Fixpunktsatz von Kakutani

Der Fixpunktsatz v​on Kakutani i​st mathematischer Lehrsatz, d​er dem Gebiet d​er Funktionalanalysis zuzurechnen i​st und a​uf eine Arbeit d​es japanischen Mathematikers Shizuo Kakutani a​us dem Jahr 1938 zurückgeht. Der Satz beruht a​uf Eigenschaften konvexer Mengen i​n hausdorffschen lokalkonvexen Vektorräumen u​nd gibt e​ine hinreichende Bedingung für d​as Vorliegen gemeinsamer Fixpunkte für gewisse Gruppen v​on Homöomorphismen solcher Mengen. Er g​ab Anlass z​u zahlreichen Folgeuntersuchungen u​nd ist e​ng verknüpft m​it anderen bedeutenden Sätzen d​er Funktionalanalysis w​ie etwa m​it dem Fixpunktsatz v​on Ryll-Nardzewski. Der Fixpunktsatz v​on Kakutani impliziert d​abei n​icht zuletzt d​ie Existenz Haarscher Maße a​uf kompakten Gruppen. Zu seinem Beweis w​ird der hausdorffsche Maximalkettensatz o​der das Lemma v​on Zorn (und d​amit das Auswahlaxiom) benötigt.[1][2][3]

Formulierung des Satzes

Der Fixpunktsatz v​on Kakutani lässt s​ich darstellen w​ie folgt:[4]

Gegeben seien ein hausdorffscher lokalkonvexer Raum ${\displaystyle X}$ und darin eine nichtleere, kompakte und konvexe Teilmenge ${\displaystyle C\subset X}$ zusammen mit einer Gruppe ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ von linearen Automorphismen ${\displaystyle g\colon X\to X}$, die ${\displaystyle C}$ invariant lassen, in der also alle Automorphismen ${\displaystyle g\in {\mathcal {G}}}$ die Teilmengenrelation ${\displaystyle g(C)\subseteq C}$ erfüllen.

Die Gruppe ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ sei dabei gleichmäßig gleichgradig stetig.

Dann gilt:

${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ hat auf ${\displaystyle C}$ einen gemeinsamen Fixpunkt, d. h.: es gibt ein ${\displaystyle c_{0}\in C}$ mit ${\displaystyle g(c_{0})=c_{0}}$ für alle ${\displaystyle g\in {\mathcal {G}}}$ .

Verwandtes Resultat: Der Satz von Markow

Der russische Mathematiker Markow h​at schon i​m Jahre 1936 u​nd vor Publikation d​es kakutanischen Fixpunktsatzes e​inen Satz vorgelegt, d​er diesem i​n Fragestellung u​nd Aussage s​ehr ähnelt, w​obei der markowsche Satz i​m Wesentlichen d​arin abweicht, d​ass er d​ie Voraussetzung d​er gleichmäßig-gleichgradigen Stetigkeit d​urch eine Vertauschbarkeitsbedingung ersetzt:[5]

Gegeben seien ein hausdorffscher lokalkonvexer Raum ${\displaystyle X}$ und darin eine nichtleere kompakte konvexe Teilmenge ${\displaystyle C\subset X}$.

Weiter gegeben sei eine Familie ${\displaystyle {\mathcal {F}}=(f_{i})_{i\in I}}$ von stetigen affinen Abbildungen ${\displaystyle f_{i}\colon C\to C}$, die hinsichtlich der Hintereinanderausführung paarweise vertauschbar sein sollen.

Dann gilt:

${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ hat auf ${\displaystyle C}$ einen gemeinsamen Fixpunkt, d. h.: es gibt ein ${\displaystyle c_{0}\in C}$ mit ${\displaystyle f_{i}(c_{0})=c_{0}}$ für alle ${\displaystyle i\in I}$ .

