Auswahlsatz von Kuratowski und Ryll-Nardzewski

Der Auswahlsatz v​on Kuratowski u​nd Ryll-Nardzewski, englisch Kuratowski-Ryll Nardzewski Selection Theorem, i​st ein Lehrsatz d​es mathematischen Gebiets d​er Analysis, d​er auf d​ie beiden polnischen Mathematiker Kazimierz Kuratowski u​nd Czesław Ryll-Nardzewski zurückgeht. Der Satz behandelt d​ie Frage, u​nter welchen Bedingungen e​iner mengenwertigen Abbildung zwischen e​inem Messraum u​nd einem topologischen Raum u​nter Berücksichtigung v​on Messbarkeitsgesichtspunkten e​ine Auswahlabbildung zugehört.[1]

Formulierung des Satzes

Anknüpfend a​n die Darstellung v​on Leszek Gasiński u​nd Nikolaos S. Papageorgiou lässt s​ich der genannte Auswahlsatz folgendermaßen formulieren:[2]

Gegeben seien ein Messraum ${\displaystyle \Omega }$ und ein topologischer Raum ${\displaystyle X}$.

Weiter gegeben sei eine messbare mengenwertige Abbildung ${\displaystyle F\colon \Omega \to {{\mathcal {P}}(X)\setminus \{\emptyset \}}}$ derart, dass für jedes ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ die zugeordnete Teilmenge ${\displaystyle F(\omega )}$ in ${\displaystyle X}$ abgeschlossen ist.

Ist dabei ${\displaystyle X}$ ein polnischer Raum, so existiert stets eine zugehörige messbare Auswahlabbildung ${\displaystyle f\colon \Omega \to X}$.

Anwendung

Aufbauend a​uf den Auswahlsatz v​on Kuratowski u​nd Ryll-Nardzewski lässt s​ich ein weiteres Resultat gewinnen, welches d​ie Frage d​er Messbarkeit v​on mengenwertigen Abbildungen betrifft. Es besagt folgendes:[3]

Gegeben seien ein Messraum ${\displaystyle \Omega }$ und ein polnischer Raum ${\displaystyle X}$ und weiter eine mengenwertige Abbildung ${\displaystyle F\colon \Omega \to {{\mathcal {P}}(X)}}$,

welche jedem ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ eine in ${\displaystyle X}$ abgeschlossene, nichtleere Teilmenge ${\displaystyle F(\omega )}$ zuordnet.

Dann sind die folgenden beiden Aussagen gleichwertig:

(a) ${\displaystyle F}$ ist messbar.

(b) Es gibt eine Funktionenfolge von messbaren Funktionen ${\displaystyle f_{1},f_{2},f_{3},\ldots \;\colon \Omega \to X}$, welche die folgenden beiden Bedingungen erfüllt:

(b1) Für ${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$ ist ${\displaystyle f_{n}}$ stets eine zu ${\displaystyle F}$ gehörige Auswahlabbildung.

(b2) Für jedes ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ gilt ${\displaystyle F(\omega )={\overline {\{f_{n}(\omega )\mid n=1,2,3,\ldots \}}}}$.[A 1]

Verwandter Satz

Mit d​em Auswahlsatz v​on Kuratowski u​nd Ryll-Nardzewski direkt verwandt i​st ein anderer (bekannter) Auswahlsatz, d​er die gleiche Frage u​nter Stetigkeitsgesichtspunkten s​tatt unter Messbarkeitsgesichtspunkten behandelt u​nd nach seinem Entdecker, d​em US-amerikanischen Mathematiker Ernest Arthur Michael, a​ls Auswahlsatz v​on Michael (englisch Michael Selection Theorem) bezeichnet wird.[4][5]

Anknüpfend a​n die Darstellung v​on Winfried Kaballo lässt s​ich dieser Satz v​on folgendermaßen formulieren:[6]

Gegeben seien ein topologischer Raum ${\displaystyle \Omega }$ und ein topologischer Vektorraum ${\displaystyle X}$.

Weiter gegeben sei eine unterhalbstetige mengenwertige Abbildung ${\displaystyle F\colon \Omega \to {{\mathcal {P}}(X)\setminus \{\emptyset \}}}$ derart, dass für jedes ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ die zugeordnete Teilmenge ${\displaystyle F(\omega )}$ in ${\displaystyle X}$ zugleich abgeschlossen und konvex ist.

Ist dabei ${\displaystyle \Omega }$ ein parakompakter Hausdorffraum und ist zugleich ${\displaystyle X}$ ein Fréchet-Raum, so existiert stets eine zugehörige stetige Auswahlabbildung ${\displaystyle f\colon \Omega \to X}$.

Folgerung

Aus d​em Auswahlsatz v​on Michael gewinnt m​an auf direktem Wege e​in Resultat, welches für d​ie Frage d​er Existenz v​on Lösungen v​on Gleichungen bedeutsam ist. Es g​eht auf e​ine in 1952 v​on Robert G. Bartle u​nd Lawrence M. Graves vorgelegte wissenschaftliche Arbeit zurück u​nd wird a​uch als Satz v​on Bartle-Graves (englisch Bartle-Graves Theorem) genannt. An Winfried Kaballo anknüpfend k​ann dieser Satz w​ie folgt angegeben werden:[7]

Gegeben seien zwei Banachräume ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle Q}$, wobei ${\displaystyle Q}$ ein mit der Quotientennorm versehener Faktorraum von ${\displaystyle E}$ sein soll.

