Gemischter Binomial-Prozess

Als gemischte Binomial-Prozesse bezeichnet m​an eine spezielle Klasse v​on Punktprozessen i​n der Theorie d​er stochastischen Prozesse, e​inem Teilgebiet d​er Wahrscheinlichkeitstheorie. Gemischte Binomial-Prozesse s​ind Verallgemeinerungen v​on Binomial-Prozessen i​n dem Sinne, a​ls dass b​ei ihnen n​icht eine deterministische Anzahl v​on Zufallsvariablen betrachtet wird, sondern e​ine zufällige.

Definition

Gegeben sei ein Messraum ${\displaystyle (S,{\mathcal {A}})}$ sowie unabhängig, identisch verteilte Zufallsvariablen ${\displaystyle X_{1},X_{2},X_{3},\dots }$ mit Werten in ${\displaystyle S}$. Des Weiteren sei ${\displaystyle Y}$ eine weitere Zufallsvariable, die unabhängig von allen ${\displaystyle X_{i}}$ ist und fast sicher Werte in ${\displaystyle \mathbb {N} }$ annimmt. Es bezeichne ${\displaystyle \delta _{x}}$ das Dirac-Maß auf dem Punkt ${\displaystyle x}$, also

${\displaystyle \delta _{x}(A):={\begin{cases}1&{\text{ falls }}x\in A\ \\0&{\text{ sonst }}\end{cases}}}$

für ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$.

Dann heißt d​as durch

${\displaystyle \zeta$ :=\sum _{i=1}^{Y}\delta _{X_{i}}}

definierte zufällige Maß ${\displaystyle \zeta }$ auf ${\displaystyle (S,{\mathcal {A}})}$ ein gemischter Binomial-Prozess. Ist ${\displaystyle P}$ die Verteilung der ${\displaystyle X_{i}}$, also ${\displaystyle X_{i}\sim P}$, so heißt ${\displaystyle \zeta }$ auch der durch ${\displaystyle Y}$ und ${\displaystyle P}$ gegebene gemischte Binomial-Prozess.

Eigenschaften

Intensitätsmaß und Verteilung

Für jede messbare Menge ${\displaystyle A}$ ist ${\displaystyle \zeta (A)}$ eine binomialverteilte Zufallsvariable mit Parametern ${\displaystyle Y}$ und ${\displaystyle P(A)}$. Es gilt also

${\displaystyle \zeta (A)\sim \operatorname {Bin} _{Y,P(A)}}$.

Ist ${\displaystyle \operatorname {E} (Y)<\infty }$ und sind die ${\displaystyle X_{i}}$ integrierbar, so gilt nach der Formel von Wald

${\displaystyle \operatorname {E} (\zeta (A))=\operatorname {E} (Y)\operatorname {E} (\delta _{X_{i}}(A))=\operatorname {E} (Y)P(A)}$.

Hierbei ist ${\displaystyle \delta _{X_{i}}}$ wieder also zufälliges Maß zu sehen. Somit ist das Intensitätsmaß ${\displaystyle \operatorname {E\zeta } }$ eines gemischten Binomial-Prozesses ${\displaystyle \zeta }$ in diesem Fall durch

${\displaystyle \operatorname {E\zeta } =\operatorname {E} (Y)P}$

gegeben.

Beziehung zum Binomial-Prozess

Nimmt die Zufallsvariable ${\displaystyle Y}$ fast sicher den Wert ${\displaystyle n}$ an, so geht der gemischte Binomialprozess in einen Binomial-Prozess über, der durch ${\displaystyle n}$ und die Verteilung von ${\displaystyle X_{i}}$ bestimmt wird.

Laplace-Transformierte

Die Laplace-Transformation eines gemischten Binomial-Prozesses gegeben ${\displaystyle Y=k}$ ist gegeben durch

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{P,n}(f)=\left[\int \exp(-f(x))\mathrm {P} (dx)\right]^{k}}$

für alle messbaren positiven Funktionen ${\displaystyle f}$.

Literatur

• Olav Kallenberg: Random Measures, Theory and Applications. Springer, Switzerland 2017, doi:10.1007/978-3-319-41598-7.