Summe von drei Kubikzahlen

Welche Eigenschaft muss eine ganze Zahl ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ haben, damit sie als Summe dreier Kubikzahlen ${\displaystyle x^{3},\ y^{3}}$ und ${\displaystyle z^{3}}$ mit ganzzahligen Basen ${\displaystyle x,y,z\in \mathbb {Z} }$ darstellbar ist?
Wie lauten zu einer gegebenen Zahl ${\displaystyle n}$ mögliche Zahlentripel ${\displaystyle x,\ y}$ und ${\displaystyle z}$, so dass ${\displaystyle n=x^{3}+y^{3}+z^{3}}$ erfüllt ist? Wie viele Lösungen gibt es für eine gegebene Zahl ${\displaystyle n}$?

Einfach-logarithmischer Graph der Lösungen der Gleichung x³ + y³ + z³ = n mit ganzzahligen x, y und z, und n aus [0, 100]. Grüne Balken bedeuten, dass es für diese n nachweislich keine Lösungen gibt.

Die Lösungen dieser diophantischen Gleichung für gegebene ${\displaystyle n}$ ist ein seit 160 Jahren ungelöstes Problem der Zahlentheorie.[1]

Lösungen der Gleichung

Darstellungen für n = 0

Die einfachste triviale Darstellung für ${\displaystyle n=0}$ als Summe dreier Kubikzahlen lautet:

${\displaystyle 0=0^{3}+0^{3}+0^{3}}$.

Weitere triviale Darstellungen lauten:

${\displaystyle 0=0^{3}+a^{3}+(-a)^{3}}$  mit  ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} }$.

Nichttriviale Darstellungen existieren nicht.

Beweis:

Angenommen, es existiert eine nichttriviale Darstellung der Form ${\displaystyle 0=x^{3}+y^{3}+z^{3}}$ mit ${\displaystyle x,y,z\not =0}$ . Genau eine oder zwei der Variablen ${\displaystyle x,y,z}$ müssen negativ sein, denn sie können nicht alle drei gleichzeitig positiv oder negativ sein. Ohne Bedingung der Allgemeinheit kann angenommen werden, dass ${\displaystyle x>0,y>0,z<0}$ (Im Fall von zwei negativen Variablen, betrachtet man die Lösung ${\displaystyle -x,-y,-z}$). Bringt man ${\displaystyle z^{3}}$ auf die rechte Seite, erhält man mit ${\displaystyle x^{3}+y^{3}=-z^{3}}$ eine ganzzahlige Lösung für die Gleichung ${\displaystyle x^{3}+y^{3}=z'^{3}}$ mit ${\displaystyle z'=-z>0}$. Dies steht aber im Widerspruch zum auf Kubikzahlen angewendeten Großen Fermatscher Satz, der besagt, dass die Gleichung ${\displaystyle x^{3}+y^{3}=z^{3}}$ für positive ganze Zahlen ${\displaystyle x,y,z\in \mathbb {N} }$ keine Lösungen besitzt. Somit muss die Annahme fallengelassen werden, was bedeutet, dass es keine nichttriviale Darstellung der Form ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=0}$ geben kann.  ∎ 

Darstellungen für n = 1

Die triviale Darstellung für ${\displaystyle n=1}$ als Summe dreier Kubikzahlen lautet:

${\displaystyle 1=0^{3}+0^{3}+1^{3}}$.

Neben dieser existieren a​ber auch weitere Darstellungen, w​ie z. B.:

${\displaystyle 1=(-6)^{3}+(-8)^{3}+9^{3}}$

${\displaystyle ...}$

${\displaystyle 1=131769^{3}+(-131802)^{3}+11980^{3}}$.

Neben diesen Einzellösungen existieren a​ber auch g​anze Familien v​on Darstellungen. Die einfachste lautet:

${\displaystyle 1=c^{3}+(-c)^{3}+1^{3}}$  mit  ${\displaystyle c\in \mathbb {Z} }$.