Zusatz

Die Aussage des Satzes von Markow gilt insbesondere für den Fall, dass – bei sonst gleichen Voraussetzungen – ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ als abelsche Gruppe von stetigen linearen Automorphismen ${\displaystyle f\colon X\to X}$ mit ${\displaystyle f(C)\subseteq C}$ vorausgesetzt wird. Diesen abgewandelten Satz nennt man auch den Fixpunktsatz von Kakutani-Markow (englisch Kakutani-Markov fixed point theorem)[6]

Erläuterungen

• Die gleichmäßig-gleichgradige Stetigkeit (englisch Equicontinuity) der obigen Abbildungsgruppe ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$ ist auf die durch das ${\displaystyle 0}$-Umgebungssystem von ${\displaystyle X}$ gegebene uniforme Struktur zu beziehen. In diesem Zusammenhang nennt man – in voller Allgemeinheit – eine Familie ${\displaystyle {\mathcal {F}}=(f_{i})_{i\in I}}$ von linearen Abbildungen ${\displaystyle f_{i}\colon X\to Y}$ zwischen zwei topologischen Vektorräumen ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ gleichmäßig gleichgradig stetig genau dann, wenn folgendes gilt:[7]

Zu jeder ${\displaystyle 0}$-Umgebung ${\displaystyle U_{Y}(0)\subseteq Y}$ gibt es eine ${\displaystyle 0}$-Umgebung ${\displaystyle U_{X}(0)\subseteq X}$ , welche der Bedingung ${\displaystyle \bigcup _{i\in I}{f_{i}\left(U_{X}(0)\right)}\subseteq U_{Y}(0)}$ genügt.

• Eine Abbildung ${\displaystyle f\colon C\to C}$ der konvexen Menge ${\displaystyle C\subseteq X}$ heißt affin, wenn für je zwei Punkte ${\displaystyle x,y\in C}$ und jede reelle Zahl ${\displaystyle \lambda \in [0,1]}$ stets die Gleichung ${\displaystyle f\left(\lambda x+(1-\lambda )y\right)=\lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)}$ erfüllt ist.[8]

Literatur

• Shizuo Kakutani: On the uniqueness of Haar's measure. In: Proceedings of the Imperial Academy. Band 14, 1938, S. 27–31 (MR1568492).
• Shizuo Kakutani: Two fixed-point theorems concerning bicompact convex sets. In: Proceedings of the Imperial Academy. Band 14, 1938, S. 242–245 (MR1568507).
• Vasile I. Istrățescu: Fixed Point Theory. An Introduction. With a Preface by Michiel Hazewinkel (= Mathematics and its Application. Band 7). D. Reidel Publishing Company, Dordrecht, Bosto, London 1981, ISBN 90-277-1224-7 (MR0620639).
• A. A. Markov: Quelques théorèmes sur les ensembles abeliens. In: Doklady Akad. Nauk. SSSR. Band 10, 1936, S. 311–314.
• Barbara Przebieracz: A proof of the Mazur-Orlicz theorem via the Markov-Kakutani common fixed point theorem, and vice versa. In: Fixed Point Theory and Applications. 2015, doi:10.1186/s13663-014-0257-2 (MR3304965).
• Walter Rudin: Functional Analysis (= International Series in Pure and Applied Mathematics). 2. Auflage. McGraw-Hill, Boston (u. a.) 1991, ISBN 0-07-054236-8 (MR1157815).
• Dirk Werner: A proof of the Markov-Kakutani fixed point theorem via the Hahn-Banach theorem. In: Extracta Mathematicae. Band 8, 1993, S. 37–38 (MR1270326).
• Robert J. Zimmer: Essential Results of Functional Analysis (= Chicago Lectures in Mathematics). The University of Chicago Press, Chicago, London 1990, ISBN 0-226-98337-4 (MR1045444).

Einzelnachweise und Hinweise

1. Walter Rudin: Functional Analysis. 1991, S. 120 ff, 377, 393
2. Vasile I. Istrățescu: Fixed Point Theory. 1987, S. 276 ff
3. Robert J. Zimmer: Essential Results of Functional Analysis. 1990, S. 38 ff
4. Rudin, op. cit., S. 120
5. Istrățescu, op. cit., S. 277
6. Zimmer, op. cit., S. 39
7. Rudin, op. cit., S. 43
8. Istrățescu, op. cit., S. 276