Hochschild-Homologie und Kohomologie

Die Hochschild-Homologie u​nd Kohomologie, benannt n​ach Gerhard Hochschild, i​st eine mathematische Theorie, d​ie speziell a​uf die Untersuchung v​on Algebren zugeschnitten ist. Es handelt s​ich um e​ine Homologie- bzw. Kohomologie-Theorie, d​ie sich a​us Kettenkomplexen bzw. Kokettenkomplexen ergibt, d​ie eng m​it der Algebrenstruktur zusammenhängen.

Konstruktion der Homologiegruppen

Wir betrachten im Folgenden eine assoziative Algebra ${\displaystyle A}$ mit Einselement über einem Körper ${\displaystyle K}$, kurz eine K-Algebra. Ferner sei ein ${\displaystyle A}$-Bimodul ${\displaystyle M}$ gegeben, das heißt die Modulelemente können von links und rechts mit Elementen aus der Algebra multipliziert werden, so dass die zugehörigen Links- und Rechtmodulstrukturen verträglich sind, was ${\displaystyle a(mb)=(am)b}$ für alle ${\displaystyle m\in M}$ und ${\displaystyle a,b\in A}$ bedeutet. Bezeichnet man mit ${\displaystyle A^{\otimes n}}$ das ${\displaystyle n}$-fache Tensorprodukt von ${\displaystyle A}$ mit sich selbst, wobei ${\displaystyle A^{\otimes 0}:=K}$, so lassen sich folgende Abbildungen definieren:

${\displaystyle d_{i}^{(n)}:\,M\otimes A^{\otimes n}\rightarrow M\otimes A^{\otimes n-1}}$

${\displaystyle m\otimes a_{1}\otimes \ldots \otimes a_{n}\mapsto {\begin{cases}ma_{1}\otimes \ldots \otimes a_{n}&{\text{für }}i=0\\m\otimes a_{1}\otimes \ldots \otimes a_{i}a_{i+1}\otimes \ldots \otimes a_{n},&{\text{für }}0<i<n\\a_{n}m\otimes a_{1}\otimes \ldots \otimes a_{n-1}&{\text{für }}i=n\end{cases}}}$

wobei sich die ${\displaystyle d_{i}^{(n)}}$ zu K-linearen Abbildungen fortsetzen. Weiter sei ${\displaystyle d_{n}:=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}d_{i}^{(n)}:\,M\otimes A^{\otimes n}\rightarrow M\otimes A^{\otimes n-1}}$, das heißt

${\displaystyle d_{1}(m\otimes a_{1})=ma_{1}-a_{1}m}$

${\displaystyle d_{2}(m\otimes a_{1}\otimes a_{2})=ma_{1}\otimes a_{2}-m\otimes a_{1}a_{2}+a_{2}m\otimes a_{1}}$

${\displaystyle d_{3}(m\otimes a_{1}\otimes a_{2}\otimes a_{3})=ma_{1}\otimes a_{2}\otimes a_{3}-m\otimes a_{1}a_{2}\otimes a_{3}+m\otimes a_{1}\otimes a_{2}a_{3}-a_{3}m\otimes a_{1}\otimes a_{2}}$

und so weiter. Dann gilt ${\displaystyle d_{n}\circ d_{n+1}=0}$ für alle ${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$, das heißt man erhält einen Kettenkomplex

${\displaystyle 0\leftarrow M{\xleftarrow {d_{1}}}M\otimes A{\xleftarrow {d_{2}}}M\otimes A\otimes A{\xleftarrow {d_{3}}}\ldots }$.

Die Hochschild-Homologie von ${\displaystyle A}$ mit Werten in ${\displaystyle M}$ ist als Homologie dieses Kettenkomplexes definiert, das heißt die ${\displaystyle n}$-te Hochschild-Homologiegruppe von ${\displaystyle A}$ mit Werten in ${\displaystyle M}$ ist die Faktorgruppe

${\displaystyle H_{n}(A,M):=\mathrm {ker} (d_{n})/\mathrm {im} (d_{n+1})}$,

wobei ${\displaystyle d_{0}=0}$ gesetzt wurde. Da die obigen Definitionen der ${\displaystyle d_{i}^{(n)}}$ von der Algebren- und Bimodulstruktur Gebrauch machen, können die Hochschild-Homologiegruppen Informationen über die Algebra ${\displaystyle A}$ enthalten.

Konstruktion der Kohomologiegruppen

Die Hochschild-Kohomologiegruppen erhält man durch eine analoge Konstruktion aus Räumen ${\displaystyle \mathrm {Hom} (A^{\otimes n},M)}$ von ${\displaystyle K}$-linearen Homomorphismen ${\displaystyle A^{\otimes n}\rightarrow M}$, wobei ${\displaystyle A}$ wieder die betrachtete ${\displaystyle K}$-Algebra und ${\displaystyle M}$ ein ${\displaystyle A}$-Bimodul seien. Für ${\displaystyle n=0}$ erhält man ${\displaystyle \mathrm {Hom} (A^{\otimes 0},M)=\mathrm {Hom} (K,M)\cong M}$.

