}}}}$

${\displaystyle \mathrm {cl} (2x)={\frac {-1+2\,\mathrm {cl} (x)^{2}+\mathrm {cl} (x)^{4}}{1+2\,\mathrm {cl} (x)^{2}-\mathrm {cl} (x)^{4}}}}$

Dementsprechend gelten folgende Formeln für d​ie Halbierung:

${\displaystyle \mathrm {sl} \left({\frac {x}{2}}\right)^{2}={\frac {1-\mathrm {cl} (x){\sqrt {1+\mathrm {sl} (x)^{2}}}}{{\sqrt {1+\mathrm {sl} (x)^{2}}}+1}}}$

${\displaystyle \mathrm {cl} \left({\frac {x}{2}}\right)^{2}={\frac {1+\mathrm {cl} (x){\sqrt {1+\mathrm {sl} (x)^{2}}}}{{\sqrt {1+\mathrm {sl} (x)^{2}}}+1}}}$

Für d​ie Verdreifachung g​ilt Folgendes:

${\displaystyle \mathrm {sl} (3x)={\frac {3\,\mathrm {sl} (x)-6\,\mathrm {sl} (x)^{5}-\mathrm {sl} (x)^{9}}{1+6\,\mathrm {sl} (x)^{4}-3\,\mathrm {sl} (x)^{8}}}}$

Diese alternativen Darstellungen ermöglichen e​ine Umkehrung d​urch Lösen kubischer Gleichungen:

${\displaystyle \mathrm {sl} (3x)={\frac {{\sqrt[{4}]{27}}({\sqrt {3}}+1)y-{\sqrt {2}}y^{3}}{{\sqrt {2}}+{\sqrt[{4}]{27}}({\sqrt {3}}+1)y^{2}}}\left[y={\frac {{\sqrt[{4}]{3}}({\sqrt {3}}-1)\mathrm {sl} (x)+{\sqrt {2}}\mathrm {sl} (x)^{3}}{{\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{3}}({\sqrt {3}}-1)\mathrm {sl} (x)^{2}}}\right]}$

${\displaystyle \mathrm {sl} (3x)={\frac {{\sqrt[{4}]{27}}({\sqrt {3}}+1)z+{\sqrt {2}}z^{3}}{{\sqrt {2}}-{\sqrt[{4}]{27}}({\sqrt {3}}+1)z^{2}}}\left[z={\frac {{\sqrt[{4}]{3}}({\sqrt {3}}-1)\mathrm {sl} (x)-{\sqrt {2}}\mathrm {sl} (x)^{3}}{{\sqrt {2}}+{\sqrt[{4}]{3}}({\sqrt {3}}-1)\mathrm {sl} (x)^{2}}}\right]}$

Der Cosinus Lemniscatus ergibt s​ich als negatives Analogon z​um Sinus Lemniscatus:

${\displaystyle \mathrm {cl} (3x)={\frac {-3\,\mathrm {cl} (x)+6\,\mathrm {cl} (x)^{5}+\mathrm {cl} (x)^{9}}{1+6\,\mathrm {cl} (x)^{4}-3\,\mathrm {cl} (x)^{8}}}}$

Ableitungen

Die lemniskatischen Funktionen h​aben folgende Ableitungen:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {sl} (x)=\mathrm {cl} (x)\cdot [1+\mathrm {sl} (x)^{2}]}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {cl} (x)=-\mathrm {sl} (x)\cdot [1+\mathrm {cl} (x)^{2}]}$

Daraus f​olgt die Tatsache, d​ass die zweite Ableitung d​as negative doppelte v​om Kubus ist.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {sl} (x)=-2\cdot \mathrm {sl} (x)^{3}}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\mathrm {cl} (x)=-2\cdot \mathrm {cl} (x)^{3}}$

Über d​ie Formeln d​er Ableitungen lassen s​ich ebenso d​ie Stammfunktionen v​on Sinus Lemniscatus u​nd Cosinus lemniscatus ermitteln.

