Eulersches Tonnetz

Die Eulerschreibweise ist nach dem Mathematiker Leonhard Euler benannt, der diese für die Feinanalyse von Musikstücken in reiner Stimmung einführte. Dabei wird schon bei der Bezeichnungsweise erkennbar, ob die vorkommenden Terzen und Quinten rein erklingen. Zum Beispiel haben die Tonika-, Subdominant- und Dominantakkorde der reinen C-Dur-Tonleiter die Darstellung c - ,e - g und f-,a-c sowie g-,h-d (Durakkorde mit reiner großer und kleiner Terz sowie reiner Quinte), wobei das „Tiefkomma“ vor ,e und ,a sowie ,h besagt, dass die Töne jeweils ein syntonisches Komma tiefer erklingen als das e und a sowie h in der Reihe der reinen Quinten … f c g d a e h …

Das Eulersche Tonnetz stellt den Tonumfang der reinen Stimmung in einem zweidimensionalen Gitternetz aus reinen Quint- und Terzintervallen dar. Euler hatte sich bereits in dem 1739 erschienenen Werk Tentamen novae theoriae musicae[1] eingehend mit den mathematischen Zusammenhängen der Musik befasst. In diesem Werk suchte er eine mathematische Begründung für das Konsonanz- und Dissonanzempfinden in der Tonkunst und stellte ein Intervallverwandtschaftssystem auf der Primzahlenbasis zusammen. In einem weiteren Werk De harmoniae veris principiis per speculum musicum repraesentatis,[2] das 1773 veröffentlicht wurde, beschrieb er das Tonnetz aus Quinten und Terzen.

Das Quint-Terz-Schema

Die Einführung der reinen Großterz (mit dem Saitenlängenverhältnis zwischen unterem und oberem Ton von 5:4) – als Ersatz und Vereinfachung des pythagoreischen Ditonus (81:64) – geht zurück auf die enharmonische Tetrachordteilung Didymos’ (etwa 100 Jahre nach Pythagoras). Allerdings ist das Tonsystem im antiken Griechenland nicht mit dem Tonsystem zu vergleichen, auf das sich Leonhard Euler bezieht. In unserem heutigen Tonsystem erstmals erwähnt wurde die reine große Terz um 1300 von Walter Odington in seiner Schrift De Speculatione Musices.[3][4]

In der abendländischen Musik wurde die Großterz (Frequenzverhältnis: 81:64) des pythagoreischen Systems als Dissonanz empfunden. Mit dem Aufkommen der Mehrstimmigkeit emanzipierte sich im 15. Jahrhundert die reine Großterz (5:4), die als Bestandteil des Dreiklanges zunehmend an musikalischer Bedeutung gewann.

Der C-Dur Akkord in der Obertonreihe?

Hierbei erhält man ein Tonsystem, das auf den Intervallen Oktave ²⁄₁, Quinte ³⁄₂ und Terz ⁵⁄₄ basiert. Die anderen Intervalle des Quint-Terz-Systems lassen sich so als Vielfache dieser Intervalle darstellen.

Aus der Vielzahl von Kombination dieser Intervalle ergibt sich ein (theoretisch) unendlicher Tonraum. Dieser Tonraum wird häufig mittels eines Tonnetzes wie folgt grafisch dargestellt:

Darstellung im Tonnetz

Da die reine Terz nicht mit Quinten darstellbar war, stellte Leonhard Euler das Beziehungsgeflecht der reinen Stimmung mit Hilfe von Quintenreihen dar, die sich jeweils um ein syntonisches Komma unterscheiden. Im folgenden Beziehungsgeflecht reihen sich die Quinten in horizontaler Richtung und die Terzen in vertikaler Richtung.

