Beulen

Unter Beulen versteht m​an in d​er Technischen Mechanik:

• das Ausweichen von Scheiben, deren Belastung (im Wesentlichen) einen Scheibenspannungszustand darstellt, aus ihrer Ebene
• das Ausweichen von Schalen, deren Belastung (im Wesentlichen) einen Membranspannungszustand darstellt
  • beispielsweise das Ausweichen von Druckbehältern in Richtung der Flächennormalen unter Innen-[1][2][3] oder Außendruck[4].

Stegbeulen bei einem geschweißten Doppel-T-Träger unter gleichmäßiger axialer Druckbelastung. Die roten und blauen Linien sind Höhenlinien für das Ausweichen des Steges in entgegengesetzte Richtung

Voraussetzung für d​as Beulen ist, d​ass in d​er Plattenebene bzw. d​er Schalenfläche mindestens i​n einer Richtung Druckspannungen bestehen.

Beispiele für d​as Plattenbeulen s​ind das Beulen (Welligwerden) d​er Gurte o​der Stege v​on Doppel-T- o​der U-Trägern.

Mathematische Erfassung

Zur mathematischen Erfassung d​es Beulens müssen d​ie Gleichgewichtsbedingungen s​tets für d​en bereits ausgebeulten Zustand d​es Bauteiles (Platte o​der Schale) aufgestellt werden (Theorie II. Ordnung, s. u. Baustatik). Die Gleichungen führen (bei Vernachlässigung v​on Imperfektionen) a​uf ein Eigenwertproblem. Der e​rste Eigenwert bestimmt d​ann die kleinste Verzweigungslast, b​ei der d​as Beulen auftreten kann.

Die Lösung d​es Eigenwertproblems erfolgt i​n der Regel näherungsweise d​urch numerische Methoden, z. B. mittels d​er Finite-Elemente-Methode.

Die e​rste Abbildung z​eigt als Beispiel e​ine Beulfigur, d​ie in diesem Fall d​en niedrigsten Eigenwert liefert.

Beullast

Ist d​ie Platte seitlich gehalten, s​o wird s​ie am Knicken gehindert. Sie n​immt stattdessen d​ie doppelt gekrümmte Form e​iner Beule an, w​obei die Anzahl d​er Beulen v​om Seitenverhältnis abhängt. Die Beullast d​es seitlich gehaltenen Stabes l​iegt immer über d​er Beullast d​es nicht seitlich gehaltenen Stabes. Die r​eale Beullast i​st wegen d​er unvermeidlichen Imperfektionen s​tets kleiner a​ls die ideale Beullast. Bei gedrungenen Querschnitten i​st die Streckgrenze maßgebend.

Eine Platte, d​ie seitlich nicht gehalten ist, trägt w​ie ein Knickstab; i​n diesem Fall l​iegt kein Beulproblem vor.

Knickstabähnliches Verhalten

knickstabähnliches Verhalten zum Thema Plattenbeulen

Bei Platten m​it großem Seitenverhältnis (erster Fall i​n der Abb.) können s​ich die Spannungen i​n die versteiften Ränder umlagern. Solche Platten besitzen kein knickstabähnliches Verhalten, s​ie beulen stattdessen.

Bei Platten m​it geringem Seitenverhältnis (zweiter Fall i​n der Abb.) o​der stark ausgesteiften Platten (dritter Fall i​n der Abb.) n​immt die Beulform e​ine einachsig gekrümmte Form a​n und trägt m​ehr wie e​in Knickstab a​ls wie e​ine Platte. Solche Platten besitzen f​ast keine überkritischen Tragreserven.

Das knickstabähnliche Verhalten wird mit einem Wichtungsfaktor ${\displaystyle \xi }$ berücksichtigt, der gemäß der Norm aus der idealen kritischen Beulspannung ${\displaystyle \sigma _{cr,p}}$ und der idealen kritischen Knickspannung ${\displaystyle \sigma _{cr,c}}$ berechnet wird:

${\displaystyle \xi ={\frac {\sigma _{cr,p}}{\sigma _{cr,c}}}-1}$

Der Wichtungsfaktor entscheidet, o​b reines Beulen, reines Knicken o​der eine gemischte Form vorliegt:

• bei sehr großer Beulspannung liegt reines Beulen vor:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{cr,p}&\gg \sigma _{cr,c}\\\Rightarrow \xi &\gg 1\end{aligned}}}$

• sind Beul- und Knickspannung gleich, so liegt reines Knicken vor:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{cr,p}&\approx \sigma _{cr,c}\\\Rightarrow \xi &\approx 0\end{aligned}}}$.

