Skorochod-Darstellung

Die Skorochod-Darstellung[1], auch Skorochod Kopplung[2] genannt oder als Darstellungssatz von Skorochod[3] bezeichnet, ist ein Aussage der Stochastik über die Konvergenz in Verteilung beziehungsweise die schwache Konvergenz von Wahrscheinlichkeitsmaßen und ihre Verknüpfung zur fast sicheren Konvergenz. Sie ist nach Anatoli Skorochod benannt, ist aber aufgrund unterschiedlicher Transkriptionen seines Namens in verschiedene Sprachen auch in den Schreibweisen Skorokhod oder Skorohod in der Literatur zu finden. Der Beweis des Darstellungssatzes ist ein klassisches Beispiel für ein Kopplungsargument.[4]

Aussage

Gegeben seien Zufallsvariablen ${\displaystyle X,X_{1},X_{2},X_{3},\dots }$ mit Werten in einem polnischen Raum ${\displaystyle (E,{\mathcal {B}}(E))}$, versehen mit der borelsche σ-Algebra. Typischer Fall wäre beispielsweise ${\displaystyle E=\mathbb {R} }$. Des Weiteren gelte

${\displaystyle X_{n}\mathrel {\stackrel {\mathcal {D}}{\rightarrow }} X}$,

die Zufallsvariablen konvergieren a​lso in Verteilung.

Dann gilt: Es existieren ein Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$ und Zufallsvariablen

${\displaystyle Y,Y_{n}\colon (\Omega ,{\mathcal {A}},P)\to (E,{\mathcal {B}}(E))}$,

so d​ass

1. die Verteilungen übereinstimmen: ${\displaystyle X_{n}\mathrel {\stackrel {\mathcal {D}}{=}} Y_{n}}$ und ${\displaystyle Y\mathrel {\stackrel {\mathcal {D}}{=}} X}$, und
2. die Folge ${\displaystyle (Y_{n})_{n\geq 1}}$ fast sicher gegen ${\displaystyle Y}$ konvergiert.

Varianten

Der Satz w​ird in unterschiedlichen Varianten formuliert: t​eils nur für reelle Zufallsvariablen, w​obei die Konvergenz i​n Verteilung d​ann über d​ie Verteilungsfunktionen definiert wird, t​eils wird d​ie Konvergenz i​n Verteilung a​uch als schwache Konvergenz v​on Wahrscheinlichkeitsmaßen i​m Bildraum formalisiert.

Weblinks

• D. Nualart: Skorokhod theorem. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).

Literatur

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
• David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 978-3-540-21676-6, doi:10.1007/b137972.
• Norbert Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. Eine Einführung. 2., überarbeitete und erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-45386-1, doi:10.1007/978-3-642-45387-8.
• Geoffrey Grimmett, David Stirzaker: Probability and Random Processes. 3. Auflage. Oxford University Press, Oxford New York 2001.

Einzelnachweise

1. Meintrup, Schäffler: Stochastik. 2005, S. 176.
2. Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2013, S. 392.
3. Kusolitsch: Maß- und Wahrscheinlichkeitstheorie. 2014, S. 289.
4. Grimmet, Stirzaker: Probability and Random Processes 2001, S. 314