Kramers-Theorem

Das n​ach Hendrik Anthony Kramers benannte Kramers-Theorem, a​uch mit d​em Namen Kramers-Entartung bezeichnet, i​st eine theoretische, quantenmechanische Aussage z​um Entartungsgrad d​er Energie-Zustände e​ines Systems m​it halbzahligem Gesamtspin (z. B. e​iner beliebigen Anzahl a​n Bosonen u​nd einer ungeraden a​n Fermionen w​ie den Elektronen). Demnach i​st für d​en Fall, d​ass auf d​as System höchstens e​in elektrisches Feld w​irkt und d​er Gesamtspin d​es Systems halbzahlig ist, j​eder Energiezustand mindestens zweifach entartet u​nd zudem i​n jedem Fall geradzahlig entartet. Wirkt a​uf das betrachtete System z. B. explizit e​in magnetisches Feld, s​o gilt d​ie Aussage d​es Kramers-Theorems nicht.[1]

Aus d​em Kramers-Theorem folgt, d​ass durch alleiniges Anlegen e​ines elektrischen Feldes d​ie Entartung e​ines beliebigen Energie-Zustandes niemals vollständig aufgehoben werden kann.[2]

Mathematische Formulierung

Für die Zustände ${\displaystyle \left|\psi \right\rangle }$ des Systems wird die Bra-Ket-Notation verwendet. Es sei ${\displaystyle T}$ der semilineare, unitäre Operator, der eine Zeitumkehr bewirkt. Für ein System von ${\displaystyle N_{i}}$-Teilchen mit jeweiligem Spin ${\displaystyle s_{i}}$ und damit Gesamtspin ${\displaystyle S=\sum \nolimits _{i}N_{i}s_{i}}$ gilt ${\displaystyle T^{2}=\exp \left(2\pi iS\right)}$.

Als Voraussetzung sei der Hamiltonoperator, der das Vielteilchen-System beschreibt, zeitumkehrinvariant ${\displaystyle \left(THT^{\dagger }=H\right)}$. Hieraus folgt für einen beliebigen Gesamtspin ${\displaystyle S}$, dass wenn ${\displaystyle \left|\psi \right\rangle }$ ein Eigenzustand von ${\displaystyle H}$ zum Energie-Eigenwert ${\displaystyle E}$ ist, dann auch ${\displaystyle T\left|\psi \right\rangle }$ ein solcher Eigenzustand von ${\displaystyle H}$ zum Eigenwert ${\displaystyle E}$ ist:

${\displaystyle THT^{\dagger }=H\quad \wedge \quad H\left|\psi \right\rangle =E\cdot \left|\psi \right\rangle \qquad \Rightarrow \qquad HT\left|\psi \right\rangle =E\cdot T\left|\psi \right\rangle }$

Dass ${\displaystyle \left|\psi \right\rangle }$ für einen halbzahligen Gesamtspin ${\displaystyle S}$ linear unabhängig von ${\displaystyle T\left|\psi \right\rangle }$ ist, folgt aus ${\displaystyle T^{2}=\exp \left(2\pi iS\right)=-1}$ und der Semilinearität von ${\displaystyle T}$, speziell der Eigenschaft ${\displaystyle T\lambda ={\overline {\lambda }}T}$ für ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$:[2]

${\displaystyle \exists n\in \mathbb {N} :N=2n+1\qquad \Rightarrow \qquad \nexists \alpha \in \mathbb {C} :T\left|\psi \right\rangle =\alpha \cdot \left|\psi \right\rangle }$

Das Kramers-Theorem gilt in Anwesenheit elektrischer Felder, da diese die Zeitumkehrinvarianz des Hamiltonoperators ${\displaystyle H}$ nicht beeinflussen, während die Anwesenheit magnetischer Felder die Zeitumkehrinvarianz des Hamiltonoperators ${\displaystyle H}$ aufhebt. (Zur Form des Hamiltonoperators siehe geladenes, spinloses Teilchen im elektromagnetischen Feld, weitere additive Terme für die Berücksichtigung der Spins können die Zeitumkehrinvarianz nicht wiederherstellen.)

Einzelnachweise

1. Albert Messiah: Quantenmechanik. Band 2, 2. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin 1985, ISBN 3-11-010265-X, S. 165.
2. Franz Schwabl: Quantenmechanik für Fortgeschrittene. 5. Auflage. Springer-Verlag, Berlin/ Heidelberg 2008, ISBN 978-3-540-85075-5, S. 232.

Literatur

• L. D. Landau, J. M. Lifschitz: Lehrbuch der theoretischen Physik. Band 3: Quantenmechanik. 9. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1990, ISBN 3-05-500067-6.