Conways Spiel des Lebens

Das Spiel des Lebens (englisch Conway’s Game of Life) ist ein vom Mathematiker John Horton Conway 1970 entworfenes Spiel, basierend auf einem zweidimensionalen zellulären Automaten. Es ist eine einfache und bis heute populäre Umsetzung der Automaten-Theorie von Stanisław Marcin Ulam.

Figur: Gleiter

Das Spielfeld

Das Spielfeld ist in Zeilen und Spalten unterteilt und im Idealfall unendlich groß. Jedes Gitterquadrat ist ein zellulärer Automat (Zelle), der einen von zwei Zuständen einnehmen kann, welche oft als lebendig und tot bezeichnet werden. Zunächst wird eine Anfangsgeneration von lebenden Zellen auf dem Spielfeld platziert. Jede lebende oder tote Zelle hat auf diesem Spielfeld genau acht Nachbarzellen, die berücksichtigt werden (Moore-Nachbarschaft). Die nächste Generation ergibt sich durch die Befolgung einfacher Regeln.

Das Spiel kann manuell auf einem Stück Papier oder mit Computerhilfe simuliert werden. Da ein reales Spielfeld immer einen Rand hat, muss das Verhalten dort festgelegt werden. Man kann sich den Rand zum Beispiel durch tote Zellen belegt denken, so dass manche Gleiter ihre Bewegungsrichtung dort ändern. Eine andere Möglichkeit ist ein Torus-förmiges Spielfeld, bei dem alles, was das Spielfeld nach unten verlässt, oben wieder hereinkommt und umgekehrt, und alles, was das Spielfeld nach links verlässt, rechts wieder eintritt und umgekehrt.

Anstatt auf einer quadratisch gerasterten Ebene kann die Simulation auch auf einer sechseckig gerasterten Ebene erfolgen. Dann beträgt die Zahl der Nachbarzellen nicht acht, sondern sechs. Es gibt auch dreidimensionale Game of Life-Simulationen.

Eine weitere Variationsmöglichkeit ist, mehr als zwei mögliche Zustände der Gitterzellen einzuführen.

Die Spielregeln

Die Folgegeneration wird für alle Zellen gleichzeitig berechnet und ersetzt die aktuelle Generation. Der Zustand einer Zelle (lebendig oder tot) in der Folgegeneration hängt nur vom aktuellen Zustand der Zelle selbst und den aktuellen Zuständen ihrer acht Nachbarzellen ab.

Die von Conway zu Anfang verwendeten Regeln sind:

Eine tote Zelle mit genau drei lebenden Nachbarn wird in der Folgegeneration neu geboren.

rot: Tote Zelle, die in der nächsten Generation geboren wird

grün: Lebende Nachbarn der Zelle

Lebende Zellen mit weniger als zwei lebenden Nachbarn sterben in der Folgegeneration an Einsamkeit.

Eine lebende Zelle mit zwei oder drei lebenden Nachbarn bleibt in der Folgegeneration am Leben.

Lebende Zellen mit mehr als drei lebenden Nachbarn sterben in der Folgegeneration an Überbevölkerung.

magenta: Lebende Zelle, die betrachtet wird

grün: Lebende Nachbarn der Zelle

Mit diesen vier einfachen Regeln entsteht aus bestimmten Anfangsmustern im Laufe des Spiels eine Vielfalt komplexer Strukturen. Einige bleiben unverändert, andere oszillieren und wieder andere wachsen oder vergehen. Manche Strukturen, sogenannte Gleiter, bewegen sich auf dem Spielfeld fort. Sogar logische Funktionen wie UND und ODER lassen sich durch bestimmte Anfangsmuster simulieren. Damit können dann sogar komplexe Funktionen der Schaltungslogik und digitalen Rechnertechnik nachgebaut werden.

Es existieren andere Varianten des Game of Life, bei denen Conways Regeln geändert oder ergänzt werden. Beispiele sind im Abschnitt Abweichende Regeln aufgeführt.