Zwei kompliziertere Lösungsfamilien wurden i​m Jahr 1936 v​om Mathematiker Kurt Mahler entdeckt:[1]

${\displaystyle 1=(9c^{4})^{3}+(\pm 3c-9c^{4})^{3}+(1\mp 9c^{3})^{3}}$  mit  ${\displaystyle c\in \mathbb {Z} }$

${\displaystyle \ \ =\underbrace {\bcancel {729c^{12}}} _{4}\quad \pm \underbrace {\bcancel {27c^{3}}} _{1}-\underbrace {\bcancel {243c^{6}}} _{2}\pm \underbrace {\bcancel {729c^{9}}} _{3}-\underbrace {\bcancel {729c^{12}}} _{4}\quad +1\mp \underbrace {\bcancel {27c^{3}}} _{1}+\underbrace {\bcancel {243c^{6}}} _{2}\mp \underbrace {\bcancel {729c^{9}}} _{3}=1}$

wie a​uch folgende:[1]

${\displaystyle 1=(-135c^{4}+3888c^{10})^{3}+(3c-81c^{4}-1296c^{7}-3888c^{10})^{3}+(1-9c^{3}+648c^{6}+3888c^{9})^{3}}$  mit  ${\displaystyle c\in \mathbb {Z} }$.

Für ${\displaystyle n=1}$ lieferte Lehmer unendlich viele polynomische Lösungsfamilien[2]. Neben

${\displaystyle (x_{c,0},y_{c,0},z_{c,0})=(9c^{4},+3c-9c^{4},1-9c^{3})}$,

${\displaystyle (x_{c,1},y_{c,1},z_{c,1})=(9c^{4},-3c-9c^{4},1+9c^{3})}$

lassen sich für jedes einzelne ${\displaystyle c\in \mathbb {Z} }$ unendlich viele weitere Tripel ${\displaystyle (x_{c,k},y_{c,k},z_{c,k})}$ mit ${\displaystyle k\geq 2}$ rekursiv mittels

${\displaystyle x_{c,k}=2\,(216c^{6}-1)x_{c,k-1}-x_{c,k-2}-108c^{4}}$,

${\displaystyle y_{c,k}=2\,(216c^{6}-1)y_{c,k-1}-y_{c,k-2}-108c^{4}}$ und

${\displaystyle z_{c,k}=2\,(216c^{6}-1)z_{c,k-1}-z_{c,k-2}+216c^{6}+4}$

konstruieren.[2] Für ${\displaystyle k=0}$ und ${\displaystyle 1}$ erhält man die einfachen Lösungen von Kurt Mahler, für ${\displaystyle k=2}$ die kompliziertere.

Darstellungen für n = 2

Die triviale Darstellung für ${\displaystyle n=2}$ als Summe dreier Kubikzahlen lautet:

${\displaystyle 2=0^{3}+1^{3}+1^{3}}$.

Eine i​m Jahr 1908 entdeckte nichttriviale Darstellungs-Familie lautet[1]

${\displaystyle 2=(1+6c^{3})^{3}+(1-6c^{3})^{3}+(-6c^{2})^{3}}$  mit  ${\displaystyle c\in \mathbb {Z} }$.

Weitere bekannte Darstellungen, d​ie nicht d​er obigen Familie angehören, sind:

${\displaystyle {\begin{array}{lrcrcr}2=&1214928^{3}&+&3480205^{3}&+&(-3528875)^{3}\\2=&37404275617^{3}&+&(-25282289375)^{3}&+&(-33071554596)^{3}\\2=&3737830626090^{3}&+&1490220318001^{3}&+&(-3815176160999)^{3}\end{array}}}$

Darstellungen für n = 3

Bis September 2019 waren die einzigen bekannten Darstellungen für ${\displaystyle n=3}$ als Summe dreier Kubikzahlen folgende:

${\displaystyle 3=1^{3}+1^{3}+1^{3}}$  und

${\displaystyle 3=4^{3}+4^{3}+(-5)^{3}}$

Überraschenderweise w​urde im September 2019 e​ine weitere Darstellung entdeckt:[3]

${\displaystyle 3=569936821221962380720^{3}+(-569936821113563493509)^{3}+(-472715493453327032)^{3}}$

Man weiß nicht, ob es nur diese drei, endlich viele oder unendlich viele Darstellung für ${\displaystyle n=3}$ gibt.

Darstellungen für n = 4 und 5

Für ${\displaystyle n=4}$ und ${\displaystyle 5}$ gibt es keine Lösungen.

