Harish-Chandra-Integral

Das Harish-Chandra-Integral i​st ein Integralbegriff, d​er seinen Ursprung i​m Studium d​er harmonischen Analysis über Lie-Gruppen hatte.[1] Das Integral u​nd die dazugehörige Formel finden h​eute in vielen Gebieten Anwendung w​ie zum Beispiel d​er Darstellungstheorie, d​er Theorie d​er Zufallsmatrizen, d​er stochastischen Analysis o​der der Quantenfeldtheorie. Eine spezielle Rolle spielt d​as unitäre Integral, genannt Harish-Chandra-Itzykson-Zuber-Integral.

Die Integrale s​ind nach d​em indischen Mathematiker Harish-Chandra benannt, d​er sie 1957 veröffentlichte, d​as HCIZ-Integral n​ach den französischen Physikern Claude Itzykson u​nd Jean-Bernard Zuber.[2]

Definition

Ein Harish-Chandra-Integral i​st die Funktion

${\displaystyle H(x,y):=\int _{G}e^{\langle \operatorname {Ad} _{g}x,y\rangle }\mathrm {d} g}$,

wobei ${\displaystyle G}$ eine kompakte Lie-Gruppe ist, ${\displaystyle \mathrm {d} g}$ ist das Haarsche Wahrscheinlichkeitsmaß, ${\displaystyle x,y\in {\mathfrak {t}}\subset {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}$ liegen in der Cartan-Unteralgebra (oder in der Komplexifizierung ${\displaystyle {\mathfrak {t}}\subset {\mathfrak {g}}_{\mathbb {C} }}$), ${\displaystyle \operatorname {Ad} }$ ist die adjungierte Darstellung und ${\displaystyle \langle \cdot {,}\cdot \rangle }$ das ${\displaystyle \operatorname {Ad} }$-invariante Skalarprodukt.

Harish-Chandra-Formel

Sei ${\displaystyle G}$ zusammenhängend und halbeinfach, ${\displaystyle R^{+}}$ bezeichne das positive Wurzelsystem von ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. Dann gilt

${\displaystyle \Delta _{\mathfrak {g}}(x)\Delta _{\mathfrak {g}}(y)\int _{G}e^{\langle \operatorname {Ad} _{g}x,y\rangle }\mathrm {d} g={\frac {[\![\Delta _{\mathfrak {g}},\Delta _{\mathfrak {g}}]\!]}{|W|}}\sum \limits _{w\in W}\varepsilon (w)e^{\langle w(x),y\rangle }}$

mit der Weyl-Gruppe ${\displaystyle W}$, der Diskriminante ${\displaystyle \textstyle \Delta _{\mathfrak {g}}(x):=\prod _{\alpha \in R^{+}}\langle \alpha ,x\rangle }$, der Signatur ${\displaystyle \varepsilon (w):=(-1)^{|w|}}$ und einer Konstanten ${\displaystyle [\![\Delta _{\mathfrak {g}},\Delta _{\mathfrak {g}}]\!]}$.

Harish-Chandra-Itzykson-Zuber-Integralformel

Die Harish-Chandra–Itzykson–Zuber-Integralformel (HCIZ-Integralformel) lautet

${\displaystyle \int _{\operatorname {U} (n)}e^{\operatorname {tr} (AUBU^{*})}\mathrm {d} U=\left(\prod \limits _{p=1}^{n-1}p!\right){\frac {\operatorname {det} [e^{a_{i}b_{j}}]_{i,j=1}^{n}}{\Delta (A)\Delta (B)}}}$,

wobei ${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$ die ${\displaystyle n\times n}$-unitäre Gruppe ist und ${\displaystyle \mathrm {d} U}$ das haarsche Wahrscheinlichkeitsmaß. ${\displaystyle A,B}$ sind ${\displaystyle n\times n}$-hermitische Matrizen und ${\displaystyle \Delta (A):=\prod \limits _{i<j}(a_{j}-a_{i})}$ bezeichnet die Vandermonde-Determinante, ${\displaystyle a_{1}\leq \dots \leq a_{n}}$ bezeichnen die Eigenwerte der Matrix ${\displaystyle A}$ (resp. ${\displaystyle b_{1}\leq \dots \leq b_{n}}$ für die Matrix ${\displaystyle B}$).[3]

Einzelnachweise

1. Harish-Chandra: Differential Operators on a Semisimple Lie Algebra. In: The Johns Hopkins University Press (Hrsg.): American Journal of Mathematics. Nr. 79, 1957, S. 87–120, doi:10.2307/2372387.
2. Colin McSwiggen: The Harish-Chandra integral: An introduction with examples. In: arXiv:1009.0150. arxiv:1806.11155.
3. Terence Tao: The Harish-Chandra-Itzykson-Zuber integral formula. Abgerufen am 20. Juni 2021.