Die Schreibweise ,x („Tiefkomma x“) bzw. ’x („Hochkomma x“) – das Komma vor der Tonbezeichnung – usw. bedeutet, dass der Ton ,x bzw. ’x ein syntonisches Komma tiefer bzw. höher als der Ton x ist.[5]

Diese grafische Darstellung des Quint-Terz-Schemas versteht sich als Beziehungsgeflecht von Tonigkeiten ohne fixierte Oktavlage (auch: „Chroma“, „Toncharakter“;[6] englisch pitch class), so dass zur Berechnung konkreter Intervallverhältnisse noch das entsprechende Vielfache der Oktave ²⁄₁ hinzu- oder weggenommen werden muss.

Die reinen Tonleitern haben in dieser grafischen Darstellung ein stets gleiches Erscheinungsbild. Intervallzusammenhänge sind für jede Tonleiter immer gleich:

Tonleiter	Tonleitertöne tabellarisch aufgelistet
F-Dur	f	g	,a	b	c	,d	,e	f	,d-Moll	,d	,e	f	,g	,a	b	c	,d
C-Dur	c	d	,e	f	g	,a	,h	c	,a-Moll	,a	,h	c	,d	,e	f	g	,a
G-Dur	g	a	,h	c	d	,e	,fis	g	,e-Moll	,e	,fis	g	,a	,h	c	d	,e
x-Dur	x	x	,x	x	x	,x	,x	x	x-Moll	x	x	’x	x	x	’x	’x	x

(Umfangreichere Tabelle siehe Die Tonleitern im Quintenzirkel)

Die Berechnung der zugehörigen Centwerte am Beispiel der Töne c - e - ,e mit Oktave = 1200 Cent, Quinte = 701,955 Cent und syntonisches Komma = 21,506 Cent ergibt zum Beispiel mit c = 0 Cent gerundet:

e = c + 4 Quinten − 2 Oktave = 408 Cent und ,e = e − syntonisches Komma = 386 Cent ( = c + reine große Terz)

Die entsprechenden Frequenzwerte berechnen sich mit c = 264 Hz zu:

e={\frac {264\cdot ({\frac {3}{2}})^{4}}{2^{2}}}=334{,}125\,\mathrm {Hz} \quad {\text{und}}\quad ,e=e\cdot {\frac {80}{81}}=330\,\mathrm {Hz} \left(=c\cdot {\frac {5}{4}}\right)

.

Die Centwerte der Töne ergeben sich zu:

Ton	Berechnung	Centwert
c	0	0
d	2q − o	204
,e	4q − 2o − k	386
f	−q + o	498
g	q	702
,a	3q − o − k	884
,h	5q − 2o − k	1088
c′	o	1200

(Umfangreichere Tabelle siehe Die Tonleitern im Quintenzirkel)

Es zeigt die Tonbeziehungen der harmonisch-reinen Stimmung. Zum Beispiel erklingen die Töne ,e und ,a sowie ,h der C-Dur-Tonleiter ein syntonisches Komma tiefer als in der pythagoreischen Quintenkette. Die Akkorde c-,e-g und f-,a-c sowie g-,h-d bestehen aus reine Terzen ( ⁵⁄₄ und ⁶⁄₅) und reinen Quinten ( ³⁄₂).[7]

Das eigentliche „Tonnetz“ wurde 1773 von Leonhard Euler als speculum musicum („Abbild der Musik“) in seiner gleichnamigen Schrift De harmoniae veris principiis per speculum musicum repraesentatis vorgestellt, und von da an – zusammen mit den von Moritz Hauptmann[8] eingeführten Bezeichnungen für bisher gleichnamige Töne, die sich um ein syntonisches Komma unterscheiden – von zahlreichen Theoretikern zu verschiedenen Zwecken abgewandelt (u. a. von Hermann v. Helmholtz[9], Arthur v. Oettingen[10] und Hugo Riemann[11]). Die unterschiedlichen Charaktere von Tönen gleichen Namens, aber verschiedener Lage im (unendlichen) Tonraum ergibt sich in harmonisch-reiner Stimmung nicht nur aus einer jeweils anderen Tonumgebung und Harmonisierung (etwa das ,e im C-dur-Akkord c-,e-g und das e im E-dur-Akkord e-,gis-h), sondern auch aus einem (minimalen) Tonhöhenunterschied zwischen den jeweiligen Tonstufen (,e und e):