Darstellungen für n = 6

Es gibt mehrere Darstellungen; die für ${\displaystyle |x|\leq |y|\leq |z|\leq 1000}$ lauten:

${\displaystyle 6=(-1)^{3}+(-1)^{3}+2^{3}}$

${\displaystyle 6=(-43)^{3}+(-58)^{3}+65^{3}}$

${\displaystyle 6=(-55)^{3}+(-235)^{3}+236^{3}}$

${\displaystyle 6=(-205)^{3}+(-637)^{3}+644^{3}}$

Darstellungen für n = 7

Es gibt mehrere Darstellungen; die für ${\displaystyle |x|\leq |y|\leq |z|\leq 1000}$ lauten:

${\displaystyle 7=0^{3}+(-1)^{3}+2^{3}}$

${\displaystyle 7=32^{3}+104^{3}+(-105)^{3}}$

${\displaystyle 7=44^{3}+168^{3}+(-169)^{3}}$

Konstruierbare Lösungen für n = k³m

Lässt sich ${\displaystyle n}$ als Produkt einer Kubikzahl ${\displaystyle k^{3}}$ und einer Zahl ${\displaystyle m}$ darstellen, erbt diese Zahl ${\displaystyle n}$ alle Lösungen der Zahl ${\displaystyle m}$ auf folgende Weise:

${\displaystyle m=x^{3}+y^{3}+z^{3}\quad \longrightarrow \quad n=k^{3}m=k^{3}(x^{3}+y^{3}+z^{3})\quad \longrightarrow \quad n=k^{3}m=(kx)^{3}+(ky)^{3}+(kz)^{3}}$

Beispiel

${\displaystyle 1=(-6)^{3}+(-8)^{3}+9^{3}\quad \longrightarrow \quad 8=(-12)^{3}+(-16)^{3}+18^{3}}$

Jeweils kleinste Darstellungen für n = 0 bis 107

Folgende Tabelle enthält für ${\displaystyle 0\leq n\leq 107,\ n\in \mathbb {N} _{0}}$ die jeweils kleinsten Lösungen der Gleichung ${\displaystyle n=x^{3}+y^{3}+z^{3}}$ mit ${\displaystyle |x|\leq |y|\leq |z|}$, ${\displaystyle \ x,y,z\in \mathbb {Z} }$:[4]

  Tabelle für ${\displaystyle 0\leq n\leq 107,\ n\in \mathbb {N} _{0}}$ der jeweils kleinsten Lösungen der Gleichung ${\displaystyle n=x^{3}+y^{3}+z^{3}}$ mit ${\displaystyle |x|\leq |y|\leq |z|}$, ${\displaystyle \ x,y,z\in \mathbb {Z} }$

für ${\displaystyle 0\leq n\leq 26}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ 0 0 0 0 1 0 0 1 2 0 1 1 3 1 1 1 4 keine Lösung 5 6 −1 −1 2 7 0 −1 2 8 0 0 2 9 0 1 2 10 1 1 2 11 −2 −2 3 12 7 10 −11 13 keine Lösung 14 15 −1 2 2 16 0 2 2 17 1 2 2 18 −1 −2 3 19 0 −2 3 20 1 −2 3 21 −11 −14 16 22 keine Lösung 23 24 2 2 2 25 −1 −1 3 26 0 −1 3

für ${\displaystyle 27\leq n\leq 53}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ 27 0 0 3 28 0 1 3 29 1 1 3 30 −283059965 −2218888517 2220422932 31 Es existiert keine Lösung. 32 33 −2736111468807040 −8778405442862239 8866128975287528 34 −1 2 3 35 0 2 3 36 1 2 3 37 0 −3 4 38 1 −3 4 39 117367 134476 −159380 40 Es existiert keine Lösung. 41 42 12602123297335631 80435758145817515 −80538738812075974 43 2 2 3 44 −5 −7 8 45 2 −3 4 46 −2 3 3 47 6 7 −8 48 −2 −2 4 49 Es existiert keine Lösung. 50 51 602 659 −796 52 23961292454 60702901317 −61922712865 53 −1 3 3

für ${\displaystyle 54\leq n\leq 80}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ 54 −7 −11 12 55 1 3 3 56 0 −2 4 57 1 −2 4 58 Es existiert keine Lösung. 59 60 −1 −4 5 61 0 −4 5 62 2 3 3 63 0 −1 4 64 0 0 4 65 0 1 4 66 1 1 4 67 Es existiert keine Lösung. 68 69 2 −4 5 70 11 20 −21 71 −1 2 4 72 7 9 −10 73 1 2 4 74 66229832190556 283450105697727 −284650292555885 75 4381159 435203083 −435203231 76 Es existiert keine Lösung. 77 78 26 53 −55 79 −19 −33 35 80 −6 −6 8

