Einsetzungshomomorphismus

Im mathematischen Teilgebiet d​er Ringtheorie bezeichnet d​er Einsetzungshomomorphismus (auch Substitutions- o​der Auswertungshomomorphismus) d​ie eindeutige Fortsetzung e​ines Ringhomomorphismus zwischen z​wei kommutativen Ringen m​it Eins z​u einem Homomorphismus d​es zum Definitionsbereich gehörigen Polynomrings i​n einer o​der mehreren Veränderlichen.

Definition

Es sei ${\displaystyle \varphi \colon A\to B}$ ein Homomorphismus von kommutativen Ringen mit Eins. Des Weiteren bezeichne ${\displaystyle A[X]}$ den zu ${\displaystyle A}$ gehörigen Polynomring in einer Veränderlichen.

Zu jedem ${\displaystyle b\in B}$ lässt sich nun eine Abbildung ${\displaystyle \varphi _{b}\colon A[X]\to B}$ definieren, welche ein Polynom

${\displaystyle f=\sum _{i\geq 0}a_{i}X^{i}}$

abbildet auf

${\displaystyle \varphi _{b}(f):=\sum _{i\geq 0}\varphi (a_{i})b^{i}}$.

Man bezeichnet d​en so definierten Homomorphismus a​ls Einsetzungshomomorphismus.

Eigenschaften

Im Einzelnen gilt ${\displaystyle \varphi _{b}(a)=\varphi (a)}$ für alle ${\displaystyle a\in A}$, es setzt also ${\displaystyle \varphi _{b}}$ den Homomorphismus ${\displaystyle \varphi }$ auf den Polynomring ${\displaystyle A[X]}$ fort, wenn man konstante Polynome mit ihrem aus ${\displaystyle A}$ stammenden Koeffizienten identifiziert. Des Weiteren gilt ${\displaystyle \varphi _{b}(X)=b}$, was den Namen Einsetzungshomomorphismus motiviert: Man setzt das konkrete Ringelement ${\displaystyle b\in B}$ für die durch ${\displaystyle X\in A[X]}$ symbolisierte Veränderliche ein.

Dass d​er so definierte Homomorphismus u​nter den gegebenen Voraussetzungen i​mmer existiert u​nd zudem eindeutig bestimmt ist, besagt gerade d​er Satz über d​en Einsetzungshomomorphismus.

Verallgemeinerung auf Polynomringe in mehreren Veränderlichen

Polynomringe in endlich vielen Veränderlichen

Ist ${\displaystyle A}$ ein kommutativer Ring mit Eins so lassen sich induktiv Polynomringe in endlich vielen Veränderlichen definieren: Ausgehend vom Polynomring ${\displaystyle A[X_{1}]}$ entsteht so anfangs ${\displaystyle A[X_{1},X_{2}]:=A[X_{1}][X_{2}]}$, indem man nun Polynome mit Koeffizienten aus ${\displaystyle A[X_{1}]}$ zulässt. Die weiteren Schritte erfolgen analog.

Ist nun ${\displaystyle \varphi \colon A\to B}$ ein Homomorphismus von kommutativen Ringen mit Eins und ${\displaystyle A[X_{1},\dots ,X_{n}]}$ der zu ${\displaystyle A}$ gehörigen Polynomring in ${\displaystyle n}$ Veränderlichen, so lässt sich zu jedem ${\displaystyle n}$-Tupel ${\displaystyle (b_{1},\dots ,b_{n})}$ in ${\displaystyle B}$ eine Abbildung ${\displaystyle \varphi _{(b_{1},\dots ,b_{n})}\colon A[X_{1},\dots ,X_{n}]\to B}$ definieren, die ein Polynom

${\displaystyle f=\sum _{i_{1},i_{2},\dots ,i_{n}\geq 0}a_{i_{1}i_{2}\dots i_{n}}X_{1}^{i_{1}}X_{2}^{i_{2}}\dots X_{n}^{i_{n}}}$

abbildet auf

${\displaystyle \varphi _{(b_{1},\dots ,b_{n})}(f):=\sum _{i\geq 0}\varphi (a_{i_{1}i_{2}\dots i_{n}})b_{1}^{i_{1}}b_{2}^{i_{2}}\dots b_{n}^{i_{n}}}$.

Polynomringe in unendlich vielen Veränderlichen

Für einen kommutativen Ring mit Eins ${\displaystyle A}$ lassen sich Polynome in unendlich vielen Veränderlichen auffassen als Abbildungen

${\displaystyle f\colon \mathbb {N} ^{I}\to A}$,

wobei ${\displaystyle I}$ eine beliebige Indexmenge sei und ${\displaystyle \mathbb {N} ^{(I)}}$ die Menge aller Abbildungen von ${\displaystyle I}$ nach ${\displaystyle \mathbb {N} }$ mit endlicher Trägermenge. Man bezeichnet den Ring der Polynome über ${\displaystyle A}$ in unendlich vielen Veränderlichen mit ${\displaystyle A[(X_{i})_{i\in I}]}$.[1]

Für einen Homomorphismus ${\displaystyle \varphi \colon A\to B}$ zwischen kommutativen Ringen mit Eins lässt sich zu jeder Familie ${\displaystyle \beta$ :=(b_{i})_{i\in I}} in ${\displaystyle B}$ eine Abbildung ${\displaystyle \varphi _{\beta }\colon A[(X_{i})_{i\in I}]\to B}$ definieren, welche ein Polynom ${\displaystyle f\in A[(X_{i})_{i\in I}]}$ abbildet auf

${\displaystyle \varphi _{\beta }(f):=\sum _{\alpha }\varphi \left(f(\alpha )\right)b_{\alpha }}$,

wobei ${\displaystyle \alpha$ :=(a_{i})_{i\in I}\in \mathbb {N} ^{(I)}} und ${\displaystyle b_{\alpha }:=\prod _{i\in I}b_{i}^{(a_{i})}}$.