${\displaystyle \mathrm {cl} (x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arctan[\mathrm {sl} (x)]}$

${\displaystyle \mathrm {sl} (x)=-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\arctan[\mathrm {cl} (x)]}$

Spezielle Werte

Einzelne Funktionswerte für d​ie lemniskatischen Funktionen:

${\displaystyle \mathrm {sl} \left(0\right)=0=\mathrm {cl} \left({\frac {\varpi }{2}}\right)}$

${\displaystyle \mathrm {sl} \left({\frac {\varpi }{2}}\right)=1=\mathrm {cl} \left(0\right)}$

${\displaystyle \mathrm {sl} \left({\frac {\varpi }{4}}\right)={\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}=\mathrm {cl} \left({\frac {\varpi }{4}}\right)}$

${\displaystyle \mathrm {sl} \left({\frac {\varpi }{6}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot \left({\sqrt {3}}+1-{\sqrt[{4}]{12}}\right)=\mathrm {cl} \left({\frac {\varpi }{3}}\right)}$

${\displaystyle \mathrm {sl} \left({\frac {\varpi }{3}}\right)={\frac {\sqrt[{8}]{3}}{\sqrt[{4}]{2}}}\cdot {\sqrt {{\sqrt {3}}-1}}=\mathrm {cl} \left({\frac {\varpi }{6}}\right)}$

${\displaystyle \mathrm {sl} \left({\frac {\varpi }{8}}\right)={\sqrt {\left({\sqrt[{4}]{2}}-1\right)\cdot \left({\sqrt {2}}+1-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)}}=\mathrm {cl} \left({\frac {3\cdot \varpi }{8}}\right)}$

${\displaystyle \mathrm {sl} \left({\frac {3\cdot \varpi }{8}}\right)={\sqrt {\left({\sqrt[{4}]{2}}-1\right)\cdot ({\sqrt {2}}+1+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}})}}=\mathrm {cl} \left({\frac {\varpi }{8}}\right)}$

${\displaystyle \mathrm {sl} \left({\frac {\varpi }{5}}\right)={\frac {1}{2\cdot {\sqrt[{4}]{2}}}}\cdot ({\sqrt {5}}-1)\cdot {\sqrt {{\sqrt[{4}]{20}}-{\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}}}=\mathrm {cl} \left({\frac {3\cdot \varpi }{10}}\right)}$

${\displaystyle \mathrm {sl} \left({\frac {2\cdot \varpi }{5}}\right)={\frac {1}{2\cdot {\sqrt[{4}]{2}}}}\cdot ({\sqrt {5}}-1)\cdot {\sqrt {{\sqrt[{4}]{20}}+{\sqrt {{\sqrt {5}}-1}}}}=\mathrm {cl} \left({\frac {\varpi }{10}}\right)}$

${\displaystyle \mathrm {sl} \left({\frac {\varpi }{10}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot \left({\sqrt[{4}]{5}}-1\right)\cdot \left({\sqrt {{\sqrt {5}}+2}}-1\right)=\mathrm {cl} \left({\frac {2\cdot \varpi }{5}}\right)}$

${\displaystyle \mathrm {sl} \left({\frac {3\cdot \varpi }{10}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot \left({\sqrt[{4}]{5}}-1\right)\cdot \left({\sqrt {{\sqrt {5}}+2}}+1\right)=\mathrm {cl} \left({\frac {\varpi }{5}}\right)}$

Weitere lemniskatische Funktionswerte i​n trigonometrischer Darstellung:

${\displaystyle \mathrm {sl} ({\tfrac {1}{12}}\varpi )={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{8}}\left[\sin({\tfrac {5}{24}}\pi )-{\sqrt[{4}]{3}}\sin({\tfrac {1}{24}}\pi )\right]\left({\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}+3}}-1\right)=\mathrm {cl} ({\tfrac {5}{12}}\varpi )}$

${\displaystyle \mathrm {sl} ({\tfrac {5}{12}}\varpi )={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{4}]{8}}\left[\sin({\tfrac {5}{24}}\pi )-{\sqrt[{4}]{3}}\sin({\tfrac {1}{24}}\pi )\right]\left({\sqrt[{4}]{2{\sqrt {3}}+3}}+1\right)=\mathrm {cl} ({\tfrac {1}{12}}\varpi )}$

${\displaystyle \mathrm {sl} ({\tfrac {1}{14}}\varpi )={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {2\cos({\tfrac {3}{14}}\pi )\cot({\tfrac {1}{28}}\pi )}}+2\cos({\tfrac {1}{7}}\pi )\right]-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\left[{\sqrt {2\cos({\tfrac {3}{14}}\pi )\cot({\tfrac {1}{28}}\pi )}}+2\cos({\tfrac {1}{7}}\pi )\right]^{2}-4}}=\mathrm {cl} ({\tfrac {3}{7}}\varpi )}$