Sichtweisen

Die Beschäftigung mit Game of Life kann unter verschiedenen Sichtweisen erfolgen, wie etwa:

Das Verhalten als Gesamtes:
Für einige Leute ist es interessant, was für ein Verhalten bestimmte Regelwelten aufweisen, zum Beispiel ob sie explodieren oder implodieren, ob sie langsam schrumpfen oder ob sie langsam „aushärten“.
Der biologische Aspekt: Game of Life als Mikrokosmos:
Für andere ist Game of Life wie der Blick in ein Mikroskop. Man beobachtet die kleinen Strukturen, die man abzählen und bewerten kann. Hier freut man sich somit besonders, wenn eine neue „Lebensform“ auftaucht. Explodierende, expandierende oder gar „aushärtende“ Regelwelten sind hierbei uninteressant.
Der ökonomische Aspekt: Game of Life als Modell des Computerhandels der Finanzmärkte:
Gemäß der Algorithmen des Computerhandels kauft man ein Produkt, wenn einige, aber nicht zu viele und nicht zu wenige Nachbarn es ebenfalls bereits besitzen. Wenn zu wenige es haben, verkauft man, bevor es ganz wertlos wird. Wenn zu viele es haben, verkauft man, bevor die Blase platzt.
Der chemische Aspekt: Energie und Materie:
Wenn man die Häufigkeit und die Komplexität der Game-of-Life-Objekte mit dem Aufwand an Energie und Zwischenschritten vergleicht, die benötigt werden, um eine bestimmte chemische Verbindung zu erhalten, so kann man die unterschiedlichen Life-Objekte auf unterschiedliche energetische Niveaus setzen. Objekte, die bei jedem Ablauf vorkommen, wären dann auf dem Niveau von Wasser, Kohlenstoffdioxid und Natriumchlorid. Objekte, wie Unruh(2) und Fontäne, wären dann beispielsweise auf einem Niveau wie Salzsäure und Natronlauge, und Objekte wie die Segler (LWSS, MWSS und HWSS), die auch zufällig entstehen können, wären schon auf dem Niveau relativ komplexer Verbindungen.
Der physikalische Aspekt: Kräfte und Anfangswertproblem:
Selbst die einfachsten physikalischen Gesetze können beliebig komplexes Verhalten als Gesamtes zeigen. Rein deterministisch/mechanisch können (beliebig) kleine Abweichungen der Startbedingung zu ganz unterschiedlichen Ergebnissen führen. Somit lässt sich ein Anfangswertproblem formulieren, worauf chaotisches Verhalten folgt. Es folgen Endzustände, Schwingungen, Wachstum, aber auch dauerhaft unregelmäßiges Verhalten.
Game of Life als Automat:
Es gibt den Typus des Game-of-Life-Interessierten, der hauptsächlich an der Konstruktion von Automaten interessiert ist, also solchen Strukturen, die wie eine Maschine oder Fabrik arbeiten. Es gibt einen Verband aus Strukturen, der entfernt Ähnlichkeit mit einem Rollfeld eines Flughafens hat, auf dem ständig Flugzeuge starten, und dazwischen die Fahrzeuge, die den Betrieb aufrechterhalten, zu ihren Stationen fahren.
Game of Life als Rechnermodell: Es ist möglich, mithilfe komplexer Startmuster eine Universelle Turing-Maschine und deren Eingabe zu modellieren. Conway’s Game of Life ist damit Turing-vollständig. Theoretisch lässt sich jedes algorithmische Problem, das man mit einem Computer lösen kann, auch allein durch Game of Life berechnen.
Game of Life in der Theoretischen Informatik als Entscheidungsproblem:
Man kann zeigen, dass es keinen Algorithmus gibt, der als Eingabe zwei beliebige Game-of-Life-Konfigurationen erhält und in allen Fällen entscheiden kann, ob eine Konfiguration aus der anderen entstehen kann oder nicht. Diese Frage ist damit unentscheidbar.

Die Objekte

Auf dem Spielfeld zeigt sich mit jedem Generationsschritt eine Vielfalt komplexer Strukturen. Einige typische Objekte lassen sich aufgrund eventuell vorhandener besonderer Eigenschaften in Klassen einteilen: sie verschwinden, bleiben unverändert, verändern sich periodisch (oszillieren), bewegen sich auf dem Spielfeld fort, wachsen unaufhörlich usw.

Statische Objekte

Statische Objekte bilden eine Klasse von Objekten, die sich im Spielverlauf ohne äußere Einflüsse nicht mehr verändern, also "stabile Zellsysteme" darstellen.

