Atomare Einheiten

Die atomaren Einheiten (englisch: atomic units, au) bilden e​in natürliches Einheitensystem, d​as hauptsächlich i​n der Atom- u​nd Molekülphysik u​nd der Theoretischen Chemie benutzt wird. Die atomaren Einheiten g​ehen von d​en Eigenschaften d​es Elektrons i​m Wasserstoffatom aus.

Die atomaren Einheiten sind:[1][2]

• Länge: der Bohrsche Radius ${\displaystyle a_{0}}$ (${\displaystyle \approx 53\,\mathrm {pm} }$)
• Masse: die atomare Masseneinheit ${\displaystyle \mathrm {amu} }$ (${\displaystyle \approx 931\,\mathrm {MeV/c^{2}} }$) oder die Elektronenmasse ${\displaystyle m_{\mathrm {e} }}$ (${\displaystyle \approx 511\,\mathrm {keV/c^{2}} }$)
• Ladung: die Elementarladung ${\displaystyle e}$ (${\displaystyle \approx 1,6\cdot 10^{-19}\,\mathrm {As} }$)
• Energie: die Hartree-Energie ${\displaystyle E_{\text{h}}}$ (${\displaystyle \approx 27\,\mathrm {eV} }$)

Ebenfalls gebräuchlich:

• Drehimpuls: die Plancksche Konstante ${\displaystyle \hbar }$ (${\displaystyle \approx 6{,}6\cdot 10^{-16}\,\mathrm {eV\,s} }$)
• Zeit: die atomic time unit ${\displaystyle \mathrm {a.t.u.} ={\frac {\hbar }{E_{\text{h}}}}.}$ (${\displaystyle \approx 2,4\cdot 10^{-17}\,\mathrm {s} }$)

Der Gebrauch von atomaren Einheiten vereinfacht die Schrödingergleichung. Zum Beispiel ergibt sich der Hamilton-Operator für ein Elektron im Wasserstoffatom zu:

• in SI-Einheiten:

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{\mathrm {e} }}}\nabla ^{2}-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{r}}}$

• in atomaren Einheiten:

${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\nabla ^{2}}{2}}-{\frac {1}{r}}}$

In atomaren Einheiten ist ${\displaystyle e=m_{\mathrm {e} }=\hbar ={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}=1\,\mathrm {a.u.} }$. Die Vakuumlichtgeschwindigkeit hat den Wert ${\displaystyle 1/\alpha \approx 137\,\mathrm {a.u.} }$, wobei ${\displaystyle \alpha }$ die Feinstrukturkonstante ist. Mit CODATA 2014 wurden die SI-Einheiten für genau diese Grundeinheiten sowie für weitere 18 abgeleitete atomare Einheiten festgelegt. Die Größenordnungen lassen sich mithilfe des Bohrschen Atommodells so interpretieren, dass die Längeneinheit ${\displaystyle a_{0}}$der Radius und die Zeiteinheit ${\displaystyle \mathrm {a.t.u.} }$ die Umlaufzeit der ersten Elektronenbahn ist, sowie die Energieeinheit ${\displaystyle E_{\text{h}}}$ die doppelte Ionisierungsenergie des H-Atoms.

Werte in atomaren Einheiten sind formal dimensionslos, Größen, die in SI-Einheiten nicht dimensionslos sind, werden aber üblicherweise durch das formale „Einheitenzeichen“ a.u. gekennzeichnet (die Punkte sind Teil des Einheitenzeichens). Beispielsweise ist eine Masse von 2 a.u. das Doppelte der Elektronenmasse, während eine elektrische Feldstärke von ${\displaystyle 1\,\mathrm {a.u.} ={\frac {\hbar ^{2}}{m\cdot e\cdot a_{0}^{3}}}}$ die Feldstärke ist, die in einem Abstand von einem bohrschen Radius von einer Elementarladung herrscht.

Atomare Einheiten für magnetische Größen

Nicht eindeutig definiert sind atomare Einheiten für Größen des Magnetfeldes wie die magnetische Flussdichte ${\displaystyle B}$. Entweder gilt für eine elektromagnetischen Welle im Vakuum wie in SI-Einheiten ${\displaystyle B=E/c_{0}}$ oder wie in gaußschen Einheiten ${\displaystyle B=E}$. Dabei bezeichnet ${\displaystyle E}$ die elektrische Feldstärke und ${\displaystyle c_{0}}$ die Vakuumlichtgeschwindigkeit. Diese unterschiedlichen Festlegungen haben Auswirkungen auf alle Größen, die sich von der magnetischen Flussdichte ableiten. So entspricht etwa das Bohrsche Magneton nur in SI-basierten atomaren Einheiten ${\displaystyle 1/2\,\mathrm {a.u.} }$. Verschiedene konstante Vorfaktoren ergeben sich beim Berechnen der Intensität einer elektromagnetischen Welle aus der elektrischen Feldstärke.

Mit CODATA 2014 wurden insbesondere auch die SI-Einheiten für die atomaren Einheiten der magnetischen Flussdichte ${\displaystyle B_{\mathrm {au} }=\hbar /(a_{0}^{2}e)}$, der elektrischen Feldstärke ${\displaystyle {\vec {E}}_{\mathrm {au} }=E_{\mathrm {h} }/(a_{0}e)}$, der Geschwindigkeit ${\displaystyle v_{\mathrm {au} }=c_{0}\alpha }$ und darauf aufbauend des Bohrschen Magnetons etc. festgelegt.

Siehe auch

• Planck-Einheiten
• natürliche Einheiten

Einzelnachweise

1. Douglas Rayner Hartree: The calculation of atomic structures. Wiley, New York, NY 1957 (IX, 181 S., Das Kapitel ATOMIC UNITS ist auf S. 5 ff. zu finden).
2. Eintrag zu atomic units. In: IUPAC (Hrsg.): Compendium of Chemical Terminology. The “Gold Book”. doi:10.1351/goldbook.A00504 – Version: 2.1.6.