Gromoll-Meyer-Sphäre

In d​er Mathematik i​st die Gromoll-Meyer-Sphäre e​in Beispiel e​iner exotischen Sphäre, d. h. e​iner nicht z​ur Standard-Differentialstruktur äquivalenten Differentialstruktur a​uf einer Sphäre. Sie erzeugt d​ie Gruppe d​er 7-dimensionalen Homotopiesphären u​nd war d​as erste Beispiel e​iner exotischen Sphäre m​it einer Metrik nichtnegativer Schnittkrümmung.

Geschichte

Eine exotische Sphäre ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit, die homöomorph, aber nicht diffeomorph zur Einheitssphäre im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ist. John Milnor fand 1956 die ersten Beispiele exotischer Sphären, die er als ${\displaystyle S^{3}}$-Bündel über ${\displaystyle S^{4}}$ konstruierte. Er bewies, dass es auf der 7-dimensionalen Sphäre 28 verschiedene Differentialstrukturen gibt und dass die Gruppe der 7-dimensionalen Homotopiesphären modulo h-Kobordismus isomorph zu

${\displaystyle \mathbb {Z} /28\mathbb {Z} }$

ist. Die ${\displaystyle S^{3}}$-Bündel über ${\displaystyle S^{4}}$ (sogenannte Milnor-Sphären) entsprechen dabei den 21 Elementen

${\displaystyle \left\{0,1,\ldots ,10,18,\ldots ,28\right\}}$,

wobei das Bündel mit Euler-Zahl ${\displaystyle 1}$ und Pontrjagin-Zahl ${\displaystyle 8k+2}$ dem Element

${\displaystyle k\mod 28}$

in ${\displaystyle \mathbb {Z} /28\mathbb {Z} }$ entspricht. Egbert Brieskorn zeigte 1966, dass sich die Milnor-Sphären auch als Verschlingungen von Singularitäten von Hyperflächen im ${\displaystyle \mathbb {C} ^{5}}$ beschreiben lassen, nämlich als Schnitt der Hyperfläche

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{3}+e^{6k-1}=0}$

mit einer kleinen Sphäre um den Nullpunkt. Gromoll and Meyer gaben 1974 eine Konstruktion des Erzeugers (d. h. des ${\displaystyle k=1}$ entsprechenden Elements der Gruppe der Homotopiesphären) als Biquotient der Gruppe

${\displaystyle Sp(2)}$

und fanden d​amit insbesondere d​as erste Beispiel e​iner Riemannschen Metrik nichtnegativer Schnittkrümmung a​uf einer exotischen Sphäre. Grove u​nd Ziller bewiesen 2000, d​ass auch d​ie anderen Milnor-Sphären e​ine Metrik nichtnegativer Schnittkrümmung haben. Duran, Püttmann u​nd Rigas g​aben 2010 e​ine aus d​er Gromoll-Meyer-Konstruktion abgeleitete Konstruktion a​ller exotischen 7-Sphären.

Konstruktion

Es sei ${\displaystyle Sp(2)}$ die kompakte symplektische Gruppe, d. h. die Gruppe der das kanonische Skalarprodukt auf dem 2-dimensionalen quaternionischen Vektorraum ${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$ erhaltenden ${\displaystyle \mathbb {H} }$-linearen Abbildungen, und es sei ${\displaystyle Sp(1)\simeq S^{3}}$ die Gruppe der Quaternionen von Norm ${\displaystyle 1}$. Dann wirkt ${\displaystyle Sp(1)\times Sp(1)}$ auf ${\displaystyle Sp(2)}$ durch

${\displaystyle (q_{1},q_{2})\circ Q:={\begin{pmatrix}q_{1}&0\\0&q_{1}\end{pmatrix}}Q{\begin{pmatrix}{\overline {q}}_{2}&0\\0&1\end{pmatrix}}}$.

Diese Wirkung ist frei mit Quotient ${\displaystyle S^{4}}$. Insbesondere wirkt die Diagonale

${\displaystyle \Delta =\left\{(q,q)\in Sp(1)\times Sp(1)\right\}}$

frei auf ${\displaystyle Sp(2)}$ und Gromoll und Meyer bewiesen, dass der Quotient ${\displaystyle \Delta \backslash Sp(2)}$ diffeomorph zur Milnor-Sphäre mit ${\displaystyle k=1}$ ist.

Aus der O'Neill-Formel folgt, dass ${\displaystyle \Delta \backslash Sp(2)}$ nichtnegative Schnittkrümmung und positive Ricci-Krümmung hat. Man kann die Metrik so deformieren, dass die Schnittkrümmung fast überall positiv wird.

Literatur

• John Milnor: On manifolds homeomorphic to the 7-sphere. In: Ann. of Math. 2. Band 64, 1956, S. 399–405. (pdf)
• Detlef Gromoll, Wolfgang Meyer: An exotic sphere with nonnegative sectional curvature. In: Ann. of Math. 2. Band 100, 1974, S. 401–406. (pdf)
• Karsten Grove, Wolfgang Ziller: Curvature and symmetry of Milnor spheres. In: Ann. of Math. 2. Band 152, no. 1, 2000, S. 331–367. (pdf)
• Carlos Durán, Thomas Püttmann, A. Rigas: An infinite family of Gromoll-Meyer spheres. In: Arch. Math. (Basel). Band 95, no. 3, 2010, S. 269–282. (pdf)

Weblinks

• M. Joachim, D. J. Wraith: Exotic spheres and curvature. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). Band 45, no. 4, 2008, S. 595–616. (pdf)
• Exotic Spheres (Manifold Atlas)