Charaktervarietät

In d​er Mathematik s​ind Charaktervarietäten e​in wichtiges Hilfsmittel i​n Gruppentheorie, Topologie u​nd Geometrie.

Definition

Es sei ${\displaystyle \Gamma }$ eine endlich erzeugte Gruppe, ${\displaystyle G}$ eine Lie-Gruppe und

${\displaystyle Hom(\Gamma ,G)}$

die Darstellungsvarietät. Die Gruppe ${\displaystyle G}$ wirkt auf ${\displaystyle Hom(\Gamma ,G)}$ durch Konjugation, d. h. für ${\displaystyle g\in G,\rho \in Hom(\Gamma ,G)}$ und ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$ ist

${\displaystyle g.\rho (\gamma ):=g\rho (\gamma )g^{-1}}$.

Der Quotientenraum ${\displaystyle Hom(\Gamma ,G)/G}$ ist im Allgemeinen keine algebraische Menge. Man benutzt deshalb Geometrische Invariantentheorie und betrachtet den GIT-Quotienten

${\displaystyle X(\Gamma ,G):=Hom(\Gamma ,G)//G}$.

Sein Koordinatenring i​st per Definition d​es GIT-Quotienten isomorph zu

${\displaystyle \mathbb {C} \left[Hom(\Gamma ,G)\right]^{G}\subset \mathbb {C} \left[Hom(\Gamma ,G)\right]}$,

dem Unterring der unter Konjugation mit Elementen ${\displaystyle G}$ invarianten Funktionen aus dem Koordinatenring ${\displaystyle \mathbb {C} \left[Hom(\Gamma ,G)\right]}$.

Koordinatenring

Wenn ${\displaystyle G}$ eine reduktive Gruppe ist, dann ist der Koordinatenring ${\displaystyle \mathbb {C} \left[Hom(\Gamma ,G)\right]^{G}}$ endlich erzeugt (Satz von Nagata), der GIT-Quotient ${\displaystyle X(\Gamma ,G)}$ also eine (nicht notwendig irreduzible) algebraische Varietät.

Für ${\displaystyle G=SL(n,\mathbb {C} )}$ wird der Koordinatenring

${\displaystyle \mathbb {C} \left[Hom(\Gamma ,SL(n,\mathbb {C} ))\right]^{SL(n,\mathbb {C} )}}$

von d​en Spurfunktionen

${\displaystyle I_{\rho }\colon \rho \to Spur(\rho (\gamma )}$

für ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$ erzeugt[1], die Punkte der Charaktervarietät entsprechen also den Charakteren von ${\displaystyle \Gamma }$, was auch die Namensgebung erklärt.

Explizite Beschreibung

Man bezeichne mit

${\displaystyle Hom(\Gamma ,G)^{*}\subset Hom(\Gamma ,G)}$

die Vereinigung aller abgeschlossenen Orbiten der ${\displaystyle G}$-Wirkung. Dies ist eine abgeschlossene Teilmenge und der Quotientenraum

${\displaystyle X(\Gamma ,G):=Hom(\Gamma ,G)^{*}/G}$

ist e​in Hausdorff-Raum.[2] Er w​ird als Charaktervarietät bezeichnet, obwohl e​r im Allgemeinen k​eine algebraische Varietät s​ein muss. Im Fall komplexer reduktiver Gruppen stimmt d​iese Definition m​it der obigen Definition a​ls GIT-Quotient überein.

Für ${\displaystyle G=SL(n,\mathbb {C} )}$ ist ein Orbit der ${\displaystyle G}$-Wirkung genau dann abgeschlossen, wenn die entsprechenden Darstellungen halbeinfach sind. Bekanntlich sind halbeinfache Darstellungen genau dann konjugiert, wenn sie identische Charaktere haben.