Die zugehörige Quotientenabbildung sei ${\displaystyle \sigma \colon E\rightarrow Q}$.

Dann gilt:

Zu jeder reellen Zahl ${\displaystyle r>1}$ gibt es eine linear homogene, stetige, rechtsinverse Abbildung ${\displaystyle R\colon Q\to E}$ derart, dass für ${\displaystyle y\in Q}$ stets die Ungleichung

${\displaystyle \|R(y)\|\leq r\cdot \|y\|}$

erfüllt ist.

Erläuterungen

• Ein topologischer Raum ${\displaystyle \Omega }$ ist vermöge seiner Borel-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {B}}(\Omega )}$ stets auch ein Messraum.
• Für gegebene Grundmengen ${\displaystyle \Omega }$ und ${\displaystyle X}$ und eine mengenwertige Abbildung ${\displaystyle F\colon \Omega \to {{\mathcal {P}}(X)\setminus \{\emptyset \}}}$ ist eine zu ${\displaystyle F}$ gehörige Auswahlabbildung (englisch selector, selection) oder auch Auswahlabbildung von ${\displaystyle F}$ dadurch gekennzeichnet, dass für alle ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ die Beziehung ${\displaystyle f(\omega )\in F(\omega )}$ erfüllt ist. Eine solche Auswahlabbildung ist also nichts weiter als ein Element der Produktmenge ${\displaystyle \prod _{\omega \in \Omega }F(\omega )}$.[A 2]
• Für einen Messraum ${\displaystyle \Omega }$ mit zugehöriger Σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {\Sigma }}(\Omega )}$ und einen topologischen Raum ${\displaystyle X}$ wird eine mengenwertige Abbildung ${\displaystyle F\colon \Omega \to {\mathcal {P}}(X)}$ als messbar bezeichnet, wenn für jede in ${\displaystyle X}$ gelegene offene Teilmenge ${\displaystyle U\subseteq X}$ die zugehörige Teilmenge ${\displaystyle F^{-}(U):=\left\{\omega \in \Omega \mid F(\omega )\cap U\neq \emptyset \right\}}$ die Beziehung ${\displaystyle F^{-}(U)\in {\mathcal {\Sigma }}(\Omega )}$ erfüllt.[A 3]
• Für zwei topologische Räume ${\displaystyle \Omega }$ und ${\displaystyle X}$ wird eine mengenwertige Abbildung ${\displaystyle F\colon \Omega \to {\mathcal {P}}(X)}$ als unterhalbstetig bezeichnet, wenn für jede in ${\displaystyle X}$ gelegene offene Teilmenge ${\displaystyle U\subseteq X}$ die zugehörige zugehörige Teilmenge ${\displaystyle F^{-}(U)}$ in ${\displaystyle \Omega }$ offen ist.
• Der Auswahlsatz von Michael beruht nicht zuletzt darauf, dass in einem parakompakten Hausdorffraum bezüglich jeder beliebigen offenen Überdeckung stets eine stetige Zerlegung der Eins existiert.[A 4]
• In einer häufig zitierten anderen Version des Auswahlsatzes von Michael – so auch bei Gasiński/Papageorgiou[3] – wird der topologische Vektorraum ${\displaystyle X}$ sogar als Banachraum vorausgesetzt.

Literatur

• Robert G. Bartle, Lawrence M. Graves: Mappings between function spaces. In: Transactions of the American Mathematical Society. Band 72, 1952, S. 400–413 (MR0047910).
• J. M. Borwein, Asen L. Dontchev: On the Bartle-Graves theorem. In: Proceedings of the American Mathematical Society. Band 131, 2003, S. 2553–2560 (MR1974655).
• Leszek Gasiński, Nikolaos S. Papageorgiou: Exercises in Analysis. Part 1 (= Problem Books in Mathematics). Springer-Verlag, Cham, Heidelberg, New York, Dordrecht, London 2014, ISBN 978-3-319-06175-7, doi:10.1007/978-3-319-06176-4 (MR3307732).
• Winfried Kaballo: Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie. Distributionen – lokalkonvexe Methoden – Spektraltheorie. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg 2014, ISBN 978-3-642-37793-8, doi:10.1007/978-3-642-37794-5 (MR3672798).

Anmerkungen

1. Mit dem oberen Querbalken ist die jeweilige abgeschlossene Hülle im topologischen Sinne gemeint.
2. Mit den Auswahlabbildungen verwandt sind die Auswahlfunktionen.
3. Man nennt ${\displaystyle F^{-}(U)}$ auch das schwache Urbild (englisch weak inverse image) von ${\displaystyle U}$ unter ${\displaystyle F}$.
4. Für den Beweis dieses Satzes benötigt man die Zuhilfenahme des Zorn'schen Lemmas und damit die Annahme der Gültigkeit des Auswahlaxioms. Siehe Horst Schubert: Topologie., 4. Auflage, B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, S. 83–88!

Einzelnachweise

1. Leszek Gasiński, Nikolaos S. Papageorgiou: Exercises in Analysis. Part 1. 2014, S. 643 ff.
2. Gasiński/Papageorgiou, op. cit., S. 643–644
3. Gasiński/Papageorgiou, op. cit., S. 645
4. Winfried Kaballo: Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie 2014, 198 ff.
5. Gasiński/Papageorgiou, op. cit., S. 229–230
6. Kaballo, op. cit., S. 216
7. Kaballo, op. cit., S. 197–198, 215–218