51-Eck

Das 51-Eck o​der Pentakontahenagon i​st eine geometrische Figur u​nd ein Vieleck (Polygon). Es i​st bestimmt d​urch einundfünfzig Punkte u​nd deren einundfünfzig Verbindungen namens Strecken, Seiten o​der Kanten.

Regelmäßiges 51-Eck

Regelmäßiges 51-Eck

Das regelmäßige 51-Eck ist nach Carl Friedrich Gauß und Pierre-Laurent Wantzel ein konstruierbares Polygon, da die Anzahl seiner Seiten als Produkt einer Zweierpotenz mit paarweise voneinander verschiedenen Fermatschen Primzahlen (${\displaystyle 51=2^{0}\cdot 3\cdot 17}$) darstellbar ist.

Größen

Größen eines regelmäßigen 51-Ecks
Innenwinkel	${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &={\frac {n-2}{n}}\cdot 180^{\circ }={\frac {49}{51}}\cdot 180^{\circ }\\\alpha &\approx 172{,}941176^{\circ }\end{aligned}}}$
Zentriwinkel (Mittelpunktswinkel)	${\displaystyle {\begin{aligned}\mu &={\frac {360^{\circ }}{51}}\\\mu &\approx 7{,}058823^{\circ }\end{aligned}}}$
Seitenlänge	${\displaystyle {\begin{aligned}a&=R\cdot 2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)\\a&\approx 0{,}1231218\cdot R\end{aligned}}}$
Umkreisradius	${\displaystyle {\begin{aligned}R&={\frac {a}{2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)}}\\R&\approx {\frac {a}{0{,}123121}}\end{aligned}}}$
Inkreisradius	${\displaystyle {\begin{aligned}r&=R\cdot \cos \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)\\r&\approx 0{,}998103\cdot R\end{aligned}}}$
Höhe	${\displaystyle {\begin{aligned}h&=R+r=R\cdot \left(1+\cos \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)\right)\\h&\approx 1{,}998103\cdot R\end{aligned}}}$
Flächeninhalt	${\displaystyle {\begin{aligned}A&=51\cdot R^{2}\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)\cdot \cos \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)\\A&\approx 3{,}133651\cdot R^{2}\end{aligned}}}$

Mathematische Zusammenhänge

Innenwinkel

Der Innenwinkel ${\displaystyle \alpha }$ wird von zwei benachbarten Seitenkanten eingeschlossen. In der allgemeinen Formel für regelmäßige Polygone steht die Variable ${\displaystyle n}$ für die Anzahl der Eckpunkte des Polygons. In diesem Fall ist für die Variable die Zahl ${\displaystyle 51}$ einzusetzen.

${\displaystyle \alpha ={\frac {n-2}{n}}\cdot 180^{\circ }={\frac {51-2}{51}}\cdot 180^{\circ }={\frac {49}{51}}\cdot 180^{\circ }\approx 172{,}941176^{\circ }}$

Zentriwinkel

Der Zentriwinkel oder Mittelpunktswinkel ${\displaystyle \mu }$ wird von zwei benachbarten Umkreisradien ${\displaystyle R}$ eingeschlossen. In der allgemeinen Formel ist für die Variable ${\displaystyle n}$ die Zahl ${\displaystyle 51}$ einzusetzen.

${\displaystyle \mu ={\frac {360^{\circ }}{n}}={\frac {360^{\circ }}{51}}\approx 7{,}058823^{\circ }}$

Seitenlänge und Umkreisradius

Das 51-Eck ist in einundfünfzig gleichschenklige Dreiecke sogenannte Teildreiecke teilbar. Aus der Hälfte eines solchen Teildreiecks, sprich aus einem rechtwinkligen Dreieck mit der Kathete (halbe Seitenlänge) ${\displaystyle {\frac {a}{2}}}$, der Hypotenuse (Umkreisradius) ${\displaystyle R}$ und dem halben Zentriwinkel ${\displaystyle {\frac {\mu }{2}}}$ erhält man mithilfe der Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck die Seitenlänge ${\displaystyle a}$ wie folgt

${\displaystyle {\begin{aligned}a&=R\cdot 2\cdot \sin \left({\frac {\mu }{2}}\right)\\&=R\cdot 2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)\\a&\approx 0{,}1231218\cdot R,\end{aligned}}}$

durch Umformen erhält man den Umkreisradius ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R&={\frac {a}{2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)}}\\R&\approx {\frac {a}{0{,}1231218}}\end{aligned}}}$

Inkreisradius

Der Inkreisradius ${\displaystyle r}$ ist die Höhe eines Teildreiecks, senkrecht zur Seitenlänge ${\displaystyle a}$ des 51-Ecks. Wird zur Berechnung wieder das gleiche rechtwinklige Dreieck wie bei der Seitenlänge verwendet, gilt für den Inkreisradius ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r&=R\cdot \cos \left({\frac {\mu }{2}}\right)=R\cdot \cos \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)\\r&\approx 0{,}998103\cdot R\end{aligned}}}$

Höhe

Die Höhe ${\displaystyle h}$ eines regelmäßigen 51-Ecks ergibt sich aus der Summe von Inkreisradius ${\displaystyle r}$ und Umkreisradius ${\displaystyle R}$.