In der C-Dur-Tonleiter c d ,e f g ,a ,h c ist das Intervall c-,e eine große Terz mit dem Frequenzverhältnis ⁵⁄₄. In der Quintenreihe c-g-d-a-e ist das Intervall (zurückoktaviert) c-e eine pythagoreische Terz mit dem Frequenzverhältnis ⁸¹⁄₆₄. Diese beiden Intervalle unterscheiden sich um das syntonische Komma mit dem Frequenzverhältnis ⁸¹⁄₈₀.[12]

Die C-Dur-Tonleiter in harmonisch-reiner Quint-Terz Stimmung

Die reine C-Dur-Tonleiter kann verstanden werden als Auswahl derjenigen sieben Tonstufen aus dem Quint-Terz-Schema, die zur Intonation der drei Hauptfunktionen Subdominante (S), Tonika (T) und Dominante (D) – also für die „authentische“ Kadenz benötigt werden:

C-Dur-Tonalität

Die eigentliche Skala entsteht durch Transposition dieser Tonstufen in die entsprechende Oktavlage – beispielsweise zwischen c¹ und c². Sie besteht nun – im Gegensatz zur pythagoreischen Skala – nicht mehr aus zwei, sondern aus drei Intervallschritten verschiedener Größe, dem großen Ganzton ⁹⁄₈, dem kleinen Ganzton ¹⁰⁄₉ und dem diatonischen Halbton ¹⁶⁄₁₅ :

reine C-Dur-Tonleiter

Die These (zum Beispiel bei Sigfrid Karg-Elert), dass bei dieser siebenstufigen Tonleiter, welche die harmonisch-reine Intonation der Hauptfunktionen T, S und D erlaubt, melodisch unsauber wirkt, da die jeweiligen Terzen ,e / ,a und ,h in melodischen Zusammenhang als zu niedrig empfunden werden können, ist umstritten. Ross W. Duffin[13] belegt, dass die „Expressive Intonation“, d. h. die Verwendung von geschärften Leittönen, vor allem seit Pablo Casals (1876–1973) eine durchaus moderne Erscheinung ist. Er erwähnt etwa: Hermann von Helmholtz, der das Spiel von Joseph Joachim physikalisch untersuchte, stellte fest, dass Joachim die Terzen (fast) rein intonierte, was sich auch in seinen Schallplattenaufnahmen von 1903 – trotz technischer Mängel – bestätigt.

Anwendung des Eulerschen Tonnetzes zur musikalischen Feinanalyse

Siehe auch Feinanalyse bei Intonationsproblemen

Beispiel 1: Dreiklang auf der II. Stufe in C-Dur

Vergleicht man die beiden Dreiklänge

Dreiklang auf der 2. Stufe ,d - f - ,a (Mollakkord mit reiner kleiner und großer Terz) und
Dreiklang auf der 5. Stufe g - ,h - d (Durakkord mit reiner großer und kleiner Terz)

so erkennt man sofort, dass sich die Töne d und ,d um ein syntonisches Komma unterscheiden.

Siehe dazu auch Beispiel 3.