für ${\displaystyle 81\leq n\leq 107}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ 81 10 17 −18 82 −11 −11 14 83 −2 3 4 84 −8241191 −41531726 41639611 85 Es existiert keine Lösung. 86 87 −1972 −4126 4271 88 3 −4 5 89 6 6 −7 90 −1 3 4 91 0 3 4 92 1 3 4 93 −5 −5 7 94 Es existiert keine Lösung. 95 96 14 20 −22 97 −1 −3 5 98 0 −3 5 99 2 3 4 100 −3 −6 7 101 −3 4 4 102 118 229 −239 103 Es existiert keine Lösung. 104 105 −4 −7 8 106 2 −3 5 107 −28 −48 51

Eine umfangreichere Tabelle befindet sich im Diskussionsteil dieses Artikels.[5][6][7][8][9]

Chronologie der Entdeckungen

1954

Miller und Woolet fanden 69 der 78 möglichen Lösungen für ${\displaystyle 1\leq n\leq 100}$ per Brute Force-Suche aller Kombinationen ${\displaystyle |x|\leq |y|\leq |z|\leq 2164}$.[1]

Unbekannt blieben die Lösungen der neun Zahlen ${\displaystyle 30,\ 33,\ 39,\ 42,\ 52,\ 74,\ 75,\ 84}$ und ${\displaystyle 87}$.

Die letzten 5 der 69 gefundenen Zerlegungen lauten:

${\displaystyle 70=11^{3}+20^{3}+(-21)^{3}}$

${\displaystyle 96=14^{3}+20^{3}+(-22)^{3}}$

${\displaystyle 79=(-19)^{3}+(-33)^{3}+35^{3}}$

${\displaystyle 78=26^{3}+53^{3}+(-55)^{3}}$

${\displaystyle 51=602^{3}+659^{3}+(-796)^{3}}$

1963

Gardiner, Lazarus und Stein suchten weiter mit ${\displaystyle |x|\leq |y|\leq 2^{16}}$ und ${\displaystyle 0\leq z-x\leq 2^{16}}$ für ${\displaystyle 1\leq n\leq 1000}$.[1]

Für ${\displaystyle n\leq 100}$ fanden sie folgende weitere Lösung:

${\displaystyle 87=(-1972)^{3}+(-4126)^{3}+4271^{3}}$

Für ${\displaystyle n\leq 1000}$ fanden sie 708 der 778 Lösungen.

Die letzten 5 der 708 gefundenen Zerlegungen lauten:

${\displaystyle 978=8666^{3}+40169^{3}+(-40303)^{3}}$

${\displaystyle 402=37685^{3}+41378^{3}+(-49915)^{3}}$

${\displaystyle 583=(-17419)^{3}+(-48223)^{3}+(48969)^{3}}$

${\displaystyle 227=24579^{3}+51748^{3}+(-53534)^{3}}$

${\displaystyle 971=7423^{3}+55643^{3}+(-55687)^{3}}$

1992

Heath-Brown, Lioen und te Riele fanden folgende weitere Lösung:

${\displaystyle 39=117367^{3}+134476^{3}+(-159380)^{3}}$

1994

Conn and Vaseršteĭn fanden folgende weitere Lösung:

${\displaystyle 84=(-8241191)^{3}+(-41531726)^{3}[phone]^{3}}$

1999

Für ${\displaystyle n\leq 100}$ waren bereits für 75 verschiedene ${\displaystyle n}$ Lösungen bekannt.

Es kamen hinzu:

${\displaystyle 75=4381159^{3}[phone]^{3}+(-435203231)^{3}}$

${\displaystyle 30=(-283059965)^{3}+(-2218888517)^{3}[phone]^{3}}$

${\displaystyle 52=23961292454^{3}[phone]^{3}+(-61922712865)^{3}}$

Damit fehlten nur noch die Lösungen für ${\displaystyle n=33,\ 42}$ und ${\displaystyle 74}$.

