h-Kobordismus

In d​er Mathematik i​st der h-Kobordismus e​in Begriff a​us der Topologie v​on Mannigfaltigkeiten.

Definition

Ein -dimensionaler Kobordismus zwischen -dimensionalen Mannigfaltigkeiten und heißt h-Kobordismus, wenn die Inklusionen und Homotopieäquivalenzen sind.

Die letzte Bedingung kann ersetzt werden durch die a priori schwächere Bedingung für die relativen Homologiegruppen.

Wichtige Sätze

In Dimensionen ist nach dem h-Kobordismus-Satz (Stephen Smale)[1] jeder h-Kobordismus zwischen einfach zusammenhängenden Mannigfaltigkeiten trivial, also ein Produkt . (Dies gilt sowohl in der differenzierbaren wie in der stückweise linearen oder in der topologischen Kategorie.)

Wenn die Mannigfaltigkeiten nicht einfach zusammenhängend sind, dann werden nach dem s-Kobordismus-Satz (Barry Mazur, John Stallings, Dennis Barden) die h-Kobordismen durch die Whitehead-Gruppe der Fundamentalgruppe klassifiziert.

In d​er topologischen Kategorie g​ilt der h-Kobordismus-Satz a​uch in Dimension 4, n​icht jedoch i​n der differenzierbaren Kategorie. Dies hängt m​it dem Scheitern d​es Whitney-Tricks i​n differenzierbaren 4-Mannigfaltigkeiten zusammen.

Literatur

  • John Milnor: Lectures on the h-cobordism theorem, Princeton University Press 1965
  • A. Scorpan: The wild world of 4-manifolds, Amer. Math. Soc. 2005, ISBN 978-0-8218-3749-8
  • Yu. Rudyak: h-cobordism in: Encyclopedia of Mathematics, Springer/Kluwer, ISBN 978-1-55608-010-4

Einzelnachweise

  1. S. Smale, On the structure of manifolds, Amer. J. Math., Band 84, 1962, S. 387–399 online
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