Beispiel 2: Unterschied Gis und As

	Akkorde (mit Frequenzen in Hertz) C-Dur Tonika: c(132) c′(264) ,e′(330) g′(396) c″(528) C-Dur Subdominante in Moll mit Sixte ajoutée: f(176) f′(352) ’as′(422,4) c″(528) d″(594) a-Moll Dominantseptimenakkord: ,e(165) ,e′(330) ,,gis′(412,5) ,h′(495) d″(586,7) a-Moll Tonika: ,a(220) ,e′(330) ,a′(440) c″(528) As ist hier um 9,9 Hz höher als Gis mit dem Frequenzverhältnis ^AS/_Gis = ¹²⁸⁄₁₂₅ (41 Cent). Bei diesem Intervall handelt es sich um die kleine Diësis.[14]

Beispiel 3: Die „Kommafalle“

Gerade Chöre, die besonders gut aufeinander hören, können detonieren. Dies liegt dann oft an der unterschiedlichen Intonation gleichnamiger Töne. Dies ist schon lange bekannt. Die musikalische Feinanalyse darüber, die mit Hilfe der Bezeichnungen des Eulerschen Tonnetzes leichter zu verstehen ist, gehört jedoch nicht zum musikalischen Bildungsgut.[15]

Ein klassisches Beispiel einer „Kommafalle“ ist das Vorkommen des Akkordes der II. Stufe:

Der dritte Akkord f-,a-d klingt in C-Dur unrein. Ein Chor, bei dem die Stimmen aufeinander hören, singt das passende d ein syntonisches Komma tiefer, hier mit ,d bezeichnet. Es handelt sich ja um die Moll-Parallele zum F-Dur-Akkord und die F-Dur-Tonleiter ist f-g-,b-c-,d-,e-f. Im folgenden Akkord g-,h-d muss dann jedoch wieder das „richtige“ d von C-Dur gesungen werden.

Wird dies nicht beachtet, tappt man in die Kommafalle, wie im folgenden Hörbeispiel gezeigt wird. Nach viermaliger Wiederholung erklingt der Tonsatz fast einen halben Ton tiefer. Das viermalige Wiederholen der Kommafalle ergibt ein Detonieren um fast einen Halbton

Tonika	,e	g	c
Subdominante	f	,a	c
Subdominantenparallele	f	,a	,d
Dominante	,g	,,h	,d	Bei gleichem ,d des Soprans ein (syntonisches) Komma zu tief
Tonika	,,e	,g	,c	Ein Komma zu tief
Subdominante	,f	,,a	,c	Ein Komma zu tief
Subdominantenparallele	,f	,,a	,,d	Ein Komma zu tief
Dominante	,,g	,,,h	,,d	Bei gleichem ,,d des Soprans nun zwei Kommata zu tief
Tonika	,,,e	,,g	,,c	Zwei Kommata zu tief
Subdominante	,,f	,,,a	,,c	Zwei Kommata zu tief
Subdominantenparallele	,,f	,,,a	,,,d	Zwei Kommata zu tief
Dominante	,,,g	,,,,h	,,,d	Bei gleichem ,,,d des Soprans nun drei Kommata zu tief
Tonika	,,,,e	,,,g	,,,c	Drei Kommata zu tief
Subdominante	,,,f	,,,,a	,,,c	Drei Kommata zu tief
Subdominantenparallele	,,,f	,,,,a	,,,,d	Drei Kommata zu tief
Dominante	,,,,g	,,,,,h	,,,,d	Bei gleichem ,,,d des Soprans nun vier Kommata zu tief
Tonika	,,,,,e	,,,,g	,,,,c	Vier Kommata (86 Cent) zu tief

Der Quintenzirkel im Eulerschen Tonnetz

Zur nächsten Tonart ändern sich jeweils zwei Töne. Der chromatische Halbton mit 92,179 Cent (Frequenzverhältnis: ¹³⁵⁄₁₂₈) ist im Notenbild erkennbar, die Veränderung um ein syntonisches Komma mit 21,506 Cent (Frequenzverhältnis ⁸¹⁄₈₀) ist hier an der geänderten Cent-Angabe ablesbar.

Die ♯-Tonarten im Eulerschen Tonnetz

Der Quintenzirkel in reiner Stimmung und Eulerscher Schreibweise auf einer Tastatur dargestellt.

