Untermatrix

Eine Untermatrix, a​uch Teilmatrix o​der Streichungsmatrix,[1] i​st in d​er Mathematik e​ine Matrix, d​ie durch Streichen v​on Zeilen u​nd Spalten a​us einer gegebenen Matrix entsteht. Eine Untermatrix e​iner quadratischen Matrix, b​ei der d​ie gleichen Zeilen u​nd Spalten gestrichen werden, w​ird auch a​ls Hauptuntermatrix bezeichnet. Untermatrizen werden u​nter anderem z​ur Definition d​er Minoren u​nd der Kofaktoren e​iner Matrix verwendet. Sie spielen e​ine wichtige Rolle i​m laplaceschen Entwicklungssatz d​er Determinante e​iner Matrix.

Eine Untermatrix entsteht durch Streichen bestimmter Zeilen und Spalten einer Matrix, hier der zweiten Zeile und der vierten Spalte.

Definition

Ist ${\displaystyle A=(a_{ij})\in K^{m\times n}}$ eine Matrix über dem Körper ${\displaystyle K}$, dann ist eine Untermatrix ${\displaystyle A_{IJ}}$ von ${\displaystyle A}$ eine Matrix, die dadurch entsteht, dass die Zeilen der Indexmenge ${\displaystyle I\subseteq \{1,\ldots ,m\}}$ und die Spalten der Indexmenge ${\displaystyle J\subseteq \{1,\ldots ,n\}}$ aus ${\displaystyle A}$ gestrichen werden, das heißt:

${\displaystyle A_{IJ}=(a_{ij})_{i\in \{1,\ldots ,m\}\setminus I,j\in \{1,\ldots ,n\}\setminus J}}$

Die Untermatrix ${\displaystyle A_{IJ}}$ besitzt dann ${\displaystyle m-|I|}$ Zeilen und ${\displaystyle n-|J|}$ Spalten. Im Fall einelementiger Indexmengen schreibt man auch kurz ${\displaystyle A_{ij}}$ statt ${\displaystyle A_{\{i\}\{j\}}}$. Falls ${\displaystyle m=n}$ und ${\displaystyle I=J}$ sind, wird eine Untermatrix

${\displaystyle A_{I}=A_{II}}$   bzw.   ${\displaystyle A_{i}=A_{ii}}$

auch a​ls Hauptuntermatrix bezeichnet. Gelegentlich w​ird eine Untermatrix a​uch dadurch notiert, d​ass die Zeilen u​nd Spalten, a​us denen s​ie besteht, a​ls Indizes angegeben werden. Man schreibt dann:[2]

${\displaystyle A_{IJ}=(a_{ij})_{i\in I,j\in J}}$

Im Folgenden w​ird jedoch erstere Notationsvariante verwendet. Untermatrizen, d​ie aus aufeinanderfolgenden Zeilen- u​nd Spaltenindizes aufgebaut sind, bilden e​inen Block e​iner Matrix.

Beispiel

Gegeben s​ei die reelle Matrix

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{3\times 4}}$,

dann i​st die Untermatrix

${\displaystyle A_{23}=A_{\{2\}\{3\}}={\begin{pmatrix}1&2&4\\9&10&12\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2\times 3}}$

diejenige Matrix, d​ie durch Streichung d​er zweiten Zeile u​nd der dritten Spalte entsteht.

Verwendung

Jede Matrix ${\displaystyle A\in K^{m\times n}}$ mit Rang ${\displaystyle r}$ besitzt eine quadratische Untermatrix ${\displaystyle A_{IJ}\in K^{r\times r}}$, sodass

${\displaystyle \operatorname {rang} (A_{IJ})=\operatorname {rang} (A)}$

gilt u​nd ihre Determinante

${\displaystyle \operatorname {det} (A_{IJ})\neq 0}$

ist.[3] Eine solche Untermatrix kann beispielsweise mit Hilfe des gaußschen Eliminationsverfahrens gefunden werden. Die Determinante einer quadratischen Untermatrix wird auch als Minor oder Unterdeterminante bezeichnet. Die Determinante einer Hauptuntermatrix heißt entsprechend Hauptminor. Die Determinanten der Untermatrizen ${\displaystyle A_{ij}}$ einer quadratischen Matrix ${\displaystyle A}$ werden mit alternierenden Vorzeichen versehen Kofaktoren

${\displaystyle {\tilde {a}}_{ij}=(-1)^{i+j}\operatorname {det} (A_{ij})}$

der Matrix genannt. Mit Hilfe der Kofaktormatrix ${\displaystyle {\tilde {A}}=({\tilde {a}}_{ij})}$ kann die Inverse der Matrix ${\displaystyle A}$ explizit angegeben werden. Untermatrizen spielen auch eine wichtige Rolle im laplaceschen Entwicklungssatz der Determinante einer Matrix und im Satz von Binet-Cauchy zur Bestimmung der Determinante des Produkts zweier Matrizen.

Literatur

• Siegfried Bosch: Lineare Algebra. Springer, 2006, ISBN 3-540-29884-3.
• Christoph W. Überhuber: Computer-Numerik 2. Springer, 1995, ISBN 3-642-57794-6.

Einzelnachweise

1. Christian Karpfinger: Höhere Mathematik in Rezepten. Springer Verlag, Berlin 2014, ISBN 978-3-642-37865-2, S. 95.
2. Christoph Überhuber: Computer-Numerik 2. S. 212.
3. Bosch: Lineare Algebra. S. 146.

Weblinks

• T. S. Pigolkina: Submatrix. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 978-1-55608-010-4 (englisch, online).
• Eric W. Weisstein: Submatrix. In: MathWorld (englisch).
• Mathprof: Submatrix notation. In: PlanetMath. (englisch)