Beispiele für statische Objekte:

Oszillierende Objekte

Hierbei handelt es sich um Objekte, die sich nach einem bestimmten Schema periodisch verändern, d. h. nach einer endlichen, festen Anzahl von Generationen wieder den Ausgangszustand erreichen.

Die einfachste zyklische Konfiguration ist eine horizontale oder vertikale Reihe von drei lebenden Zellen. Beim horizontalen Fall wird direkt ober- und unterhalb der Zelle in der Mitte eine lebende Zelle geboren, während die äußeren beiden Zellen sterben; so erhält man eine vertikale Dreierreihe.

Eine Reihe von zehn horizontal oder vertikal aneinander hängenden Zellen entwickelt sich sogar zu einem Objekt, das einen Zyklus von fünfzehn Generationen hat, dem Pulsator.

Beispiele oszillierender Objekte sind:


Name	Blinker	Uhr	Kröte	Bipole	Tripole	Pulsator	Tümmler	Oktagon
Zyklen	2	2	2	2	2	15	14	5

Der Pulsator wird im englischen, aufgrund eines Zyklus aus 15 Schritten, Pentadecathlon genannt und ist ein Gleiter-Fresser. Der Tümmler, auch Stehaufmännchen genannt, wird im englischen als Tumbler bezeichnet.

Raumschiffe und Gleiter

Raumschiffe sind (zumeist oszillierende) Objekte, die eine feste Richtung verfolgen. Sie sind ein Beispiel der Emergenz-Erscheinungen des Spiels des Lebens; die wenigen Regeln des Spiels sagen nichts über Formen aus, die sich unendlich weit fortbewegen, und doch entstehen die Raumschiffe wegen dieser Regeln. Man kann zwischen den diagonalen Raumschiffen (zum Beispiel Gleiter und Qualle) und den vertikalen bzw. horizontalen Raumschiffen (zum Beispiel Segler) unterscheiden.

Beispiele für Raumschiffe sind:

Gleiter
Segler(1) (LWSS) (Light-Weight Spaceship)
Segler(2) (MWSS) (Middle-Weight Spaceship)
Segler(3) (HWSS) (Heavy-Weight Spaceship)

Ablauf einer Animation dieser drei Segler

Das Hacker-Emblem nach Eric Steven Raymond ist vom Gleiter abgeleitet.

Puffer

Die Puffer kann man zu den Raumschiffen zählen, wobei die Puffer im Gegensatz zu den Raumschiffen eine Spur von Objekten hinterlassen. Bei diesen Objekten kann es sich durchaus um andere komplexe Objekte, wie Gleiter oder Segler handeln.

Andere Objekte

Daneben gibt es noch Anfangskonfigurationen, die innerhalb endlich vieler Zeitschritte ein leeres Spielfeld erzeugen.

Ein gutes Beispiel hierfür ist folgendes Startmuster
Das Muster erzeugt innerhalb von 54 Generationen eine leere Welt

Eine weitere Möglichkeit sind völlig chaotische oder explodierende Muster. Das f-Pentomino (auch r-Pentomino genannt) bewirkt trotz seiner Einfachheit ein Wachstum, das über 1102 Generationen chaotisch erscheint, bis das Spielfeld vom 1103. Schritt an eine oszillierende Struktur bildet. (Ausgenommen ein paar wegfliegende Gleiter. Das Beispiel zeigt ein begrenztes Feld, in dem alles außerhalb immer tot ist.)

r-Pentomino
Verlauf

Ein anderes solches Objekt ist die Zahl 42 (mit jeder Ziffer auf 3 mal 5 Kästchen), die nach 350 Schritten einige statische und einige oszillierende Objekte sowie 6 Gleiter produziert.[1]

Entwicklung aus einer zufälligen Anfangsbedingung

Die folgende Animation zeigt die ersten 1500 Entwicklungsschritte auf einem 100×100 torusförmigen Spielfeld. Die Anfangskonfiguration ist zufällig mit 31,25 % lebenden Zellen. Jeder Zustand wird 0,1 Sekunden angezeigt. Jedes Pixel steht für genau eine Zelle.