(Cent-Werte in Klammern)[16]

C-Dur: c(0) d(204) ,e(386) f(498) g(702) ,a(884) ,h(1088) c
G-Dur: g a(906) ,h c d ,e ,fis(590) g
D-Dur: d e(408) ,fis g a ,h ,cis(92) d
A-Dur: a h(1110) ,cis d e ,fis ,gis(794) a
E-Dur: e fis(612) ,gis a h ,cis ,dis(296) e
H-Dur: h cis(114) ,dis e fis ,gis ,ais(998) h
FIS-Dur: fis gis(816) ,ais h cis ,dis ,eis(500) fis
CIS-Dur: cis dis(318) ,eis fis gis ,ais ,his(2) cis

Die ♭-Tonarten im Eulerschen Tonnetz (Cent-Werte in Klammern)

C-Dur: c(0) d(204) ,e(386) f(498) g(702) ,a(884) ,h(1088) c
F-Dur: f g ,a b(996) c ,d(182) ,e f
B-Dur: b c ,d es(294) f ,g(680) ,a b
Es-Dur: es f ,g as(792) b ,c(-22) ,d es
As-Dur: as b ,c des(90) es ,f(477) ,g as
Des-Dur: des es ,f ges(588) as ,b(975) ,c des
Ges-Dur: ges as ,b ces(1086) des ,es(273) ,f ges
Ces-Dur: ces des ,es fes(384) ges ,as(771) ,b ces

Schon Andreas Werckmeister stellte fest, dass die enharmonische Gleichsetzung möglich ist, wenn man von der Abweichung um ein Schisma (< 2 Cent) absieht. Er vernachlässigte dieses Intervall von unter 2 Cent, weil es auf dem Monochord „kaum einen Circulstrich“ ausmache[17]:

,h(1088)=ces(1086)
,his(2)=c(0)
,cis(92)=des(90)
,dis(296)=es(294)
,e(386)=fes(384)
,eis(500)=f(498)
,fis(590)=ges(588)
,gis(794)=as(792)
,ais(998)=b(996)

Literatur

Euler, Leonhard. In: Musik in Geschichte und Gegenwart, Band 3, 1616
Hermann von Helmholtz: Die Lehre von den Tonempfindungen als physiologische Grundlage für die Theorie der Musik. Vieweg, Braunschweig 1863 (Nachdruck: Minerva-Verlag, Frankfurt am Main 1981, ISBN 3-8102-0715-2, Auszug).
Ludwig Riemann: Populäre Darstellung der Akustik in Beziehung zur Musik. Im Anschluss an Hermann von Helmholtz’ „Lehre von den Tonempfindungen“. Vieweg, Braunschweig 1896.

Siehe auch

Reine Stimmung
Reine Stimmung bei Tasteninstrumenten
Tonstruktur (mathematische Beschreibung)
Modulation bei reiner Stimmung
Tonic sol-fa, dort auch der Bericht von Hermann von Helmholtz, einem Verfechter der reinen Stimmung
Vogelsches Tonnetz, eine Erweiterung des Eulerschen Tonnetzes um Septimen

Weblinks

Joachim Mohr: Die Eulerschreibweise.
Auf der PC-Tastatur ausprobieren. Kostenloses Java-Applet