Für ${\displaystyle n\leq 1000}$ fanden sie 751 der 778 Lösungen.[1]

2007

fehlten nur noch für folgende ${\displaystyle n}$ zwischen ${\displaystyle 1}$ und ${\displaystyle 1000}$ obige Darstellungen:[1]

${\displaystyle 33,\ 42,\ 74,\ 114,\ 165,\ 390,\ 579,\ 627,\ 633,\ 732,\ 795,\ 906,\ 921}$ und ${\displaystyle 975}$

2016

wurde das Problem für ${\displaystyle n=74}$ von Sander Huisman gelöst:[6]

${\displaystyle 74=(-284650292555885)^{3}[phone]^{3}[phone]^{3}}$

2019

wurde das Problem für ${\displaystyle n=33}$ vom Mathematiker Andrew Booker mittels massivem Computer-Einsatz gelöst:[10][11]

${\displaystyle 33=8866128975287528^{3}+(-8778405442862239)^{3}+(-2736111468807040)^{3}}$

September 2019

wurde das Problem für die letzte verbliebene Zahl ${\displaystyle n\leq 100}$, nämlich für ${\displaystyle n=42}$ ebenfalls von Andrew Booker und dem Mathematiker Andrew Sutherland gelöst:[12][13]

${\displaystyle 42=(-80538738812075974)^{3}+80435758145817515^{3}+12602123297335631^{3}}$

Da ${\displaystyle n=42}$ das letzte ungelöste Problem bis ${\displaystyle n\leq 100}$ für diese Art von Gleichung war, wurde spaßeshalber ein Zusammenhang mit der Antwort 42 aus der mehrfach verfilmten Roman- und Hörspielreihe Per Anhalter durch die Galaxis des englischen Autors Douglas Adams hergestellt.[14]

bis Mitte 2020

wurden, ebenfalls von Andrew Booker und Andrew Sutherland, drei weitere Fälle gelöst:

${\displaystyle 165=(-385495523231271884)^{3}+383344975542639445^{3}+98422560467622814^{3}}$

${\displaystyle 795=(-14219049725358227)^{3}+14197965759741571^{3}+2337348783323923^{3}}$

${\displaystyle 906=(-74924259395610397)^{3}+72054089679353378^{3}+35961979615356503^{3}}$

Eine Darstellung als Summe von drei Kubikzahlen ist somit nur noch für die folgenden acht Werte für ${\displaystyle n\leq 1000}$ unbekannt (Stand: 1. Juni 2020):[12]

${\displaystyle 114,\ 390,\ 579,\ 627,\ 633,\ 732,\ 921}$ und ${\displaystyle 975}$

Momentan ist also die Gleichung ${\displaystyle 114=x^{3}+y^{3}+z^{3}}$ diejenige mit dem kleinsten natürlichen ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$, für die noch keine ganzzahlige Lösung bekannt ist.

Eigenschaften

• Sei ${\displaystyle n=x^{3}+y^{3}+z^{3}}$ ganzzahlig lösbar. Dann ist eine notwendige Bedingung für ${\displaystyle n}$ die folgende:

${\displaystyle n\not \equiv \pm 4{\pmod {9}}}$

  Ausführlicher Beweis dieser Satzes

Für d​en Beweis benötigen w​ir zuerst folgenden Hilfssatz:

Für jede Kubikzahl ${\displaystyle x^{3}}$ mit ${\displaystyle x\in \mathbb {Z} }$ gilt:

${\displaystyle x^{3}\equiv -1,\ 0\ {\text{ oder }}+1{\pmod {9}}}$

Beweis dieses Hilfssatzes:

Wir testen alle neun möglichen Varianten ${\displaystyle x\equiv 0\ldots 8{\pmod {9}}}$ durch:

${\displaystyle {\begin{array}{rlr}{\text{Für }}x\equiv 0{\pmod {9}}{\text{ gilt: }}&x^{3}\equiv 0^{3}=0&0{\pmod {9}}\\{\text{Für }}x\equiv 1{\pmod {9}}{\text{ gilt: }}&x^{3}\equiv 1^{3}=1&+1{\pmod {9}}\\{\text{Für }}x\equiv 2{\pmod {9}}{\text{ gilt: }}&x^{3}\equiv 2^{3}=8&-1{\pmod {9}}\\{\text{Für }}x\equiv 3{\pmod {9}}{\text{ gilt: }}&x^{3}\equiv 3^{3}=27\equiv &\ 0{\pmod {9}}\\{\text{Für }}x\equiv 4{\pmod {9}}{\text{ gilt: }}&x^{3}\equiv 4^{3}=64\equiv &+1{\pmod {9}}\\{\text{Für }}x\equiv 5{\pmod {9}}{\text{ gilt: }}&x^{3}\equiv 5^{3}=125\equiv &-1{\pmod {9}}\\{\text{Für }}x\equiv 6{\pmod {9}}{\text{ gilt: }}&x^{3}\equiv 6^{3}=216\equiv &\ 0{\pmod {9}}\\{\text{Für }}x\equiv 7{\pmod {9}}{\text{ gilt: }}&x^{3}\equiv 7^{3}=343\equiv &+1{\pmod {9}}\\{\text{Für }}x\equiv 8{\pmod {9}}{\text{ gilt: }}&x^{3}\equiv 8^{3}=512\equiv &-1{\pmod {9}}\end{array}}}$