Conways Herausforderung

Conway bot demjenigen einen Preis von 50 US-Dollar, der nachweisen konnte, dass mit Conways Spiel des Lebens unbegrenztes Wachstum möglich ist. Da für einen eindeutigen Beweis ein geordnetes Wachstum notwendig ist, waren die chaotischen explosionsartigen Vermehrungen ungeeignet.

Die erste Lösung für dieses Problem – eine so genannte Gleiterkanone, die in regelmäßigen Abständen einen Gleiter hervorbringt – wurde 1970 von dem amerikanischen Mathematiker Bill Gosper präsentiert. Der Gleiter erzeugt innerhalb von vier Generationen eine verschobene Kopie von sich selbst, und somit kann die Kanone an derselben Stelle den nächsten Gleiter erzeugen.

Es ist möglich, aus Kollisionen von Gleitern eine Gleiterkanone zu erzeugen. Damit kann die Bewegungsrichtung der Gleiter geändert werden, und es besteht die theoretische Möglichkeit, selbstreplizierende Automaten zu konstruieren.

GOSPERs Gleiterkanone mit Gleiter-Fresser

In der oberen Bildhälfte befindet sich die Gleiter-Kanone, die in 30 Generationen einmal pulsiert und dabei einen Gleiter erzeugt. Im rechten, unteren Teil des Bildes befindet sich der Gleiter-Fresser, der in 15 Generationen einmal pulsiert und bei jeder zweiten Pulsation einen Gleiter zerstört. Die Gleiter bewegen sich von der Bildmitte nach rechts unten. Links unten läuft der Generationen-Zähler mit. In der Bildbeschreibung befinden sich Links zu dem die Animation erzeugenden GW-BASIC-Programm und zu den Startdaten.

Mittlerweile wurden unüberschaubar viele Konstellationen gefunden, die ähnlich wie die einfache Gleiterkanone laufend Zellen produzieren. Neben Gleitern und verschiedenen Seglern sind sogar komplexe Kanonen gefunden worden, die selbst Gleiterkanonen „feuern“. Zusammen mit anderen nützlichen Gebilden, wie sich fortbewegende Kanonen, Gleiter-Reflektoren oder Relays (Gebilde, die etwa Gleiter für einige Generationen bremsen), bilden sie Werkzeuge für das Entwerfen komplexer Automaten wie etwa der Turingmaschine. Dies beweist, dass Conway’s Game of Life Turing-vollständig ist.[2]

Im Jahr 2012 wurde erstmals eine Konstellation vorgestellt, die in der Lage ist, ein Spielfeld zu simulieren, das den Regeln von Conways Spiel des Lebens entsprach (Selbstsimulation).[3][4]

Abweichende Regeln

Kopierwelt

Zyklus 112

Man kann sich abweichende Regeln zum klassischen Game of Life vorstellen. Das folgende Regelwerk definiert beispielsweise ein sich reproduzierendes System, eine „Kopierwelt“.

Todes-Regel: Eine Zelle mit genau 0, 2, 4, 6 oder 8 lebenden Nachbarn stirbt (oder bleibt tot).
Geburts-Regel: 1, 3, 5 oder 7 lebende Nachbarn erzeugen (oder erhalten) eine lebende Zelle.

Diese Regeln kann man auch als „Anzahl Modulo 2“ zusammenfassen.

Wenn man in dieser Kopierwelt zum Beispiel eine Struktur in Form des Buchstaben H zeichnet, so werden lauter identische H-Buchstaben erzeugt. Bei größeren Ausgangsmustern sorgt dieses Regelwerk sogar selbständig für ein Auseinanderrücken der vorher kollidierenden Kopien. Die Kopien der Ausgangsmuster treten bei Zyklennummern auf, die ein Vielfaches von 4 sind. Bei größeren Ausgangsmustern treten sie aber nicht bei jedem Vielfachen von 4 auf. Wendet man diese Regel auf ein Feld der Größe 15×15 an, so sterben nach der 15. Generation immer alle Zellen aus.