Dieser Fall beinhaltet die Fälle für Polynome in einer bzw. endlich vielen Veränderlichen. Man betrachtet hierzu eine einelementige bzw. eine endliche Indexmenge ${\displaystyle I}$.

Punktauswertung als Spezialfall

Existiert ein injektiver Ringhomomorphismus ${\displaystyle \iota \colon A\to B}$, ist also ${\displaystyle B}$ eine Ringerweiterung von ${\displaystyle A}$, so nennt man für ein ${\displaystyle b\in B}$ in diesem Spezialfall den zu ${\displaystyle \iota }$ gehörigen Einsetzungshomomorphismus auch Punktauswertung ${\displaystyle \iota _{b}}$. Man schreibt in diesem Fall häufig ${\displaystyle f(b):=\iota _{b}(f)}$ für den Wert von ${\displaystyle f}$ an der Stelle ${\displaystyle b}$.[2]

Man bezeichnet das Bild ${\displaystyle \iota _{b}(A)}$ oft mit ${\displaystyle A[b]}$. Das Bild ist der kleinste Unterring von ${\displaystyle B}$, welcher sowohl das Bild ${\displaystyle \iota (A)\cong A}$ als auch ${\displaystyle b}$ enthält. Er besteht aus allen polynomialen Ausdrücken der Form ${\displaystyle a_{0}+a_{1}b+\cdots +a_{n}b^{n}}$.

Existiert für ein ${\displaystyle f\in A[X]}$ ein ${\displaystyle a\in A}$, sodass ${\displaystyle \iota _{a}(f)=0}$ gilt, so bezeichnet man ${\displaystyle a}$ als Nullstelle von ${\displaystyle f}$. Von besonderer Bedeutung für die Theorie algebraischer Gleichungen ist der Kern der Abbildung ${\displaystyle \iota _{b}}$ für ein Element ${\displaystyle b}$ aus ${\displaystyle B}$, welches nicht notwendigerweise in ${\displaystyle A}$ liegt. Ist ${\displaystyle \iota _{b}}$ injektiv, gilt also ${\displaystyle \iota _{b}(f)=0}$ genau dann, wenn ${\displaystyle f}$ das Nullpolynom ist, so bezeichnet man ${\displaystyle b}$ auch als transzendent über ${\displaystyle A}$ und es ist ${\displaystyle A[X]}$ isomorph zu ${\displaystyle A[b]}$. Andernfalls nennt man ${\displaystyle b}$ algebraisch über ${\displaystyle A}$, was gleichbedeutend damit ist, dass ${\displaystyle b}$ als Nullstelle eines Polynoms ungleich dem Nullpolynom mit Koeffizienten aus ${\displaystyle A}$ auftritt.

Wie i​m Falle d​es Existenz- u​nd Eindeutigkeitssatzes existieren a​uch für d​ie Punktauswertung u​nd alle d​amit zusammenhängenden Begriffe direkte Verallgemeinerungen a​uf Polynomringe i​n mehreren Veränderlichen.

Beispiele

Ist ${\displaystyle I}$ ein Ideal in einem Ring ${\displaystyle A}$ (kommutativ und mit Einselement), so induziert der Homomorphismus ${\displaystyle \varphi \colon A\to A/I\hookrightarrow (A/I)[X]}$, welcher sich aus der Projektion auf den Faktorring ${\displaystyle A/I}$ und der Einbettung in den zugehörigen Polynomring ${\displaystyle (A/I)[X]}$ zusammensetzt, einen Ringhomomorphismus ${\displaystyle \varphi _{X}\colon A[X]\to (A/I)[X]}$. Die Koeffizienten eines Polynoms ${\displaystyle f\in A[X]}$ werden also modulo ${\displaystyle I}$ reduziert. Hierbei wird das Monom ${\displaystyle X\in A[X]}$ durch das entsprechende Monom ${\displaystyle (1+I)X}$ aus ${\displaystyle (A/I)[X]}$ substituiert.

Literatur

• Siegfried Bosch: Algebra. 8. Auflage. Springer Verlag, Berlin 2013, ISBN 978-3-642-39566-6, S. 38, doi:10.1007/978-3-642-39567-3.
• Jens Carsten Jantzen, Joachim Schwermer: Algebra. 2. Auflage. Springer Verlag, Berlin 2013, ISBN 978-3-642-40532-7, S. 104, 112–114, doi:10.1007/978-3-642-40533-4.

Einzelnachweise

1. Jens Carsten Jantzen, Joachim Schwermer: Algebra. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-642-40533-4, S. 113 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
2. Günter Scheja: Lehrbuch der Algebra. Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-322-80092-3, S. 24 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).