Halbeinfache Darstellung

Halbeinfache Darstellungen s​ind ein Begriff a​us dem mathematischen Gebiet d​er Darstellungstheorie.

Definition

Eine Darstellung heißt halbeinfach, w​enn sie d​ie direkte Summe irreduzibler Darstellungen ist.

Beispiele

• Jede Darstellung einer endlichen Gruppe ist halbeinfach.
• Jede Darstellung einer kompakten Lie-Gruppe ist halbeinfach.
• Jede Darstellung einer halbeinfachen Lie-Gruppe ist halbeinfach.
• Die durch

${\displaystyle \rho (n)=\left({\begin{array}{cc}1&n\\0&1\end{array}}\right)}$

gegebene Darstellung ${\displaystyle \rho \colon \mathbb {Z} \to SL(2,\mathbb {C} )}$ ist reduzibel, aber nicht halbeinfach.

• Sei ${\displaystyle \Gamma =\langle A,B\mid ABA=BAB\rangle }$ die Knotengruppe der Kleeblattschlinge und ${\displaystyle \xi }$ eine primitive 12-te Einheitswurzel mit ${\displaystyle \xi ^{4}-\xi ^{2}+1=0}$ . Die durch

${\displaystyle \rho (A)=\left({\begin{array}{cc}\xi &0\\0&\xi ^{-1}\end{array}}\right),\rho (B)=\left({\begin{array}{cc}\xi &1\\0&\xi ^{-1}\end{array}}\right)}$

gegebene Darstellung ${\displaystyle \rho \colon \Gamma \to SL(2,\mathbb {C} )}$ ist reduzibel, aber nicht halbeinfach.

Siehe auch

• Halbeinfacher Modul

Literatur

• Serge Lang, Algebra
• Nathan Jacobson, Basic Algebra II