Um sich beim Vergleich verschiedener Regelwerke eine umständliche Umschreibung der Regeln zu ersparen, existiert eine Kurzschreibweise für die Regeln von Game of Life: Man setzt zunächst (in aufsteigender Reihenfolge) die Ziffern der Anzahl von Nachbarn aneinander, bei der eine Zelle überlebt, und anschließend, durch einen Schrägstrich abgetrennt, die Ziffern, die den Werten entsprechen, bei der eine Zelle geboren wird. Die klassische Conway-Welt wird also durch 23/3 beschrieben, die oben beschriebene Kopierwelt durch 1357/1357. Es wurden auch Regeln für mehrdimensionale Räume entwickelt. Hier entstehen aber natürlich Darstellungsprobleme. Sehr dicht an das Verhalten nach dem klassischen 23/3-Regelwerk von Conway (zwei oder drei Nachbarn erhalten eine Zelle, drei Nachbarn erzeugen eine neue Zelle) kommen die Regelwerke 34/3 und 35/3. Die Anzahl aller möglichen Regelwerke ergibt sich aus der Anzahl der Möglichkeiten, Ziffern zwischen 0 und 8 vor und nach dem Schrägstrich auszuwählen. Insgesamt sind daher ${2^{9}}\cdot {2^{9}}=2^{18}=262144$ Regelwerke denkbar, von denen die meisten jedoch nur wenige, triviale Eigenschaften aufweisen. Einige der interessanteren Regelwerke werden im Folgenden beschrieben.

Die 3/3-Welt

Bisher ist für dieses Regelwerk nur ein statisches Objekt bekannt, welches sich nicht aus anderen statischen Objekten zusammensetzt. Dieses Objekt ist der auch im 23/3-Regelwerk statische 2×2-Block:

Quadro

Da jede Zelle dieses Blocks genau 3 Nachbarn hat, ist er trivialerweise ein statisches 3/3-Objekt. Die Zwei-Nachbarn-Regel des klassischen 23/3-Regelwerk von Conway spielt für den Block also keine Rolle.

In der 3/3-Welt gibt es zum Beispiel diese oszillierenden Objekte:


Pedal		Kegel		Unruh(1)		Strudel

Außer Unruh(1) sind diese Objekte unter allen möglichen Regelwerken bis 345678/3 statisch, insbesondere auch bei den unten besprochenen 34/3- und 35/3-Regelwerken. Unruh(1) funktioniert unter allen Regelwerken, in denen 3/3 enthalten ist und 0/0124 nicht (damit also auch in der Conway-Welt, dem 23/3-Regelwerk). Solche Objekte kann man als Wanderer bezeichnen.

Die meisten anderen Objekte können in der 3/3-Welt allerdings nicht überleben, so dass sich das Spielfeld bei zufälligen Startbedingungen meistens innerhalb von wenigen Generationen bis auf ein paar wenige Teile komplett leert.

Die 13/3-Welt

Dies ist eine Regelwelt mit wenigen oszillierenden Objekten.

Wenigstens die drei folgenden, oszillierenden Objekte sind bekannt:


Pingpong	O1G3(2) (Zweites oszillierendes Objekt in der 1G3-Welt, auch als O13-3(2) schreibbar)
Pseudo-Gleiter

Als eine Variante der 13/3-Regelwelt kann man die 135/35-Regelwelt betrachten.

Die 34/3-Welt

Oszillierende Objekte der 34/3-Welt:

Strange

Frosch

O4G3(3)

O4G3(4)

Pedal

Kegel

Unruh(1)

Strudel

Während für Strange und Frosch das 34/3-Regelwerk wichtig ist, sind Pedal, Kegel, Unruh(1) und Strudel auch in der 3/3-Welt oszillierend.

Die 35/3-Welt

In der 35/3-Welt gibt es zum Beispiel diese drei sich bewegenden Objekte:

Schwimmer(1) und Schwimmer(2)

35/3-Segler

Ebenso wie in der 34/3-Regelwelt kommen die oszillierenden Objekte Pedal, Kegel, Unruh(1) und Strudel in der 35/3-Regelwelt vor.

Die 2/3-Welt

Diese Regelwelt hätte eigentlich an die erste Stelle gehört, da sie ein wichtiges oszillierendes Objekt enthält, das eigentlich der 23/3-Welt, also Conways Life zugeordnet wird, zu der es kompatibel ist:


O2-3(1)		Unruh(2)

Damit existieren wenigstens drei oszillierende Objekte, inklusive Unruh(1), die fälschlicherweise exklusiv Conway’s Game of Life (23/3) zugeordnet werden.