Grundlegende Eigenschaften

• Wenn ${\displaystyle G}$ kompakt ist, dann ist ${\displaystyle Hom^{*}(\Gamma ,G)=Hom(\Gamma ,G)}$ und ${\displaystyle X(\Gamma ,G)=Hom(\Gamma ,G)/G}$.
• Wenn ${\displaystyle G}$ eine reelle algebraische Gruppe ist, dann ist ${\displaystyle X(\Gamma ,G)}$ eine semialgebraische Menge.
• Wenn ${\displaystyle G}$ eine komplexe reduktive Gruppe ist, dann ist ${\displaystyle X(\Gamma ,G)}$ eine (nicht notwendig irreduzible) algebraische Varietät.

Beispiele

• Für die Gruppe der ganzen Zahlen ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ist ${\displaystyle X(\mathbb {Z} ,SU_{2})\cong \left[-2,2\right]}$ keine Varietät.
• Satz von Fricke-Vogt: Für die freie Gruppe ${\displaystyle F_{2}}$ mit zwei Erzeugern ${\displaystyle X,Y}$ ist

${\displaystyle X(F_{2},SL_{2}\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} ^{3}}$

parametrisiert durch die Spuren ${\displaystyle Tr(\rho (X)),Tr(\rho (Y)),Tr(\rho (XY))}$.

• ${\displaystyle X(\mathbb {Z} ,SL_{3}\mathbb {C} )}$ ist isomorph zu ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$, der Isomorphismus bildet die Äquivalenzklasse einer Darstellung ${\displaystyle \rho }$ auf ${\displaystyle (Tr(\rho (1)),Tr(\rho (1)^{-1})\in \mathbb {C} ^{2}}$ ab.
• ${\displaystyle X(F_{2},SL_{3}\mathbb {C} )}$ ist eine verzweigte 2-fache Überlegerung von ${\displaystyle \mathbb {C} ^{8}}$, sie wird von den Spuren ${\displaystyle Tr(\rho (X^{\pm 1})),Tr(\rho (Y^{\pm 1})),Tr(\rho (X^{\pm 1}Y^{\pm 1}))}$ und ${\displaystyle Tr(\rho (\left[X,Y\right]))}$ parametrisiert, wobei ${\displaystyle Tr(\rho (\left[X,Y\right]))}$ mit den acht anderen Parametern durch ein quadratisches Polynom zusammenhängt.[3]
• Für die Knotengruppe ${\displaystyle \Gamma }$ eines hyperbolischen Knotens ist die den Charakter der hyperbolischen Monodromie enthaltende Komponente von ${\displaystyle X(\Gamma ,SL_{2}\mathbb {C} )}$ eine komplexe Kurve, d. h. komplex 1-dimensional.
• Für die Knotengruppe des Acherknotens besteht ${\displaystyle X(\Gamma ,SL_{2}\mathbb {C} )}$ aus zwei Komponenten: die eine enthält die hyperbolische Monodromie, die andere besteht nur aus reduziblen Darstellungen.

Literatur

• Alexander Lubotzky, Andy Magid: Varieties of representations of finitely generated groups. Mem. Amer. Math. Soc. 58 (1985), no. 336
• Igor Dolgachev: Lectures on invariant theory. London Mathematical Society Lecture Note Series, 296. Cambridge University Press, Cambridge, 2003. ISBN 0-521-52548-9
• Adam Sikora: SL_n-character varieties as spaces of graphs. Trans. Amer. Math. Soc. 353 (2001), no. 7, 2773–2804. online (pdf)
• Adam Sikora: Character varieties. Trans. Amer. Math. Soc. 364 (2012), no. 10, 5173–5208. online (PDF; 441 kB)

Einzelnachweise

1. Claudio Procesi: The invariant theory of n×n matrices. Advances in Math. 19 (1976), no. 3, 306–381. online (PDF)
2. Richardson, Slodowy: Minimum vectors for real reductive algebraic groups. J. London Math. Soc. (2) 42 (1990), no. 3, 409–429. online (PDF)
3. Sean Lawton: Generators, relations and symmetries in pairs of 3×3 unimodular matrices. J. Algebra 313 (2007), no. 2, 782–801. online (pdf)