Somit gilt für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {Z} }$, dass nur ${\displaystyle x^{3}\equiv -1,\ 0\ {\text{ oder }}+1{\pmod {9}}}$ sein kann,

womit dieser Hilfssatz bewiesen ist.

Beweis d​es Hauptsatzes:

Nun muss bewiesen werden, dass die Summe ${\displaystyle n}$ dreier Kubikzahlen nie ${\displaystyle n\equiv 4{\text{ oder }}5{\pmod {9}}}$ sein kann.

Dazu addieren wir drei Zahlen ${\displaystyle x^{3},y^{3}{\text{ und }}z^{3}}$ mit jeweils der Eigenschaft

${\displaystyle x^{3},y^{3},z^{3}\equiv -1,\ 0\ {\text{ oder }}{+1}{\pmod {9}}}$.

Dabei sind für ${\displaystyle n=x^{3}+y^{3}+z^{3}\equiv -3,\ \ldots ,+3}$ erreichbar, da

maximal drei positive Gewichte ${\displaystyle +1}$ (ergibt dann ${\displaystyle +3}$) oder

maximal drei negative Gewichte ${\displaystyle -1}$ (ergibt dann ${\displaystyle -3}$) addiert werden können.

Da ${\displaystyle n\equiv \pm 4\equiv -5{\pmod {9}}}$

nicht ${\displaystyle n\equiv -3,\ \ldots ,+3{\pmod {9}}}$ erfüllen, sind sie durch keine der möglichen Summen erreichbar.

Somit ist immer ${\displaystyle n\not \equiv \pm 4{\pmod {9}}}$, was zu zeigen war.  ∎ 

Leider ist nicht bekannt, ob diese Eigenschaft für ${\displaystyle n}$ auch hinreichend ist (dann wäre nämlich das bis dato ungelöste Problem der Zahlentheorie, dem dieser Artikel gewidmet ist, gelöst). Es wurde jedoch von Heath-Brown vermutet, dass die diophantische Gleichung ${\displaystyle n=x^{3}+y^{3}+z^{3}}$ für alle ${\displaystyle n\not \equiv \pm 4{\pmod {9}}}$ unendlich viele ganzzahlige Lösungen hat.[15]

• Es gibt einige spezielle Beziehungen zwischen ${\displaystyle x}$ und ${\displaystyle n}$, wie zum Beispiel die folgenden:[16]

Sei ${\displaystyle n=x^{3}+y^{3}+z^{3}}$ ganzzahlig lösbar. Bei gegebenem ${\displaystyle n}$ gelten die folgenden Bedingungen für ${\displaystyle x}$:

Wenn ${\displaystyle n\equiv +2{\pmod {7}}}$ ist, muss gelten: ${\displaystyle x\equiv 0,+1,+2}$ oder ${\displaystyle +4{\pmod {7}}}$.

Wenn ${\displaystyle n\equiv -2{\pmod {7}}}$ ist, muss gelten: ${\displaystyle x\equiv 0,-1,-2}$ oder ${\displaystyle -4{\pmod {7}}}$.

Wenn ${\displaystyle n\equiv +3{\pmod {7}}}$ ist, muss gelten: ${\displaystyle x\equiv +1,+2}$ oder ${\displaystyle +4{\pmod {7}}}$.

Wenn ${\displaystyle n\equiv -3{\pmod {7}}}$ ist, muss gelten: ${\displaystyle x\equiv -1,-2}$ oder ${\displaystyle -4{\pmod {7}}}$.

Wenn ${\displaystyle n\equiv +2{\pmod {9}}}$ ist, muss gelten: ${\displaystyle x,y,z\not \equiv +2{\pmod {3}}}$.

Wenn ${\displaystyle n\equiv -2{\pmod {9}}}$ ist, muss gelten: ${\displaystyle x,y,z\not \equiv -2{\pmod {3}}}$.

Wenn ${\displaystyle n\equiv +3{\pmod {9}}}$ ist, muss gelten: ${\displaystyle x,y,z\equiv +1{\pmod {3}}}$.