Die 24/3-Welt

statische Objekte:

oszillierende Objekte:


O24-3(1)		O24-3(3)		Seegurke		O24-3(4)

Die 245/3-Welt

Neben den oszillierenden Objekten, die auch in der 24/3-Regelwelt vorkommen, existieren hier auch noch ein paar andere oszillierende Objekte:


O245-3(1)	O245-3(2)

Das besondere aber ist das Vorkommen eines sich bewegenden 7-Zyklen-Objekts, das in seiner Art der Bewegung einer Qualle ähnelt:

Qualle

Die 125/36-Welt

In der 125/36-Regelwelt existieren diese beiden oszillierenden Strukturen:


O125-36(1)	O125-36(2)

Antiwelten

Zu jeder Regelwelt gibt es eine Antiregelwelt, in der Form, dass alles invertiert ist. Also alle Zellen, die sonst tot sind, leben, und alle Zellen, die sonst leben, sind tot. Dies zeigt sich im Ablauf durch ein schwarzes Feld, auf dem die Strukturen weiß sind.

Um eine solche Antiregelwelt zu erzeugen, kann man die Regeln in Form eines Schalterfeldes darstellen:

	0	1	2	3	4	5	6	7	8
G
T

G steht für Geburt.
T steht für Tod.

Die folgende Belegung bedeutet, dass bei drei Nachbarn eine tote Zelle lebendig wird und eine lebende Zelle bei keinem oder einem sowie bei vier bis acht Nachbarn stirbt und ansonsten der Zustand einer Zelle unangetastet bleibt:

Conway-Regeln
	0	1	2	3	4	5	6	7	8
G
T

Wenn man die Zustände des Schalterfelds um 180° rotiert (nicht spiegelt oder kippt), erhält man die Antiregeln:

Anti-Conway-Regeln
	0	1	2	3	4	5	6	7	8
G
T

Alternative Regel-Bezeichnung

Regel-Bezeichnung		Kommentar
3/3	G3
13/3	1G3
23/3	2G3	Conways Original-Game of Life
34/3	4G3
35/3	5G3
236/3	26G3	explodierend, teilweise mit den Strukturen aus 23/3
135/35	1G35	erweitertes 13/3
12345/3	1245G3	eine Welt, in der ein sich ausbreitendes, labyrinthartiges Muster entsteht
1357/1357	G1357	ein Kopiersystem, wobei sich aus einfachen kleinen Strukturen komplexe Muster entwickeln können
24/35	—
0123/01234	—	eine blinkende Fleckenwelt

Anti-Regeln		Kommentar
01234678/0123478	6G0123478	Anti-Conway
01234678/0123678	4G0123678	Anti-4G3
02468/02468	G02468	Anti-Kopiersystem

Ineinander übergehende Regelwelten

Denkbar sind Game of Life-Simulationen, bei denen abgegrenzte Bereiche (zum Beispiel linke und rechte Seite) jeweils einer anderen Regelwelt unterzogen werden. Dabei könnte man sich bewegende Wanderer, die in beiden Regelwelten existieren können, aufspüren.

Weblinks

Commons: Game of Life – Album mit Bildern, Videos und Audiodateien

Einzelnachweise

Conway’s game of life (in html 5) auf Math Fail
Paul Rendell: A Turing Machine in Conway’s Game of Life, extendable to a Universal Turing Machine. Abgerufen am 9. Januar 2011.
Turtles, all the way down. Or gliders. Or glider turtles. Blogpost über Selbstsimulation mit Video
otcametapixel.blogspot.de
Uri Wilensky.: NetLogo Models Library: Cellular Automata / Life. Abgerufen am 27. November 2018 (englisch).

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[1] Conway’s game of life (in html 5) auf Math Fail

[goltm-2] Paul Rendell: A Turing Machine in Conway’s Game of Life, extendable to a Universal Turing Machine. Abgerufen am 9. Januar 2011.

[3] Turtles, all the way down. Or gliders. Or glider turtles. Blogpost über Selbstsimulation mit Video

[4] tcametapixel.blogspot.de

[5] Uri Wilensky.: NetLogo Models Library: Cellular Automata / Life. Abgerufen am 27. November 2018 (englisch).