Kompakte Lie-Gruppe
Kompakte Lie-Gruppen und ihre Darstellungstheorie sind in vielen Bereichen der Mathematik und Physik von Bedeutung.
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Definition
Eine kompakte Lie-Gruppe ist eine Lie-Gruppe, die mit der zugrundeliegenden Topologie ein kompakter Hausdorffraum ist.
Klassifikation
Jede einfache, zusammenhängende und einfach zusammenhängende, kompakte Lie-Gruppe ist eine der folgenden:
- symplektische Gruppe ,
- spezielle unitäre Gruppe ,
- Spin-Gruppe ,
- die kompakte reelle Form einer der exzeptionellen Lie-Gruppen .
Jede zusammenhängende und einfach zusammenhängende, kompakte Lie-Gruppe ist ein Produkt einfacher, zusammenhängender und einfach zusammenhängender, kompakter Lie-Gruppen.
Jede zusammenhängende, kompakte Lie-Gruppe hat eine zentrale Erweiterung
- ,
wobei eine endliche abelsche Gruppe und das Produkt eines Torus mit einer zusammenhängenden und einfach zusammenhängenden, kompakten Lie-Gruppe ist.
Eine kompakte Gruppe hat endlich viele Zusammenhangskomponenten, sie ist also eine endliche Erweiterung ihrer Einheitskomponente .
Literatur
- Mark Sepanski: Compact Lie Groups, Springer Verlag 2007. ISBN 978-0387302638