${\displaystyle h=R+r=R+R\cdot \cos \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)=R\cdot \left(1+\cos \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)\right)}$

${\displaystyle h\approx 1{,}998103\cdot R}$

Flächeninhalt

Der Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet sich allgemein ${\displaystyle A_{\Delta }={\frac {1}{2}}a\cdot h_{a}}$. Für die Berechnung des 51-Ecks werden die Ergebnisse der Seitenlänge ${\displaystyle a}$ und des Inkreisradius ${\displaystyle r}$ herangezogen, worin ${\displaystyle r}$ für die Höhe ${\displaystyle h_{a}}$ eingesetzt wird.

${\displaystyle a=R\cdot 2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)}$

${\displaystyle h_{a}=r=R\cdot \cos \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)\;}$ daraus folgt für die Fläche eines Teildreiecks

${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\Delta }&={\frac {1}{2}}\cdot R\cdot 2\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)\cdot R\cdot \cos \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)\end{aligned}}\;}$ zusammengefasst ergibt sich

${\displaystyle A_{\Delta }=R^{2}\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)\cdot \cos \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)}$

${\displaystyle A_{\Delta }\approx 0{,}0614441\cdot R^{2}}$

und für d​ie Fläche d​es gesamten 51-Ecks

${\displaystyle A=51\cdot A_{\Delta }=51\cdot R^{2}\cdot \sin \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)\cdot \cos \left({\frac {180^{\circ }}{51}}\right)}$

${\displaystyle A\approx 3{,}133651\cdot R^{2}}$

Konstruktion

Wie oben in Regelmäßiges 51-Eck beschrieben, ist das 51-Eck als Konstruktion mit Zirkel und Lineal darstellbar. Da sich die Anzahl seiner Ecken aus der Multiplikation der beiden Fermatschen Primzahlen ${\displaystyle 3}$ und ${\displaystyle 17}$ ergibt, kann das regelmäßige 51-Eck durch eine Erweiterung einer bereits bekannten Konstruktion des Siebzehnecks gefunden werden. Die zwei Polygone Dreieck und Siebzehneck (deren Anzahl der Seiten entspricht den Fermatschen Primzahlen ${\displaystyle 3}$ bzw. ${\displaystyle 17}$) werden im gemeinsamen Umkreis mit einem gemeinsamen Eckpunkt übereinander gelegt, so wie dies z. B. Johannes Kepler in seinem Werk WELT-HARMONIK in der Konstruktion des Fünfzehnecks aufzeigt[1].

Als Basis für d​ie Konstruktion k​ann prinzipiell e​ine der d​rei in Siebzehneck beschriebenen Methoden ausgewählt werden. Aus Gründen d​es sehr geringen erforderlichen Aufwands w​ird die Methode v​on Duane W. DeTemple,[2] a​us dem Jahr 1991, verwendet.

Vorüberlegungen

Bild 1: Siebzehneck nach Duane W. DeTemple

In der Zeichnung des Siebzehnecks nach Duane W. DeTemple (Bild 1) ist gut erkennbar, die Mittelsenkrechte ab ${\displaystyle Q'}$ schneidet nicht nur den Kreisbogen ${\displaystyle c_{2},}$ sondern auch den Umkreis. Wird dieser Schnittpunkt als ${\displaystyle P_{34}}$ markiert, liegt er direkt neben dem Eckpunkt ${\displaystyle P_{11}.}$ Damit ergibt sich der Zentriwinkel ${\displaystyle P_{34}OP_{0}}$ mit der Winkelweite ${\displaystyle 120^{\circ }}$ eines gleichseitigen Dreiecks, der quasi zum Zentriwinkel des Siebzehnecks geometrisch im Uhrzeigersinn addiert ist.