Einzelnachweise

Leonhard Euler: Tentamen novae theoriae musicae ex certissimis harmoniae principiis dilucide expositae. St. Petersburg 1739.
Leonhard Euler: De harmoniae veris principiis per speculum musicum repraesentatis. In: Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, 18, St. Petersburg 1774.
Walter Odington
The Harvard dictionary of music. Don Michael Randel, 2003, ISBN 0-674-01163-5, S. 56, Überschrift: Arithmetic and harmonic mean, Abschnitt 2 (online).
Häufig wird auch folgende Schreibweise verwendet: ${\underline {x}}$ („unterstrichen x“) statt $,x$ („Tiefkomma x“) und ${\overline {x}}$ („überstrichen x“) statt ’x („Hochkomma x“)
Jacques Handschin: Der Toncharakter. Eine Einführung in die Tonpsychologie. Zürich 1948.
Carl Dahlhaus: Untersuchungen über die Entstehung der harmonischen Tonalität. Kassel 1965. Renate Imig: Systeme der Funktionsbezeichnung in den Harmonielehren seit Hugo Riemann. Düsseldorf 1970.
Moritz Hauptmann: Die Natur der Harmonik und Metrik. Leipzig 1853.
Hermann v. Helmholtz: Die Lehre von den Tonempfindungen als physiologische Grundlage für die Theorie der Musik. Braunschweig 1863.
Arthur von Oettingen: Harmoniesystem in dualer Entwicklung. Studien zur Theorie der Musik. Dorpat/Leipzig 1866; überarbeitete zweite Auflage als Das duale Harmoniesystem, Leipzig 1913.
z. B.: Hugo Riemann: Ideen zu einer „Lehre von den Tonvorstellungen“. In: Jahrbuch Peters 21/22, 1914/15
Martin Vogel: Die Lehre von den Tonbeziehungen. Bonn - Bad Godesberg 1975, S. 103f.
Ross W. Duffin: How Equal Temperament Ruined Harmony (And Why You Should Care). W. W. Norton & Company, New York NY 2007, ISBN 978-0-393-06227-4 (Exzerpt).
Für den Fachmann die Berechnung der Frequenzen mit c′ = 264 Hz:
,,gis′ = $264\cdot \left({\tfrac {3}{2}}\right)^{8}\cdot \left({\tfrac {1}{2}}\right)^{4}\cdot \left({\tfrac {80}{81}}\right)^{2}$ Hz = 422,4 Hz,
’as′ = $264\cdot \left({\tfrac {2}{3}}\right)^{4}\cdot 2^{3}\cdot \left({\tfrac {81}{80}}\right)$ Hz = 412,5 Hz,
Berechnung mit Oktave = 1200·lb(2), Quinte = 1200·lb( ³⁄₂), Komma = 1200·lb(⁸¹/_8o) und c = 0 Cent:
,,gis = 8 Quinten − 4 Oktaven − 2 Komma = 772,627 Cent,
’as = −4 Quinten + 3 Oktaven + Komma = 813,686 Cent,
Differenz = as′ − ,,gis = 41,059 Cent
Bettina Gratzki S. 76: Die reine Intonation im Chorgesang (= Orpheus-Schriftenreihe zu Grundfragen der Musik 70). Verlag für systematische Musikwissenschaft GmbH, Bonn 1993, ISBN 3-922626-70-X (Exzerpt (Memento des Originals vom 19. Februar 2014 im Internet Archive) Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/kilchb.de).
Mit q = 701,955 (Quinte) und t = 386,314 (Terz) errechnet sich (modulo Oktave = 1200): c = 0, g = q, d = 2q, a = 3q, e = 4q usw. f = −q, b = −2q, es = −3q usw. Mit s = 21,506 (syntonisches Komma): ,c = c − s, ,g = g − s, ,d = d − s, … ,f = f − s, ,b = ,b − s, ,es = es −s usw.
Andreas Werkmeister: Musikalische Temperatur. Quedlinburg 1691.

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[1] Leonhard Euler: Tentamen novae theoriae musicae ex certissimis harmoniae principiis dilucide expositae. St. Petersburg 1739.

[speculum_musicae-2] Leonhard Euler: De harmoniae veris principiis per speculum musicum repraesentatis. In: Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae, 18, St. Petersburg 1774.

[3] Walter Odington

[4] The Harvard dictionary of music. Don Michael Randel, 2003, ISBN 0-674-01163-5, S. 56, Überschrift: Arithmetic and harmonic mean, Abschnitt 2 (online).