Wir definieren wieder Abbildungen

${\displaystyle \partial _{i}^{(n)}:\,\mathrm {Hom} (A^{\otimes n},M)\rightarrow \mathrm {Hom} (A^{\otimes n+1},M)}$.

Ist ${\displaystyle f\in \mathrm {Hom} (A^{\otimes n},M)}$, so müssen wir festlegen, wie ${\displaystyle \partial _{i}^{(n)}f}$ auf ${\displaystyle a_{1}\otimes \ldots \otimes a_{n+1}}$ wirkt und dabei ein Element aus ${\displaystyle M}$ ergibt, und das geht so

${\displaystyle \partial _{i}^{(n)}f(a_{1}\otimes \ldots \otimes a_{n+1})={\begin{cases}a_{1}f(a_{2}\otimes \ldots \otimes a_{n+1})&{\text{für }}i=0\\f(a_{1}\otimes \ldots \otimes a_{i}a_{i+1}\otimes \ldots \otimes a_{n+1})&{\text{für }}0<i<n\\f(a_{1}\otimes \ldots \otimes a_{n})a_{n+1}&{\text{für }}i=n\end{cases}}}$

Man setzt, diesmal m​it einem oberen Index:

${\displaystyle \partial ^{n}:=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\partial _{i}^{(n)}:\mathrm {Hom} (A^{\otimes n-1},M)\rightarrow \mathrm {Hom} (A^{\otimes n},M)}$,

das heißt

${\displaystyle \partial ^{1}m(a_{1})=a_{1}m-ma_{1}}$

${\displaystyle \partial ^{2}f(a_{1}\otimes a_{2})=a_{1}f(a_{2})-f(a_{1}a_{2})+f(a_{1})a_{2}}$

${\displaystyle \partial ^{3}f(a_{1}\otimes a_{2}\otimes a_{3})=a_{1}f(a_{2}\otimes a_{3})-f(a_{1}a_{2}\otimes a_{3})+f(a_{1}\otimes a_{2}a_{3})-f(a_{1}\otimes a_{2})a_{3}}$

und so weiter. Dann gilt ${\displaystyle \partial ^{n+1}\circ \partial ^{n}=0}$ für alle ${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$. Man erhält also einen Kokettenkomplex

${\displaystyle 0\rightarrow M\cong \mathrm {Hom} (A^{\otimes 0},M){\xrightarrow {\partial ^{1}}}\mathrm {Hom} (A^{\otimes 1},M){\xrightarrow {\partial ^{2}}}\mathrm {Hom} (A^{\otimes 2},M){\xrightarrow {\partial ^{3}}}\ldots }$.

Die Hochschild-Kohomologie von ${\displaystyle A}$ mit Werten in ${\displaystyle M}$ ist als Kohomologie dieses Kokettenkomplexes definiert, das heißt die ${\displaystyle n}$-te Hochschild-Kohomologiegruppe von ${\displaystyle A}$ mit Werten in ${\displaystyle M}$ ist die Faktorgruppe

${\displaystyle H^{n}(A,M):=\mathrm {ker} (\partial ^{n+1})/\mathrm {im} (\partial ^{n})}$,

wobei ${\displaystyle \partial ^{0}}$ der Nullmorphismus ${\displaystyle 0\rightarrow M}$ ist.

Auch hier geht die Algebrenstruktur von ${\displaystyle A}$ in die Definitionen ein, so dass die Hochschild-Kohomologiegruppen Informationen über die Algebra enthalten.

Beispiele

In den folgenden Beispielen, die in den Hochschild-Homomlogie- und Kohomologiegruppen steckende Informationen belegen sollen, seien ${\displaystyle A}$ wieder eine assoziative ${\displaystyle K}$-Algebra mit Einselement und ${\displaystyle M}$ ein ${\displaystyle A}$-Bimodul. Die ${\displaystyle 0}$-te Hochschild-Homologie und Kohomologiegruppen lassen sich leicht bestimmen:

${\displaystyle H_{0}(A,M)=M/\mathrm {im} (d_{1})=M/[M,A]}$,

wobei ${\displaystyle [M,A]}$, der Kommutator aus ${\displaystyle M}$ und ${\displaystyle A}$, das Erzeugnis aus allen ${\displaystyle am-ma,a\in A,m\in M}$ ist.

Weiter ist

${\displaystyle H^{0}(A,M)=\mathrm {ker} (\partial ^{1})=\{m\in M;\,am=ma\,\forall a\in A\}}$.

