Abgeschrägtes Dodekaeder

Das abgeschrägte Dodekaeder (Dodecaedron simum) i​st ein Polyeder (Vielflächner), d​as zu d​en archimedischen Körpern zählt. Es s​etzt sich a​us 92 Flächen, nämlich 12 regelmäßigen Fünfecken u​nd 80 gleichseitigen Dreiecken, zusammen u​nd hat 60 Ecken s​owie 150 Kanten. Dabei bilden jeweils v​ier Dreiecke u​nd ein Fünfeck e​ine Raumecke.

3D-Ansicht eines abgeschrägten Dodekaeders (Animation)

Ausschnitt einer Raumecke des abgeschrägten Dodekaeders. Die weißen Linien begrenzen das Sehnenfünfeck (s. u.).

Die folgenden Bilder zeigen z​wei zueinander spiegelbildliche abgeschrägte Dodekaeder.

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  Spiegelvariante 1
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  Spiegelvariante 2

Der z​um abgeschrägten Dodekaeder duale Körper i​st das Pentagonhexakontaeder.

Konstruktion

Transformation eines Rhombenikosidodekaeders in ein Abgeschrägtes Dodekaeder

• Wie der Name schon andeutet, entsteht dieses Polyeder durch fortwährendes Abschrägen eines Dodekaeders, sodass am Ende zwölf (kleinere) regelmäßige Fünfecke übrigbleiben, die koinzident mit den ursprünglichen Begrenzungsflächen des Dodekaeders sind.
• Verdreht man bei einem Rhombenikosidodekaeder alle zwölf Fünfecke – die koinzident mit den Begrenzungsflächen eines umbeschriebenen Dodekaeders sind – jeweils um den gleichen bestimmten Winkel und fügt eine Diagonale in die nun verzerrten Quadrate ein, entsteht auch ein abgeschrägtes Dodekaeder.

Formeln

Körpernetz eines abgeschrägten Dodekaeders

Nachfolgend bezeichne der Term ${\displaystyle t}$ den Kosinus des kleineren Zentriwinkels ${\displaystyle \zeta }$ im Sehnenfünfeck (siehe Grafik oben rechts) mit den Seitenlängen ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle d=\varphi \,a}$ (mit ${\displaystyle d}$ sei die Diagonale im Pentagon, mit ${\displaystyle \varphi }$ die Goldene Zahl bezeichnet).

${\displaystyle t}$ ist die einzige reelle Lösung der kubischen Gleichung ${\displaystyle 8t^{3}+8t^{2}-\varphi ^{2}=0}$.

${\displaystyle t=\cos(\zeta )={\frac {1}{12}}\left({\sqrt[{3}]{44+12\varphi \,(9+{\sqrt {81\varphi -15}})}}+{\sqrt[{3}]{44+12\varphi \,(9-{\sqrt {81\varphi -15}})}}-4\right)}$ [1]

Größen eines abgeschrägten Dodekaeders mit Kantenlänge a
Volumen	${\displaystyle V={\frac {a^{3}}{6{\sqrt {1-2t}}}}\left(3{\sqrt {10\,(9t-2+(4t-1){\sqrt {5}})}}+20{\sqrt {2+2t}}\right)}$
Oberflächeninhalt	${\displaystyle A_{O}=a^{2}\left(20{\sqrt {3}}+3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}\right)}$
Umkugelradius	${\displaystyle R={\frac {a}{2}}{\sqrt {\frac {2-2t}{1-2t}}}}$
Kantenkugelradius	${\displaystyle r={\frac {a}{2{\sqrt {1-2t}}}}}$
1. Flächenwinkel (Trigon–Trigon) ≈ 164° 10′ 31″	${\displaystyle \cos \,\alpha _{1}=-{\frac {1}{3}}\left(1+4t\right)}$
2. Flächenwinkel (Pentagon–Trigon) ≈ 152° 55′ 48″	${\displaystyle \cos \,\alpha _{2}={\frac {1}{\sqrt {15}}}\left((1-2t){\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}-2{\sqrt {(1+t)(5t+(2t-1){\sqrt {5}})}}\right)}$
Flächen-Kanten-Winkel (Pentagon–Trigon) ≈ 143° 20′ 58″	${\displaystyle \cos \,\beta ={\frac {-4t}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}}$
3D-Kantenwinkel (Trigon–Trigon) ≈ 118° 8′ 12″	${\displaystyle \cos \,\gamma =-t}$
Eckenraumwinkel ≈ 1,4355 π	${\displaystyle \Omega =\,3\alpha _{1}+2\alpha _{2}-3\pi }$
Sphärizität  ≈ 0,98201	${\displaystyle \Psi ={\frac {\sqrt[{3}]{36\,\pi \,V^{2}}}{A_{O}}}}$

Anmerkungen

1. t ≈ 0,47157563

Weblinks

• Eric W. Weisstein: Abgeschrägtes Dodekaeder. In: MathWorld (englisch).