[5] Häufig wird auch folgende Schreibweise verwendet: ${\underline {x}}$ („unterstrichen x“) statt $,x$ („Tiefkomma x“) und ${\overline {x}}$ („überstrichen x“) statt ’x („Hochkomma x“)

[Toncharakter-6] Jacques Handschin: Der Toncharakter. Eine Einführung in die Tonpsychologie. Zürich 1948.

[7] Carl Dahlhaus: Untersuchungen über die Entstehung der harmonischen Tonalität. Kassel 1965. Renate Imig: Systeme der Funktionsbezeichnung in den Harmonielehren seit Hugo Riemann. Düsseldorf 1970.

[Mauptmann-8] Moritz Hauptmann: Die Natur der Harmonik und Metrik. Leipzig 1853.

[Tonempfindungen-9] Hermann v. Helmholtz: Die Lehre von den Tonempfindungen als physiologische Grundlage für die Theorie der Musik. Braunschweig 1863.

[Dualismus-10] Arthur von Oettingen: Harmoniesystem in dualer Entwicklung. Studien zur Theorie der Musik. Dorpat/Leipzig 1866; überarbeitete zweite Auflage als Das duale Harmoniesystem, Leipzig 1913.

[Tonvorstellungen-11] z. B.: Hugo Riemann: Ideen zu einer „Lehre von den Tonvorstellungen“. In: Jahrbuch Peters 21/22, 1914/15

[Vogel,_S._103f-12] Martin Vogel: Die Lehre von den Tonbeziehungen. Bonn - Bad Godesberg 1975, S. 103f.

[13] Ross W. Duffin: How Equal Temperament Ruined Harmony (And Why You Should Care). W. W. Norton & Company, New York NY 2007, ISBN 978-0-393-06227-4 (Exzerpt).

[14] Für den Fachmann die Berechnung der Frequenzen mit c′ = 264 Hz:
,,gis′ = $264\cdot \left({\tfrac {3}{2}}\right)^{8}\cdot \left({\tfrac {1}{2}}\right)^{4}\cdot \left({\tfrac {80}{81}}\right)^{2}$ Hz = 422,4 Hz,
’as′ = $264\cdot \left({\tfrac {2}{3}}\right)^{4}\cdot 2^{3}\cdot \left({\tfrac {81}{80}}\right)$ Hz = 412,5 Hz,
Berechnung mit Oktave = 1200·lb(2), Quinte = 1200·lb( ³⁄₂), Komma = 1200·lb(⁸¹/_8o) und c = 0 Cent:
,,gis = 8 Quinten − 4 Oktaven − 2 Komma = 772,627 Cent,
’as = −4 Quinten + 3 Oktaven + Komma = 813,686 Cent,
Differenz = as′ − ,,gis = 41,059 Cent

[15] Bettina Gratzki S. 76: Die reine Intonation im Chorgesang (= Orpheus-Schriftenreihe zu Grundfragen der Musik 70). Verlag für systematische Musikwissenschaft GmbH, Bonn 1993, ISBN 3-922626-70-X (Exzerpt (Memento des Originals vom 19. Februar 2014 im Internet Archive) Info: Der Archivlink wurde automatisch eingesetzt und noch nicht geprüft. Bitte prüfe Original- und Archivlink gemäß Anleitung und entferne dann diesen Hinweis.@1@2Vorlage:Webachiv/IABot/kilchb.de).

[16] Mit q = 701,955 (Quinte) und t = 386,314 (Terz) errechnet sich (modulo Oktave = 1200): c = 0, g = q, d = 2q, a = 3q, e = 4q usw. f = −q, b = −2q, es = −3q usw. Mit s = 21,506 (syntonisches Komma): ,c = c − s, ,g = g − s, ,d = d − s, … ,f = f − s, ,b = ,b − s, ,es = es −s usw.

[17] Andreas Werkmeister: Musikalische Temperatur. Quedlinburg 1691.