${\displaystyle A=M}$ ist auf natürliche Weise ein ${\displaystyle A}$-Bimodul, wobei die Verträglichkeitsbedingung genau durch das Assoziativgesetz gegeben ist. Als Spezialfall erhält man daher

${\displaystyle H_{0}(A,A)=A/[A,A]}$ und ${\displaystyle H^{0}(A,A)=Z(A)}$,

wobei ${\displaystyle Z(A)}$ das Zentrum von ${\displaystyle A}$ ist.

Eine ${\displaystyle K}$-Derivation auf ${\displaystyle A}$ mit Werten in ${\displaystyle M}$ ist eine ${\displaystyle K}$-lineare Abbildung ${\displaystyle f:A\rightarrow M}$ mit der zusätzlichen Eigenschaft ${\displaystyle f(a_{1}a_{2})=a_{1}f(a_{2})+f(a_{1})a_{2}}$, die an die Produktregel für das Ableiten erinnert. Mit ${\displaystyle \mathrm {Der} (A,M)}$ sei die Menge aller Derivationen bezeichnet. Für jedes ${\displaystyle m\in M}$ ist durch ${\displaystyle f_{m}(a):=am-ma}$ eine solche Derivation gegeben. Derartige Derivationen ${\displaystyle f_{m}}$ nennt man innere Derivationen, ${\displaystyle \mathrm {IDer} (A,M)}$ bezeichne die Menge aller inneren Derivationen. Eine Inspektion der oben für ${\displaystyle \partial ^{1}}$ und ${\displaystyle \partial ^{2}}$ angegebenen Formeln zeigt

${\displaystyle \mathrm {im} (\partial ^{1})=\mathrm {IDer} (A,M)}$, ${\displaystyle \mathrm {ker} (\partial ^{2})=\mathrm {Der} (A,M)}$

und daher

${\displaystyle H^{1}(A,M)=\mathrm {Der} (A,M)/\mathrm {IDer} (A,M)}$.

Die e​rste Hochschild-Kohomologiegruppe g​ibt also Auskunft über d​ie Reichhaltigkeit d​er Derivationen, i​hr Verschwinden bedeutet, d​ass alle Derivationen i​nner sind.

Multilineare Abbildungen

Die Hochschild-Kohomologiegruppen können alternativ mittels der Räume ${\displaystyle \mathrm {MLin} (A^{n},M)}$ der multilinearen Abbildungen ${\displaystyle A^{n}\rightarrow M}$ eingeführt werden. Man setzt für ${\displaystyle f\in \mathrm {MLin} (A^{n-1},M)}$ und ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\in A^{n}}$:

${\displaystyle \partial ^{n}f(a_{1},\ldots ,a_{n}):=a_{1}f(a_{2},\ldots ,a_{n})+\sum _{i=1}^{n-1}(-1)^{i}f(a_{1},\ldots ,a_{i}a_{i+1},\ldots ,a_{n})+(-1)^{n}f(a_{1},\ldots ,a_{n-1})a_{n}}$

und m​an kommt z​u einem entsprechenden Kokettenkomplex

${\displaystyle 0\rightarrow M=\mathrm {MLin} (A^{0},M){\xrightarrow {\partial ^{1}}}\mathrm {MLin} (A,M){\xrightarrow {\partial ^{2}}}\mathrm {MLin} (A^{2},M){\xrightarrow {\partial ^{3}}}\ldots }$,

mit dem man wieder Kohomologiegruppen definieren kann. Man erhält zu den oben definierten ${\displaystyle H^{n}(A,M)}$ isomorphe Gruppen, da sich multilineare Abbildungen ${\displaystyle A^{n}\rightarrow M}$ und lineare Abbildungen ${\displaystyle A^{\otimes n}\rightarrow M}$ nach Konstruktion des Tensorproduktes 1 zu 1 entsprechen.

Topologische Algebren

Die o​ben vorgestellten Konzepte lassen s​ich auch für topologische Algebren, insbesondere Banachalgebren, ausführen, w​obei man b​ei der Tensorproduktbildung i​m Falle v​on Banachalgebren d​as projektive Tensorprodukt verwendet u​nd sich b​ei allen auftretenden Abbildungen a​uf stetige Abbildungen beschränkt.

Literatur

• Henri Cartan, Samuel Eilenberg: Homological Algebra, Princeton University Press (1999), ISBN 978-0-691-04991-5, insbesondere Kapitel X
• A. Y. Helemskii: The Homology of Banach and Topological Algebras. Kluwer Academic Publishers (1989), ISBN 0-7923-0217-6.
• G. Hochschild: On the Cohomology Groups of an Associative Algebra, Annals of Mathematics Band 46 (1945), Seiten 58–76