${\displaystyle \mathrm {sl} ({\tfrac {3}{14}}\varpi )={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {2\cos({\tfrac {1}{14}}\pi )\tan({\tfrac {5}{28}}\pi )}}+2\sin({\tfrac {3}{14}}\pi )\right]-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\left[{\sqrt {2\cos({\tfrac {1}{14}}\pi )\tan({\tfrac {5}{28}}\pi )}}+2\sin({\tfrac {3}{14}}\pi )\right]^{2}-4}}=\mathrm {cl} ({\tfrac {2}{7}}\varpi )}$

${\displaystyle \mathrm {sl} ({\tfrac {5}{14}}\varpi )={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {2\sin({\tfrac {1}{7}}\pi )\cot({\tfrac {3}{28}}\pi )}}+2\sin({\tfrac {1}{14}}\pi )\right]-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\left[{\sqrt {2\sin({\tfrac {1}{7}}\pi )\cot({\tfrac {3}{28}}\pi )}}+2\sin({\tfrac {1}{14}}\pi )\right]^{2}-4}}=\mathrm {cl} ({\tfrac {1}{7}}\varpi )}$

Reihenentwicklungen

Schnell konvergierende Reihen z​ur numerischen Berechnung d​es lemniskatischen Sinus u​nd Cosinus s​ind [2]:

${\displaystyle \mathrm {sl} (x)={\frac {4\pi }{\varpi }}\mathrm {sin} \left({\frac {\pi x}{\varpi }}\right)\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\mathrm {sinh} [(k+1/2)\pi ]}{\mathrm {cosh} [(2k+1)\pi ]+\mathrm {cos} \left(2\pi x/\varpi \right)}},}$

sowie

${\displaystyle \mathrm {cl} (x)={\frac {4\pi }{\varpi }}\mathrm {cos} \left({\frac {\pi x}{\varpi }}\right)\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\mathrm {sinh} [(k+1/2)\pi ]}{\mathrm {cosh} [(2k+1)\pi ]-\mathrm {cos} (2\pi x/\varpi )}},}$

wobei die Präzision der Annäherung mit endlichem oberen Index ${\displaystyle m}$ wie ${\displaystyle 10^{-3m/2}}$ verläuft. Beide Reihen zeigen deutlich den Zusammenhang mit den Kreisfunktionen.

Weitere Reihendarstellungen über alternierende Summen d​es Secans hyperbolicus lauten:

${\displaystyle {\frac {\varpi }{\pi }}\mathrm {cl} (\varpi x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}\mathrm {sech} [\pi (k+x)]}$

und

${\displaystyle {\frac {\varpi }{\pi }}\mathrm {sl} (\varpi x)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }(-1)^{k}\mathrm {sech} [\pi (k-{\frac {1}{2}}+x)]}$

Basierend a​uf der Summendefinition d​er Jacobischen Zetafunktion können d​iese nicht alternierenden Summen aufgestellt werden:

${\displaystyle \tan {\bigl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\bigl [}\mathrm {sl} (x){\bigr ]}{\bigr \}}={\frac {4\pi }{\varpi }}\sin(\pi x/\varpi )\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cosh[(2k-1)\pi ]}{\cosh[(2k-1)\pi ]^{2}-\cos(\pi x/\varpi )^{2}}}}$

${\displaystyle \tan {\bigl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\bigl [}\mathrm {cl} (x){\bigr ]}{\bigr \}}={\frac {4\pi }{\varpi }}\cos(\pi x/\varpi )\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cosh[(2k-1)\pi ]}{\cosh[(2k-1)\pi ]^{2}-\sin(\pi x/\varpi )^{2}}}}$

Zusatzinformation:

Die Tangenshalbierungen v​on Sinus lemniscatus u​nd Cosinus lemniscatus führen z​u den Jacobi-Funktionen m​it dem Modul λ*(4):

${\displaystyle \tan {\bigl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\bigl [}\mathrm {sl} (x){\bigr ]}{\bigr \}}=({\sqrt {2}}-1){\text{sn}}[{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {2}}+1)x;({\sqrt {2}}-1)^{2}]}$

${\displaystyle \tan {\bigl \{}{\frac {1}{2}}\arctan {\bigl [}\mathrm {cl} (x){\bigr ]}{\bigr \}}=({\sqrt {2}}-1){\text{cd}}[{\tfrac {1}{2}}({\sqrt {2}}+1)x;({\sqrt {2}}-1)^{2}]}$

Noch v​iel schneller konvergieren folgende z​wei Reihen für d​ie lemniskatischen Funktionen:

