Cartan-Kriterium

Das a​uf Élie Cartan zurückgehende Cartan-Kriterium i​st ein mathematischer Satz a​us der Theorie d​er Lie-Algebren, d​er ein Kriterium für d​ie Auflösbarkeit e​iner Lie-Algebra darstellt. Das s​ich daraus ergebende Kriterium für Halbeinfachheit w​ird oft ebenfalls Cartan-Kriterium genannt. Manche Autoren sprechen d​aher genauer v​om Cartan-Kriterium für Auflösbarkeit u​nd vom Cartan-Kriterium für Halbeinfachheit.

Definitionen

Für einen endlichdimensionalen Vektorraum bezeichne die Spur des Endomorphismus auf und die allgemeine lineare Lie-Algebra über , das ist die Lie-Algebra aller Endomorphismen mit der Kommutatorklammer.

Für eine Lie-Algebra bezeichne die von allen Kommutatoren erzeugte Lie-Unteralgebra von . Das kann man iterieren, indem man definiert. Eine Lie-Algebra heißt bekanntlich auflösbar, falls es ein mit gibt. Schließlich sei die adjungierte Darstellung, die jedes auf den Endomorphismus abbildet.

Cartan-Kriterium für Auflösbarkeit

Es seien ein endlichdimensionaler Vektorraum über einem Körper der Charakteristik 0 und eine Lie-Unteralgebra von . Dann sind folgende Aussagen äquivalent:[1][2][3][4]

  • ist auflösbar.
  • für alle und .

Korollar zum Satz

Für eine endlichdimensionale Lie-Algebra über einem Körper der Charakteristik 0 sind folgende Aussagen äquivalent:

  • ist auflösbar.
  • für alle und .

Ist nämlich auflösbar, so auch das homomorphe Bild und wegen folgt die genannte Bedingung aus obigem Satz. Ist umgekehrt die Bedingung erfüllt, so folgt aus obigem Satz, dass auflösbar ist. Da der Kern der adjungierten Darstellung das Zentrum der Lie-Algebra ist und dieses als abelsche Lie-Algebra trivialer Weise auflösbar ist, folgt insgesamt die Auflösbarkeit von .

Verwendet man die Definition der Killing-Form , so kann die Bedingung in obigem Korollar auch kurz als geschrieben werden.

Cartan-Kriterium für Halbeinfachheit

Für eine endlichdimensionale Lie-Algebra über einem Körper der Charakteristik 0 sind folgende Aussagen äquivalent:[5][6]

Bemerkungen

Das oben vorgestellte Cartan-Kriterium für Auflösbarkeit wird dazu verwendet, das ebenfalls auf Cartan zurückgehende Kriterium für Halbeinfachheit zu beweisen, es wird aber nicht von allen Autoren so bezeichnet. Die unten genannten Lehrbücher von Humphreys oder Hilgert-Neeb nennen das Kriterium für Auflösbarkeit einfach das Cartan-Kriterium und schreiben das Halbeinfachheitskriterium nicht ausdrücklich Cartan zu, während beispielsweise die Autoren Sagle-Walde oder Knapp die hier vorgestellten Satzbezeichnungen verwenden.

Die Kriterien gelten nicht im Falle positiver Charakteristik des Grundkörpers. Ist für eine Primzahl und die Witt-Algebra mit kanonischer Basis und Produkt , so ist eine einfache Lie-Algebra, deren Killing-Form 0 ist.[7] Damit ist für beide Kriterien ein Gegenbeispiel: Wäre das Cartan-Kriterium für Auflösbarkeit hier richtig, wäre die Bedingung wegen des Verschwindens der Killing-Form trivialer Weise erfüllt und die Algebra müsste auflösbar sein, sie ist aber einfach. Wäre das Cartan-Kriterium für Halbeinfachheit hier gültig, so müsste die Killing-Form der einfachen und somit halbeinfachen Algebra nicht-degeneriert sein, sie verschwindet aber identisch.

Einzelnachweise

  1. Joachim Hilgert, Karl-Hermann Neeb: Lie-Gruppen und Lie-Algebren, Vieweg, 1999, ISBN 3-528-06432-3
  2. James E. Humphreys: Introduction to Lie Algebras and Representation Theory, Berlin, New York: Springer-Verlag (1972), ISBN 978-0-387-90053-7, Kapitel II, 4.3: Cartan's Criterion
  3. Arthur A. Sagle, Ralph Walde: Introduction to Lie groups and Lie algebras, Academic Press (1973), ISBN 0-080-87366-9, Satz 12.16
  4. Anthony W. Knapp: Lie Groups Beyond an Introduction, Birkhäuser (2002), ISBN 0-8176-4259-5, Satz 1.46.
  5. Arthur A. Sagle, Ralph Walde: Introduction to Lie groups and Lie algebras, Academic Press (1973), ISBN 0-080-87366-9, Satz 12.17
  6. Anthony W. Knapp: Lie Groups Beyond an Introduction, Birkhäuser (2002), ISBN 0-8176-4259-5, Satz 1.45
  7. Dmitriy Rumynin: Modular Lie Algebras, Lecture Notes 2010
This article is issued from Wikipedia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. The authors of the article are listed here. Additional terms may apply for the media files, click on images to show image meta data.