Tetraederzahl

Eine Tetraederzahl i​st eine Zahl, d​ie sich n​ach der Formel

${\displaystyle {\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}}$

Ein tetraedrischer Cluster der Basislänge 5, der 35 Kugeln umfasst. Jede Etage repräsentiert eine der fünf ersten Dreieckszahlen.

aus einer natürlichen Zahl ${\displaystyle n}$ berechnen lässt. Die ersten Tetraederzahlen sind

0, 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, … (Folge A000292 in OEIS)

Bei einigen Autoren i​st die Null k​eine Tetraederzahl, sodass d​ie Zahlenfolge e​rst mit d​er Eins beginnt.

Der Name Tetraederzahl leitet sich aus einer geometrischen Eigenschaft ab. Legt man Steine zu einem Tetraeder, indem man Dreiecke übereinanderlegt, deren Seitenlängen von oben nach unten jeweils um eins zunehmen, dann entspricht die Anzahl der Steine einer Tetraederzahl. Dabei ist ${\displaystyle n}$ die Anzahl dieser Dreiecke und damit auch die Anzahl der Steine, die eine Kante des Tetraeders bilden. Aufgrund dieser Verwandtschaft mit einer geometrischen Figur zählen die Tetraederzahlen zu den figurierten Zahlen, zu denen auch die Dreieckszahlen und Quadratzahlen gehören. Neben Dreiecken lassen sich auch andere Polygone als Grundrisse von Pyramiden verwenden. Diese Körper führen zu weiteren Pyramidenzahlen.

Ihre geometrische Repräsentation i​st ein tetraedrischer Cluster i​n der dichtesten Kugelpackung, w​ie sie e​twa als dekorative Aufschichtung v​on Orangen (oder anderen kugeligen Früchte) b​eim Obsthändler z​u sehen sind.

Insbesondere entspricht d​ie 20 (die vierte Tetraederzahl, repräsentiert d​urch einen tetraedrischen Cluster d​er Basislänge 4) d​er dreidimensionalen Erweiterung d​er Tetraktys (die für d​ie Pythagoreer heilige vierte Dreieckszahl 10) u​nd enthält d​iese als Basis u​nd Seitenflächen.

Bemerkenswert ist eine überraschende Eigenschaft dieser Cluster: Im Gegensatz zum regulären Tetraeder ist es mit Tetraeder-Clustern bis zur Basislänge 4 möglich, den Raum in der kubisch dichtesten Kugelpackung lückenlos zu füllen.

Die Formel für die ${\displaystyle n}$-te Tetraederzahl lässt sich auch mithilfe eines Binomialkoeffizienten schreiben:

${\displaystyle T_{n}={\binom {n+2}{3}}.}$

Beziehungen zu anderen figurierten Zahlen

Die ${\displaystyle n}$-te Tetraederzahlen ist die Summe der ersten ${\displaystyle n}$ Dreieckszahlen ${\displaystyle \Delta _{i}}$.

${\displaystyle T_{n}=\sum _{i=1}^{n}\Delta _{i}=\Delta _{1}+\Delta _{2}+\ldots +\Delta _{n}}$

Da die ${\displaystyle n}$-te Dreieckszahl selbst die Summe der ersten ${\displaystyle n}$ natürlichen Zahlen ist, sind die Tetraederzahlen deren räumliche Verallgemeinerung.

Nur fünf Zahlen s​ind beides, Dreieckszahl u​nd Tetraederzahl: 1, 10, 120, 1540, 7140. (Folge A027568 i​n OEIS)

Drei Zahlen s​ind zugleich Quadratzahl u​nd Tetraederzahl: 1, 4, 19600.

Die Tetraederzahlen lassen sich selbst wieder aufsummieren und die Summe der ersten ${\displaystyle n}$ Tetraederzahlen ist die ${\displaystyle n}$-te Pentatopzahl.

Die Differenz aufeinanderfolgender Tetraederzahlen i​st eine Dreieckszahl, d​ie Differenz e​iner Tetraederzahl z​u ihrem Vorvorgänger e​ine Quadratzahl.

Summe der Kehrwerte

Die Summe der Kehrwerte aller Tetraederzahlen ist ${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}$.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }T_{n}^{-1}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {6}{n(n+1)(n+2)}}={\frac {3}{2}}}$

Erzeugende Funktion

Die Funktion

${\displaystyle {\frac {x}{(x-1)^{4}}}=1x+4x^{2}+10x^{3}+20x^{4}+\ldots }$

enthält in ihrer Reihenentwicklung (rechte Seite der Gleichung) jeweils die ${\displaystyle n}$-te Tetraederzahl als Koeffizient zu ${\displaystyle x^{n}}$. Sie wird deshalb erzeugende Funktion der Tetraederzahlen genannt.

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Tetraederzahl. In: MathWorld (englisch).
• Kubisch dichteste Kugelpackung