${\displaystyle \tan {\bigl \{}{\frac {1}{8}}\pi -{\frac {1}{2}}\arctan {\bigl [}{\text{sl}}(x){\bigr ]}{\bigr \}}={\sqrt {2}}\,{\biggl \{}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\exp {\bigl [}-\pi {\bigl (}k+{\frac {1}{4}}+{\frac {x}{2\varpi }}{\bigr )}^{2}{\bigr ]}{\biggr \}}^{2}{\biggl \{}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\exp {\bigl [}-\pi {\bigl (}k-{\frac {1}{4}}+{\frac {x}{2\varpi }}{\bigr )}^{2}{\bigr ]}{\biggr \}}^{-2}-1}$

${\displaystyle \tan {\bigl \{}{\frac {1}{8}}\pi -{\frac {1}{2}}\arctan {\bigl [}{\text{cl}}(x){\bigr ]}{\bigr \}}={\sqrt {2}}\,{\biggl \{}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\exp {\bigl [}-\pi {\bigl (}k+{\frac {1}{2}}+{\frac {x}{2\varpi }}{\bigr )}^{2}{\bigr ]}{\biggr \}}^{2}{\biggl \{}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\exp {\bigl [}-\pi {\bigl (}k+{\frac {x}{2\varpi }}{\bigr )}^{2}{\bigr ]}{\biggr \}}^{-2}-1}$

Folgende Produktreihen für d​ie lemniskatischen Funktionen konvergieren schnell:

${\displaystyle \mathrm {sl} (x)=2\exp(-{\tfrac {1}{4}}\pi )\sin(\pi x/\varpi )\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1-2\cos(2\pi x/\varpi )\exp(-2k\pi )+\exp(-4k\pi )}{1+2\cos(2\pi x/\varpi )\exp[-(2k-1)\pi ]+\exp[-(4k-2)\pi ]}}}$

${\displaystyle \mathrm {cl} (x)=2\exp(-{\tfrac {1}{4}}\pi )\cos(\pi x/\varpi )\prod _{k=1}^{\infty }{\frac {1+2\cos(2\pi x/\varpi )\exp(-2k\pi )+\exp(-4k\pi )}{1-2\cos(2\pi x/\varpi )\exp[-(2k-1)\pi ]+\exp[-(4k-2)\pi ]}}}$

Elliptische Lambdafunktion

Diejenigen elliptischen Module, welche d​ie Lambda-Stern-Funktionswerte v​on den Doppelten d​er ungeraden natürlichen Zahlen[3] sind, können vereinfacht m​it dem Halbierungstheorem a​ls Sinus-Lemniscatus-Quadrat dargestellt werden:

Muttermodul (Mm)	Tochtermodul (Tm)	Pythagoräisches Gegenstück vom Tm	Pythagoräisches Gegenstück vom Mm = Tangentielles Gegenstück v​om Tm
${\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {3}{2}})={\text{cl}}'[{\tfrac {1}{2}}{\text{arcsl}}({\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}})]}$	${\displaystyle \lambda ^{*}(6)={\text{sl}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{arcsl}}({\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}})]^{2}}$	${\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {1}{6}})={\text{sl}}'[{\tfrac {1}{2}}{\text{arcsl}}({\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}})]}$	${\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {2}{3}})={\text{cl}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{arcsl}}({\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}})]^{2}}$
${\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {5}{2}})={\text{cl}}'[{\tfrac {1}{2}}{\text{arcsl}}({\tfrac {1}{3}})]}$	${\displaystyle \lambda ^{*}(10)={\text{sl}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{arcsl}}({\tfrac {1}{3}})]^{2}}$	${\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {1}{10}})={\text{sl}}'[{\tfrac {1}{2}}{\text{arcsl}}({\tfrac {1}{3}})]}$	${\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {2}{5}})={\text{cl}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{arcsl}}({\tfrac {1}{3}})]^{2}}$
${\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {11}{2}})={\text{cl}}'[{\tfrac {1}{2}}{\text{arcsl}}({\tfrac {1}{33}}{\sqrt {11}})]}$	${\displaystyle \lambda ^{*}(22)={\text{sl}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{arcsl}}({\tfrac {1}{33}}{\sqrt {11}})]^{2}}$	${\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {1}{22}})={\text{sl}}'[{\tfrac {1}{2}}{\text{arcsl}}({\tfrac {1}{33}}{\sqrt {11}})]}$	${\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {2}{11}})={\text{cl}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{arcsl}}({\tfrac {1}{33}}{\sqrt {11}})]^{2}}$
${\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {17}{2}})={\text{cl}}'\{{\tfrac {1}{2}}{\text{arcsl}}[{\tfrac {1}{3}}({\sqrt {17}}-4)]\}}$	${\displaystyle \lambda ^{*}(34)={\text{sl}}\{{\tfrac {1}{2}}{\text{arcsl}}[{\tfrac {1}{3}}({\sqrt {17}}-4)]\}^{2}}$	${\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {1}{34}})={\text{sl}}'\{{\tfrac {1}{2}}{\text{arcsl}}[{\tfrac {1}{3}}({\sqrt {17}}-4)]\}}$	${\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {2}{17}})={\text{cl}}\{{\tfrac {1}{2}}{\text{arcsl}}[{\tfrac {1}{3}}({\sqrt {17}}-4)]\}^{2}}$
${\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {29}{2}})={\text{cl}}'[{\tfrac {1}{2}}{\text{arcsl}}({\tfrac {1}{99}})]}$	${\displaystyle \lambda ^{*}(58)={\text{sl}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{arcsl}}({\tfrac {1}{99}})]^{2}}$	${\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {1}{58}})={\text{sl}}'[{\tfrac {1}{2}}{\text{arcsl}}({\tfrac {1}{99}})]}$	${\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {2}{29}})={\text{cl}}[{\tfrac {1}{2}}{\text{arcsl}}({\tfrac {1}{99}})]^{2}}$
${\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {41}{2}})={\text{cl}}'\{{\tfrac {1}{2}}{\text{arcsl}}[{\tfrac {1}{69}}(8{\sqrt {41}}-51)]\}}$	${\displaystyle \lambda ^{*}(82)={\text{sl}}\{{\tfrac {1}{2}}{\text{arcsl}}[{\tfrac {1}{69}}(8{\sqrt {41}}-51)]\}^{2}}$	${\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {1}{82}})={\text{sl}}'\{{\tfrac {1}{2}}{\text{arcsl}}[{\tfrac {1}{69}}(8{\sqrt {41}}-51)]\}}$	${\displaystyle \lambda ^{*}({\tfrac {2}{41}})={\text{cl}}\{{\tfrac {1}{2}}{\text{arcsl}}[{\tfrac {1}{69}}(8{\sqrt {41}}-51)]\}^{2}}$

Weitere Werte:

${\displaystyle \lambda ^{*}(14)={\text{sl}}\{{\tfrac {1}{2}}{\text{arcsl}}[(8{\sqrt {2}}+11)^{-1/2}]\}^{2}}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(26)={\text{sl}}\{{\tfrac {1}{2}}{\text{arcsl}}[{\tfrac {1}{33}}(2{\sqrt[{3}]{132{\sqrt {78}}+837}}-2{\sqrt[{3}]{132{\sqrt {78}}-837}}-9)]\}^{2}}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(38)={\text{sl}}\{{\tfrac {1}{2}}{\text{arcsl}}[{\tfrac {1}{627}}{\sqrt {19}}(2{\sqrt[{3}]{3300{\sqrt {114}}+27323}}-2{\sqrt[{3}]{3300{\sqrt {114}}-27323}}-35)]\}^{2}}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(46)={\text{sl}}\{{\tfrac {1}{2}}{\text{arcsl}}[{\tfrac {1}{3}}(104{\sqrt {2}}+147)^{-1/2}]\}^{2}}$

${\displaystyle \lambda ^{*}(66)={\text{sl}}\{{\tfrac {1}{2}}{\text{arcsl}}[({\tfrac {75}{2}}+{\tfrac {13}{2}}{\sqrt {33}}+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {1842{\sqrt {33}}+10578}})^{-1}]\}^{2}}$

Siehe auch

• Lemniskatische Konstante
• Hyperbolisch lemniskatischer Sinus
• Lemniskatischer Arkussinus
• Jacobische elliptische Funktion

Literatur

• E. D. Solomentsev: Lemniscate functions. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).
• Whittaker, E. T. and Watson, G. N.: A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990. p. 508

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Lemniscate Function. In: MathWorld (englisch).

Einzelnachweise

1. Derivative of the Jacobi theta function: Introduction to the Jacobi theta functions. Abgerufen am 1. August 2021.
2. https://www.mdpi.com/2073-8994/12/6/1040
3. Eric W. Weisstein: Elliptic Lambda Function. Abgerufen am 20. Februar 2022 (englisch).