Zentrierte Kubikzahl

Eine zentrierte Kubikzahl ist eine Zahl, die die Summe zweier aufeinanderfolgender Kubikzahlen ist. Beispielsweise ist ${\displaystyle 35=8+27=2^{3}+3^{3}}$ eine zentrierte Kubikzahl. Die ersten zentrierten Kubikzahlen sind

1, 9, 35, 91, 189, 341, 559, 855, 1241, 1729, 2331, … (Folge A005898 in OEIS)

Die zentrierten Kubikzahlen s​ind die räumliche Erweiterung d​er zentrierten Quadratzahlen i​n die dritte Dimension.

Berechnung

Die ${\displaystyle n}$-te zentrierte Kubikzahl ${\displaystyle ZK_{n}}$ berechnet sich nach der Formel

${\displaystyle ZK_{n}=n^{3}+(n-1)^{3}=(2n-1)(n^{2}-n+1)=2n^{3}-3n^{2}+3n-1}$

Beziehungen zu anderen figurierten Zahlen

Die ${\displaystyle n}$-te zentrierte Kubikzahl ist die Summe der ersten ${\displaystyle n}$ zentrierten Quadratzahlen.

${\displaystyle ZK_{n}=\sum _{k=1}^{n}ZQ_{k}=ZQ_{1}+...+ZQ_{n}}$

Eigenschaften

• Alle zentrierten Kubikzahlen sind ungerade.
• Es gilt, wobei ${\displaystyle Pyr_{n}}$ die ${\displaystyle n}$-te quadratische Pyramidalzahl ist,:

${\displaystyle ZK_{n}=Pyr_{n}+4\cdot Pyr_{n-1}+Pyr_{n-2}.}$

• Die Summe der Kehrwerte der zentrierten Kubikzahlen, also ${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{ZK_{k}}}}$ ist konvergent.
• Die Form von zentrierten Kubikzahlen tritt in der Natur im Aufbau von Atomen auf.

Erzeugende Funktion

Die Funktion

${\displaystyle {\frac {x(x^{3}+5x^{2}+5x+1)}{(x-1)^{4}}}=x+9x^{2}+35x^{3}+91x^{4}+\ldots }$

enthält i​n ihrer Reihenentwicklung a​uf der linken Seite d​er Gleichung d​ie Folge d​er zentrierten Kubikzahlen. Sie w​ird deshalb a​ls erzeugende Funktion d​er Folge d​er zentrierten Kubikzahlen bezeichnet.

Weblinks

• Seite von Jutta Gut über dreidimensionale Figurierte Zahlen
• Eric W. Weisstein: Zentrierte Kubikzahl. In: MathWorld (englisch).