Folglich g​ilt für

Zentriwinkel ${\displaystyle \theta _{1}}$ des Kreissektors ${\displaystyle OP_{11}P_{0}}$

${\displaystyle \theta _{1}={\frac {6}{17}}\cdot 360^{\circ }=127{,}0588235294117647\ldots ^{\circ },}$

Zentriwinkel ${\displaystyle \theta _{2}}$ des Kreissektors ${\displaystyle OP_{11}P_{34}}$

${\displaystyle \theta _{2}={\frac {6}{17}}\cdot 360^{\circ }-120^{\circ }=7{,}0588235294117647\ldots ^{\circ },}$ wegen

Zentriwinkel ${\displaystyle \mu }$ des 51-Ecks

${\displaystyle \mu ={\frac {360^{\circ }}{51}}=7{,}0588235294117647\ldots ^{\circ }}$ gilt auch

${\displaystyle \theta _{2}=\mu .}$

Somit ist die Strecke ${\displaystyle {\overline {P_{11}P_{34}}}}$ eine Seitenlänge ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle P_{34}}$ ein Eckpunkt des gesuchten 51-Ecks.

Die Position des Eckpunktes ${\displaystyle P_{34}}$ des 51-Ecks ergibt sich auch aus der Anzahl der Seitenlängen ${\displaystyle a_{A}}$ die im Zentriwinkel ${\displaystyle 120^{\circ }}$ enthalten sind

${\displaystyle a_{A}={\frac {120^{\circ }}{7{,}0588235294117647}}=17,}$ daraus folgt

ausgehend von dem nicht mitgezählten Eckpunkt ${\displaystyle P_{0},}$ entspricht der im Uhrzeigersinn 17. Eckpunkt dem Eckpunkt ${\displaystyle P_{34}}$ der gegen den Uhrzeigersinn abgezählt ist.

Der 17. Eckpunkt des 51-Ecks liegt demnach, bezogen auf die Mittelachse ${\displaystyle {\overline {QP_{0}}}}$, genau gegenüber dem 34. Eckpunkt.

Konstruktionsbeschreibung

Die, i​m Vergleich z​um Original, geänderten Bezeichner i​m Bild 2 entsprechen d​enen der h​eute üblichen.

Bild 2: Erweiterung der Konstruktion des 17-Ecks nach Duane W. DeTemple zur Konstruktion des 51-Ecks durch Ergänzung der Ecken des gleichseitigen Dreiecks (${\displaystyle P_{0}}$ - ${\displaystyle P_{17}}$ - ${\displaystyle P_{34}}$) und Abtragen der dann noch fehlenden Punkte