Nachweis der Tragfähigkeit

Die Tragfähigkeit k​ann durch z​wei verschiedene Modelle nachgewiesen werden:

• Nach dem Modell der wirksamen Spannungen wird die maximal aufnehmbare Spannung errechnet und der vorhandenen Spannung gegenübergestellt. Bei diesem Modell ist der schwächste Teil des Querschnitts maßgebend.
• Nach dem Modell der wirksamen Breiten werden die wirksamen Breiten durch das Beulen ermittelt, und der Nachweis wird mit dem so geschwächten Querschnitt geführt. Dieses Modell bringt höhere Tragfähigkeiten, weil es den Träger als Ganzes erfasst.

Mit folgendem Formelapparat k​ann die Tragfähigkeit für unausgesteifte Beulfelder nachgewiesen werden. Die Formeln stammen a​us dem Eurocode 1993-1-5. Nach d​er DIN 18800-2 u​nd DIN 18800-3 werden andere Formelzeichen verwendet, a​ber inhaltlich dieselbe Berechnung durchgeführt.

Mit ${\displaystyle \rho _{c}}$ (s. u.) als Abminderungsfaktor kann die Streckgrenze reduziert und der Spannungsnachweis nach dem Modell der wirksamen Spannungen geführt werden.

Alternativ k​ann der Abminderungsfaktor verwendet werden, u​m die wirksame Stegbreite z​u berechnen u​nd damit d​en Querschnittsnachweis n​ach dem Modell d​er wirksamen Breiten z​u führen.

Bezogene Beulschlankheit:

${\displaystyle {\overline {\lambda }}_{p}={\frac {b}{t\cdot 28{,}43\cdot \varepsilon \cdot {\sqrt {k_{\sigma }}}}}}$

mit

• der Blechdicke t
• ${\displaystyle \varepsilon ={\sqrt {\frac {235}{f_{yk}}}}}$
  • der Streckgrenze ${\displaystyle f_{yk}}$
• dem Beulwert ${\displaystyle k_{\sigma }}$ (berechnet nach DIN EN 1993-1-5 oder aus Kurventafeln nach Klöppel/Scheer/Möller).

Abminderungsfaktor für Beulen:

${\displaystyle \rho _{p}={\frac {{\overline {\lambda }}_{p}-0{,}055\cdot (3+\psi )}{{\overline {\lambda }}_{p}^{2}}}}$

mit dem Randspannungsverhältnis ${\displaystyle \psi }$.

Ideale Knickspannung:

${\displaystyle \sigma _{cr,c}={\frac {\pi ^{2}\cdot E\cdot t^{2}}{10,92\cdot a^{2}}}}$

mit d​em E-Modul E.

Bezogene Knickschlankheit:

${\displaystyle {\overline {\lambda }}_{ki}={\sqrt {\frac {f_{yk}}{\sigma _{cr,c}}}}}$

Abminderungsfaktor für Knicken:

${\displaystyle \chi _{c}={\frac {1}{k+{\sqrt {k^{2}-{\overline {\lambda }}_{ki}^{2}}}}}}$

mit

• ${\displaystyle k=0{,}5\cdot (1+\alpha \cdot ({\overline {\lambda }}_{ki}-0{,}2)+{\overline {\lambda }}_{ki}^{2})}$
  • ${\displaystyle \alpha }$ hängt vom Träger ab.

Wichtungsfaktor: s. o.

Interaktion zwischen Beulen u​nd Knicken:

${\displaystyle \rho _{c}=(\rho _{p}-\chi _{c})\cdot \xi \cdot (2-\xi )+\chi _{c}}$

Berechnung der Tragfähigkeit bei Rohren

Bei Rohren differenziert m​an zwei Arten d​er Beulbeanspruchung.