Wenn ${\displaystyle n\equiv -3{\pmod {9}}}$ ist, muss gelten: ${\displaystyle x,y,z\equiv -1{\pmod {3}}}$.

Jeweils kleinste Darstellungen für n = 0 bis 91 der OEIS entnehmen

Im Folgenden wird beschrieben, wie die kleinsten Lösungen für größere n den Listen Folge A060464 in OEIS ... Folge A060467 in OEIS zu entnehmen sind. Die vier Listen enthalten jeweils in gleicher Abfolge die Werte für n, x, y und z für Werte von n, für die eine Lösung existiert und bekannt ist. Es ist jeweils die Lösung mit ${\displaystyle |x|\leq |y|\leq |z|}$ enthalten.

Folge A060464 in OEIS enthält die ${\displaystyle n}$:

00, 01, 02, 03,  06, 07, 08,

09, 10, 11, 12,  15, 16, 17,

18, 19, 20, 21,  24, 25, 26,

27, 28, 29, 30,  33, 34, 35,

36, 37, 38, 39,  42, 43, 44, …

Folge A060465 in OEIS enthält die ${\displaystyle x}$:

0, 0, 0, 1, −1, 0, 0,

0, 1, −2, 7, −1, −511, 1,

−1, 0, 1, −11, −2901096694, −1, 0,

0, 0, 1, −283059965, −2736111468807040, −1, 0,

1, 0, 1, 117367, 12602123297335631, 2, −5, …

Folge A060466 in OEIS enthält die ${\displaystyle y}$:

0, 0, 1, 1, −1, −1, 0,

1, 1, −2, 10, 2, −1609, 2,

−2, −2, −2, −14, −15550555555, −1, −1,

0, 1, 1, −2218888517, −8778405442862239, 2, 2,

2, −3, −3, 134476, 80435758145817515, 2, −7,

Folge A060467 in OEIS enthält die ${\displaystyle z}$:

0, 1, 1, 1, 2, 2, 2,

2, 2, 3, −11, 2, 1626, 2,

3, 3, 3, 16, 15584139827, 3, 3,

3, 3, 3, 2220422932, 8866128975287528, 3, 3,

3, 4, 4, −159380, −80538738812075974, 3, 8, …

Beispiel für n = 24, dem 19. Eintrag

In obigen v​ier Listen w​urde jeweils d​er 19. Eintrag f​ett markiert. Die Werte lauten:

n = 24

x = −2901096694

y = −15550555555

z = 15584139827

Die kleinstmögliche Darstellung für n = 24 lautet damit:

${\displaystyle 24=(-2901096694)^{3}+(-15550555555)^{3}[phone]^{3}}$

Trivia

• Für ${\displaystyle x,y,z\in \mathbb {Q} }$ existieren immer Lösungen. Für eine gegebene Zahl ${\displaystyle n>0}$ und einen frei wählbaren Parameter ${\displaystyle b=\mathbb {Z} \setminus \{0\}}$ erhält man Lösungen z. B. durch:

${\displaystyle x={\frac {(9b^{6}-30n^{2}b^{3}+n^{4})(3b^{3}+n^{2})+72n^{4}b^{3}}{6bn\ (3b^{3}+n^{2})^{2}}}}$

${\displaystyle y={\frac {30n^{2}b^{3}-9b^{6}-n^{4}}{6bn\ (3b^{3}+n^{2})}}}$

${\displaystyle z={\frac {18nb^{5}-6n^{3}b^{2}}{(3b^{3}+n^{2})^{2}}}}$

• Sobald eine der Basen ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle \in \mathbb {R} }$ sein darf, sind beliebige Lösungen direkt ohne Umwege konstruierbar:

${\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}=n\ \longrightarrow \ x={\sqrt[{3}]{n-y^{3}-z^{3}}}}$,   ${\displaystyle n}$ gegeben, ${\displaystyle y,z}$ beliebig

