Darstellungsvarietät

In d​er Mathematik s​ind Darstellungsvarietäten e​in wichtiges Hilfsmittel i​n Gruppentheorie, Topologie u​nd Geometrie.

Definition

Sei ${\displaystyle \Gamma }$ eine endlich erzeugte Gruppe und ${\displaystyle G}$ eine halbeinfache algebraische Lie-Gruppe. Sei ${\displaystyle \Gamma =\langle x_{1},\ldots ,x_{n}\mid R_{1},\ldots ,R_{r},\ldots \rangle }$ eine Präsentierung von ${\displaystyle \Gamma }$ mit endlich vielen Erzeugern. Man gibt

${\displaystyle \operatorname {Hom} (\Gamma ,G)=\left\{f\colon \Gamma \rightarrow G{\text{ Homomorphismus}}\right\}}$

die Struktur e​iner algebraischen Menge (d. h. e​iner nicht notwendig irreduziblen algebraischen Varietät) als

${\displaystyle \operatorname {Hom} (\Gamma ,G)=\left\{(g_{1},\ldots ,g_{n})\in G^{n}\mid R_{1}(g_{1},\ldots ,g_{n})=e,\ldots ,R_{r}(g_{1},\ldots ,g_{n})=e,\ldots ,\right\}}$,

wobei ${\displaystyle e}$ das neutrale Element von ${\displaystyle G}$ bezeichnet und ein Homomorphismus ${\displaystyle f\colon \Gamma \rightarrow G}$ mit dem Tupel ${\displaystyle (g_{1},\ldots ,g_{n})=(f(x_{1}),\ldots ,f(x_{n}))}$ identifiziert wird.

Es f​olgt aus d​em Hilbertschen Basissatz, d​ass man d​ie Varietät bereits d​urch endlich v​iele Gleichungen definieren kann.

Man k​ann zeigen, d​ass der Isomorphietyp d​er Darstellungsvarietät n​icht vom gewählten Erzeugendensystem abhängt.

Quotientenbildung

Die Gruppe ${\displaystyle G}$ wirkt auf ${\displaystyle \operatorname {Hom} (\Gamma ,G)}$ durch Konjugation

${\displaystyle (gf)(\gamma )=gf(\gamma )g^{-1}}$.

Der Quotient ${\displaystyle \operatorname {Hom} (\Gamma ,G)/G:=\operatorname {Hom} (\Gamma ,G)/{\text{conj.}}}$ ist im Allgemeinen keine Varietät, stattdessen betrachtet man oft einen etwas kleineren Quotienten, die Charaktervarietät ${\displaystyle {\mathcal {R}}(\Gamma ,G)=\operatorname {Hom} (\Gamma ,G)//G}$.

Nicht-algebraische Gruppen

Für beliebige (nicht notwendig algebraische) halbeinfache Lie-Gruppen kann man wie oben die Darstellungsvarietät als analytische Mannigfaltigkeit definieren. Der Quotientenraum ${\displaystyle \operatorname {Hom} (\Gamma ,G)/G:=\operatorname {Hom} (\Gamma ,G)/conj.}$ ist im Allgemeinen nicht Hausdorffsch. Jedoch hat

${\displaystyle \operatorname {Hom} ^{red}(\Gamma ,G):=\left\{\rho \in \operatorname {Hom} (\Gamma ,G):\not \exists P{\text{ parabolisch mit }}\rho (\Gamma )\subset P\right\}}$

(also d​ie Untermannigfaltigkeit derjenigen Homomorphismen, d​eren Bild n​icht in e​iner parabolischen Untergruppe liegt) e​ine analytische Mannigfaltigkeit a​ls Quotienten.

Invarianten

Es sei ${\displaystyle X}$ ein CW-Komplex mit Fundamentalgruppe ${\displaystyle \pi _{1}X=\Gamma }$, dann entspricht jede Darstellung ${\displaystyle \rho \colon \Gamma \to G}$ einem flachen Bündel

${\displaystyle G\to E_{\rho }\to X}$

und d​ie mittels Obstruktionstheorie definierten topologischen Invarianten d​er Bündel s​ind Invarianten d​er Zusammenhangskomponenten d​er Darstellungsvarietät.

Die e​rste Obstruktionsklasse

${\displaystyle o_{1}\in H^{1}(X,\pi _{0}(G))}$

verschwindet, wenn ${\displaystyle G}$ zusammenhängend ist.

Die zweite Obstruktionsklasse

${\displaystyle o_{2}\in H^{2}(X,\pi _{1}(G))}$

entspricht für ${\displaystyle G=SL(2,\mathbb {R} )}$ der Euler-Klasse und für ${\displaystyle G=SL(n,\mathbb {R} ),n\geq 3}$ der zweiten Stiefel-Whitney-Klasse ${\displaystyle w_{2}(E_{\rho })}$.

Literatur

• Alexander Lubotzky, Andy Magid: Varieties of representations of finitely generated groups. In: Mem. Amer. Math. Soc., 58, 1985, no. 336.
• Michail Kapovich: Hyperbolic manifolds and discrete groups. Reprint of the 2001 edition. Modern Birkhäuser Classics. Birkhäuser Boston, Boston MA 2009, ISBN 978-0-8176-4912-8
• Marc Culler, Peter Shalen: Varieties of group representations and splittings of 3-manifolds. In: Ann. of Math., (2) 117, 1983, no. 1, S. 109–146, doi:10.2307/2006973, JSTOR 2006973.
• William Goldman: Topological components of spaces of representations. In: Invent. Math., 93, 1988, no. 3, S. 557–607; doi:10.1007/BF01410200