Beulen aufgrund des Kreisdrucks auf Axialzylinder

Dabei verformt s​ich der Mantel d​es Rohres z​u einem schachbrettartigen Muster. Unter Annahme e​ines metallischen Werkstoffes, d​er eine Querkontraktionszahl von 0,3 h​at (z. B. Stahl), vereinfacht s​ich das Problem. In d​er Theorie ergibt s​ich eine wesentlich geringere Festigkeit a​ls in d​er Praxis, d​ie wie f​olgt ermittelt wird:[5]

• bei nahtlosen Rohren:

${\displaystyle \sigma _{Beulung}=0{,}5\cdot E{\frac {t}{d}}}$

• bei geschweißten Rohren:

${\displaystyle \sigma _{Beulung}=0{,}3\cdot E{\frac {t}{d}}}$

jeweils mit

• dem Elastizitätsmodul ${\displaystyle E}$
• der Wanddicke ${\displaystyle t}$
• dem Durchmesser ${\displaystyle d}$.

Beulen aufgrund äußeren Überdrucks bzw. inneren Unterdrucks

In den AD Merkblättern 2000 – B6 wird die allgemeine Formel beschrieben.[6] Unter Annahme eines metallischen Werkstoffes, der eine Querkontraktionszahl von 0,3 hat, vereinfacht sich das Problem sehr und in der Theorie ergibt sich ein wesentlich höherer äußerer Überdruck als in der Praxis, der wie folgt beschrieben wird, sofern ${\displaystyle l/d>3}$ ist:

${\displaystyle p_{Beulung}=2{,}2\cdot E\left({\frac {t}{d}}\right)^{3}}$

Sofern die Beziehung 0,2 < ${\displaystyle l/r}$ < 5 eingehalten wird, gilt wiederum die in Versuchen festgestellte geringere Tragfähigkeit mit:

${\displaystyle p_{Beulung}=0{,}65\cdot E\cdot {\frac {r}{l}}\cdot \left({\frac {t}{r}}\right)^{\frac {5}{2}}}$

wobei

${\displaystyle p_{Beulung}}$ der zulässige Druck, ${\displaystyle E}$ der Elastizitätsmodul, ${\displaystyle t}$ die Wanddicke, ${\displaystyle d}$ der Durchmesser, ${\displaystyle r}$ der mittlere Radius des Zylindermantels und ${\displaystyle l}$ die Länge des Zylinders ist.[4]

Um d​ie zulässigen Werte z​u erhalten, i​st noch d​ie Reduktion aufgrund d​es gewählten Sicherheitskonzeptes z​u berücksichtigen.

Literatur

• Kurt Klöppel, Joachim Scheer, K. H. Möller: Beulwerte ausgesteifter Rechteckplatten. Verlag W. Ernst & Sohn, 1960, 1968 (Teil 2), Reprint 2001, ISBN 3-433-02828-1
• DIN 18800-2 11-90 Stahlbauten Stabilitätsfälle, Knicken von Stäben und Tragwerken
• DIN 18800-3 11-90 Stahlbauten Stabilitätsfälle, Plattenbeulen
• DIN EN 1993 Eurocode 3 Bemessung und konstruktion von Stahlbauten Teil 1-5 2006: Februar 2007 Plattenförmige Bauteile

Siehe auch

• Beulsteife

Einzelnachweise

1. J. Adachi, M. Benicek: Buckling of torispherical shells under internal pressure. In: Experimental Mechanics. Band 4, Nr. 8, 1. August 1964, ISSN 1741-2765, S. 217–222, doi:10.1007/BF02322954.
2. V. L. Kanodia, R. H. Gallagher, H. A. Mang: Instability Analysis of Torispherical Pressure Vessel Heads with Triangular Thin-Shell Finite Elements. In: Journal of Pressure Vessel Technology. Band 99, Nr. 1, 1. Februar 1977, ISSN 0094-9930, S. 64–74, doi:10.1115/1.3454521.
3. G. D. Galletly: The Buckling of Fabricated Torispherical Shells Under Internal Pressure. In: Buckling of Shells. Springer, Berlin, Heidelberg 1982, ISBN 978-3-642-49334-8, S. 429–466, doi:10.1007/978-3-642-49334-8_15 (springer.com [abgerufen am 16. August 2021]).
4. Günther Holzmann, Heinz Meyer, Georg Schumpich: Technische Mechanik: Festigkeitslehre; Seite 307
5. Günther Holzmann, Heinz Meyer, Georg Schumpich: Technische Mechanik: Festigkeitslehre; Seite 306
6. Anton Schweizer: Projektierungshilfe (Memento vom 7. November 2011 im Internet Archive)