Fixpunktsatz von Ryll-Nardzewski

Der Fixpunktsatz v​on Ryll-Nardzewski, benannt n​ach Czesław Ryll-Nardzewski, i​st ein Satz a​us dem mathematischen Teilgebiet d​er Funktionalanalysis. Der Satz sichert d​ie Existenz e​ines gemeinsamen Fixpunktes e​iner Familie gewisser Abbildungen e​iner kompakten, konvexen Menge i​n sich.

Formulierung des Satzes

Sei ${\displaystyle E}$ ein lokalkonvexer Raum, zum Beispiel ein normierter Raum, und ${\displaystyle C\subset E}$ sei eine nicht-leere schwach-kompakte konvexe Menge. Weiter sei ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ eine nicht-leere Familie von Abbildungen ${\displaystyle T:C\rightarrow C}$ mit folgenden Eigenschaften:

1. ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ist eine Halbgruppe, das heißt: Für alle ${\displaystyle T_{1},T_{2}\in {\mathcal {S}}}$ gilt ${\displaystyle T_{1}\circ T_{2}\in {\mathcal {S}}}$.
2. Jedes ${\displaystyle T\in {\mathcal {S}}}$ ist schwach-stetig und affin, letzteres heißt für ${\displaystyle x,y\in C}$ und ${\displaystyle \alpha \in [0,1]}$ gilt ${\displaystyle T(\alpha x+(1-\alpha )y)=\alpha T(x)+(1-\alpha )T(y)}$.
3. ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ist nicht-kontrahierend, das heißt für zwei verschiedene Punkte ${\displaystyle x,y\in C}$ liegt 0 nicht im Abschluss von ${\displaystyle \{T(x)-T(y);T\in {\mathcal {S}}\}}$.

Dann gibt es mindestens einen gemeinsamen Fixpunkt von ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$, das heißt: Es gibt ein ${\displaystyle x_{0}\in C}$, so dass ${\displaystyle T(x_{0})=x_{0}}$ für alle ${\displaystyle T\in {\mathcal {S}}}$.

Bemerkungen

• Zum Beweis zeigt man zunächst, dass jede endliche Teilmenge aus ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ einen Fixpunkt hat, und schließt dann mit einem Kompaktheitsargument auf die Behauptung.
• Die Voraussetzung, dass ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ nicht-kontrahierend sein soll, ist automatisch erfüllt, wenn alle Elemente aus ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ Isometrien eines normierten Raumes sind. Diesen Spezialfall nennt man ebenfalls den Fixpunktsatz von Ryll-Nardzewski: Jede Halbgruppe schwach-stetiger affiner Isometrien einer schwach-kompakten konvexen Menge in sich hat einen Fixpunkt.

Anwendung

Die bekannteste Anwendung ist die Herleitung der Existenz des Haar-Maßes auf einer kompakten Gruppe ${\displaystyle G}$. Der Raum ${\displaystyle E=M(G)}$ der endlichen Borel-Maße auf ${\displaystyle G}$ ist der Dualraum des Raumes ${\displaystyle C(G)}$ der stetigen Funktionen auf ${\displaystyle G}$, und trägt daher die schwach-*-Topologie, die ${\displaystyle M(G)}$ zu einem lokalkonvexen Raum macht, dessen schwache Topologie genau diese schwach-*-Topologie ist. Als konvexe Menge nimmt man ${\displaystyle C:=\{\mu \in M(G);\mu \geq 0,\mu (1)=1\}}$. Für ${\displaystyle f\in C(G)}$ und ${\displaystyle x\in G}$ seien ${\displaystyle {\tilde {f}},{}_{x}f,f_{x}\in C(G)}$ durch die Formeln ${\displaystyle {\tilde {f}}(y):=f(y^{-1}),{}_{x}f(y):=f(xy),f_{x}(y):=f(yx)}$ erklärt. Definiere weiter ${\displaystyle S_{0},S_{1},L_{x},R_{x}:M(G)\rightarrow M(G)}$ durch

• ${\displaystyle S_{0}\,:=\,id_{M(G)}}$
• ${\displaystyle S_{1}(\mu )(f)\,:=\,\mu ({\tilde {f}})}$
• ${\displaystyle L_{x}(\mu )(f)\,:=\,\mu ({}_{x}f)}$
• ${\displaystyle R_{x}(\mu )(f)\,:=\,\mu (f_{x})}$

Dann ist ${\displaystyle {\mathcal {S}}:=\{S_{i}L_{x}R_{y};i\in \{0,1\},x,y\in G\}}$ eine Halbgruppe von Isometrien, die ${\displaystyle C}$ in sich abbildet. Wendet man auf diese Situation den Fixpunktsatz von Ryll-Nardzewski an, so erhält man ein Maß, das leicht als Haar-Maß nachgewiesen werden kann.

Quellen

• John B. Conway: A Course in Functional Analysis, Springer-Verlag (1994), ISBN 0387972455
• C. Ryll-Nardzewski: On fixed points of semigroups of endomorphisms of linear spaces, Proc. Fifth Berkeley Sympos. Math. Statist. and Probability, Univ. California Press, Berkeley (1967), Seiten 55–61