• Zeichnen einer Geraden ${\displaystyle x}$ (analytisch eine X-Achse) und bestimmen eines Punktes ${\displaystyle M_{1}}$ darauf, den späteren Mittelpunkt des Polygons (analytisch ein Koordinatenursprung).
• Zeichnen eines Kreises als Umkreis (analytisch ein Einheitskreis) ${\displaystyle C_{1}}$ um ${\displaystyle M_{1}}$. Es ergeben sich zwei Schnittpunkte, den Eckpunkt ${\displaystyle P_{0}}$ des Polygons und der Gegenpunkt ${\displaystyle B}$.
• Errichten der Senkrechten ${\displaystyle y}$ (analytisch eine Y-Achse) auf der Gerade ${\displaystyle x}$ in ${\displaystyle M_{1}}$. Es ergibt sich der Schnittpunkt ${\displaystyle Y_{0}}$.
• Halbierung der Strecke ${\displaystyle {\overline {BM_{1}}}}$ in ${\displaystyle M_{2}}$.
• Errichten der Senkrechte auf der Geraden in ${\displaystyle M_{2}}$. Die beiden Schnittpunkte mit ${\displaystyle C_{1}}$ sind die Eckpunkte ${\displaystyle P_{17}}$ und ${\displaystyle P_{34}}$ des 51-Ecks.
• Zeichnen des Kreisbogens ${\displaystyle C_{2}}$ um ${\displaystyle M_{2}}$ mit dem Radius ${\displaystyle {\overline {M_{2}P_{0}}}}$. Der Schnittpunkt mit der Senkrechten ist ${\displaystyle M_{Cc1}}$.
• Nun wird um ${\displaystyle M_{Cc1}}$ der erste Carlyle-Kreis ${\displaystyle C_{C1}}$ durch den Punkt ${\displaystyle Y_{0}}$ gezogen; die Schnittpunkte sind ${\displaystyle X_{Cc1,1}}$ und ${\displaystyle X_{Cc1,2}}$.
• Die Strecke ${\displaystyle {\overline {M_{1}X_{Cc1,1}}}}$ wird halbiert. Man erhält ${\displaystyle M_{Cc2}}$.
• Zeichnen eines zweiten Carlyle-Kreises ${\displaystyle C_{C2}}$ um ${\displaystyle M_{Cc2}}$ durch ${\displaystyle Y_{0}}$. Die Schnittpunkte mit x sind die Punkte ${\displaystyle X_{Cc2,1}}$ und ${\displaystyle X_{Cc2,2}}$ (letzterer nicht eingezeichnet, da er nicht weiter benötigt wird).
• Die Strecke ${\displaystyle {\overline {M_{1}X_{Cc1,2}}}}$ wird halbiert. Man erhält ${\displaystyle M_{Cc3}}$.
• Zeichnen eines dritten Carlyle-Kreises ${\displaystyle C_{C3}}$ um ${\displaystyle M_{Cc3}}$ durch ${\displaystyle Y_{0}}$. Die Schnittpunkte mit x sind die Punkte ${\displaystyle X_{Cc3,1}}$ und ${\displaystyle X_{Cc3,2}}$ (letzterer ebenfalls nicht eingezeichnet, da er nicht weiter benötigt wird).
• Abtragen der Strecke ${\displaystyle {\overline {M_{1}X_{Cc2,1}}}}$ auf ${\displaystyle y}$ von ${\displaystyle Y_{0}}$ aus ab. Man erhält Punkt ${\displaystyle Y_{1}}$
• Verbinden der Punkte ${\displaystyle Y_{1}}$ und ${\displaystyle X_{Cc3,1}}$ mit einer Strecke.
• Halbieren der Strecke ${\displaystyle {\overline {Y_{1}X_{Cc3,1}}}}$. Man erhält Punkt ${\displaystyle M_{Cc4}}$.
• Zeichnen eines vierten Carlyle-Kreises ${\displaystyle C_{C4}}$ um ${\displaystyle M_{Cc4}}$ durch ${\displaystyle Y_{0}}$. Die Schnittpunkte mit x sind die Punkte ${\displaystyle X_{Cc4,1}}$ und ${\displaystyle X_{Cc4,2}}$ (letzterer nicht beschriftet, da er nicht weiter benötigt wird).
• Zeichnen eines Kreisbogens um ${\displaystyle X_{Cc4,1}}$ mit dem Umkreisradius ${\displaystyle {\overline {M_{1}B}}}$. Die Schnittpunkte mit dem Umkreis ${\displaystyle C_{1}}$ sind die zwei zu ${\displaystyle P_{0}}$ benachbarten Punkte des 17-Ecks und damit die Punkte ${\displaystyle P_{3}}$ und ${\displaystyle P_{48}}$ des 51-Ecks.
• Durch wiederholtes Abtragen der Strecke ${\displaystyle {\overline {P_{0}P_{3}}}}$ auf dem Umkreis ${\displaystyle C_{1}}$, beginnend mit ${\displaystyle P_{0}}$, erhält man die fehlenden Punkte eines regelmäßigen 17-Ecks. Bis hierhin entspricht die Konstruktion der des 17-Ecks.
• Durch wiederholtes Abtragen der Strecke ${\displaystyle {\overline {P_{0}P_{3}}}}$ auf dem Umkreis ${\displaystyle C_{1}}$, ausgehend von den Punkten ${\displaystyle P_{17}}$ (blau) und ${\displaystyle P_{34}}$ (rot), erhält man alle noch fehlenden Eckpunkte des 51-Ecks, welche miteinander zum 51-Eck verbunden werden können.

Vorkommen

Architektur

RWE-Turm in Essen

Der Querschnitt d​es RWE-Turms i​n Essen i​st ein regelmäßiges 51-Eck.

Literatur

• H. Maser: Die Teilung des Kreises ..., Artikel 365., in Carl Friedrich Gauss' Untersuchungen über höhere Arithmetik, Verlag von Julius Springer, Berlin 1889; Göttinger Digitalisierungszentrum, Universität Göttingen; abgerufen am 15. März 2018.

Einzelnachweise

1. Johannes Kepler: WELT-HARMONIK. XLIV. Satz., Seite des Fünfzehnecks, Seite 44. In: Google Books. R. OLDENBURG VERLAG 2006, übersetzt und eingeleitet von MAX CASPAR 1939, S. 401, abgerufen am 21. Februar 2018.
2. Duane W. DeTemple: Carlyle Circles and the Lemoine Simplicity of Polygon Constructions. (Memento vom 11. August 2011 im Internet Archive). The American Mathematical Monthly, Vol. 98, No. 2 (Feb., 1991), S. 101–104 (JSTOR 2323939) aufgerufen am 16. Februar 2018.