Weblinks

• W. Conn, L. N. Vaseršteĭn: On Sums of Three Integral Cubes. Contemporary Mathematics 166, März 1992, S. 1–11, abgerufen am 19. September 2019.
• Roger Heath-Brown, Herman te Riele, Walter M. Lioen: On solving the Diophantine equation x³+y³+z³=k on a vector computer. Mathematics of Computation 61 (203), Juli 1993, S. 235–244, abgerufen am 19. September 2019.
• Kenji Koyama: Tables of solutions of the Diophantine equation x³+y³+z³=n. Mathematics of Computation 62 (206), April 1994, S. 941–942, abgerufen am 24. September 2019.
• Eric Rowland: Koyama's table of integer solutions of n=x³+y³+z³. Abgerufen am 24. September 2019 (5417 Lösungen von n=2 bis 999, davon 521 Lösungen von n=2 bis 100).
• Erik Dofs: Solution of x³+y³+z³=nxyz. Acta Arithmetica LXXIII.3, 1995, S. 201–213, abgerufen am 19. September 2019.
• Kenji Koyama, Yukio Tsuruoka, Hiroshi Sekigawa: On searching for solutions of the diophantine equation x³+y³+z³=n. Mathematics of Computation 66 (218), April 1997, S. 841–851, abgerufen am 19. September 2019.
• Eric Rowland: Known families of integer solutions of x³+y³+z³=n. 28. Februar 2005, S. 1–6, abgerufen am 19. September 2019.
• Michael Beck, Eric Pine, Wayne Tarrant, Kin Yarbrough Jensen: New Integer Representations as the Sum of three Cubes. Mathematics of Computation 76 (259), Juli 2007, S. 1683–1690, abgerufen am 19. September 2019.
• Sander G. Huisman: Newer Sums of three Cubes. 26. April 2016, S. 1–3, abgerufen am 19. September 2019.
• Armen Avagyan, Gurgen Dallakyan: A new method in the problem of three cubes. Armenian State Pedagogical University after Khachatur Abovyan, 21. Februar 2018, S. 1–23, abgerufen am 19. September 2019.

Einzelnachweise

1. Armen Avagyan, Gurgen Dallakyan: A new method in the problem of three cubes. Armenian State Pedagogical University after Khachatur Abovyan, 21. Februar 2018, S. 1–23, abgerufen am 18. September 2019.
2. Eric S. Rowland: Known families of integer solutions of x^3+y^3+z^3=n. (psu.edu [PDF]).
3. Mark McAndrew: Insanely huge Sum-Of-Three-Cubes für 3 discovered – After 66 year search. Twitter, 16. September 2018, abgerufen am 18. September 2019.
4. Hisanori Mishima: Solutions of n=x³+y³+z³, 0 <= n <= 99. Abgerufen am 18. September 2019.
5. Tito Piezas III: Integer solutions to the equation a³+b³+c³=30. Abgerufen am 18. September 2019.
6. Sander G. Huisman: Newer Sums of three Cubes. 26. April 2016, S. 1–3, abgerufen am 19. September 2019.
7. W. Conn, L. N. Vaseršteĭn: On Sums of Three Integral Cubes. Contemporary Mathematics 166, März 1992, S. 1–11, abgerufen am 19. September 2019.
8. Eric Rowland: Koyama's table of integer solutions of n=x³+y³+z³. Abgerufen am 24. September 2019 (5417 Lösungen von n=2 bis 999, davon 521 Lösungen von n=2 bis 100).
9. D. J. Bernstein: threecubes. Abgerufen am 29. September 2019 (weitere Lösungen).
10. Andrew R. Booker: Cracking the problem with 33. University of Bristol, 2019, S. 1–6, abgerufen am 18. September 2019.
11. Lance Fortnow, Bill Gasarch: x³ + y³ + z³ = 33 has a solution in Z. And its big! Computational Complexity.org, 28. April 2019, abgerufen am 18. September 2019.
12. Robin Houston: 42 is the answer to the question “what is (-80538738812075974)³ + 80435758145817515³ + 12602123297335631³?” The Aperiodical, 6. September 2019, abgerufen am 18. September 2019.
13. Michelle Starr: Mathematicians Solve '42' Problem With Planetary Supercomputer. science alert, 9. September 2019, abgerufen am 18. September 2019.
14. Mathematiker knacken Rätsel um die Zahl 42
15. D. R. Heath-Brown: The Density of Zeros of formsfor which weak Approximation fails. Band 59, Nr. 200. mathematics of computation, Oktober 1992, S. 613–623 (ams.org [PDF]).
16. Kenji Koyama, Yukio Tsuruoka, Hiroshi Sekigawa: On searching for solutions of the diophantine equation x³+y³+z³=n, Property 1 und 2. Mathematics of Computation 66 (218), April 1997, S. 843–844, abgerufen am 28. September 2019.