Whitehead-Verschlingung

Die Whitehead-Verschlingung (engl.: Whitehead link) ist eine der einfachsten Verschlingungen im mathematischen Teilgebiet der Knotentheorie.

J. H. C. Whitehead, nach dem die Whitehead-Verschlingung benannt ist, benutzte sie zur Konstruktion der Whitehead-Mannigfaltigkeit,[1] mit der er seinen Beweisversuch der Poincaré-Vermutung von 1934[2] selbst korrigierte.

Eigenschaften

Die beiden Komponenten der Whitehead-Verschlingung haben Verschlingungszahl $0$ .

Sie ist homotop, aber nicht isotop zur trivialen Verschlingung. Es gibt eine Isotopie, die die beiden Komponenten der Whitehead-Verschlingung vertauscht.

Die Whitehead-Verschlingung ist der Abschluss des Zopfes $\sigma _{1}^{2}\sigma _{2}^{2}\sigma _{1}^{-1}\sigma _{2}^{-2}.\,$

Ihr Jones-Polynom ist $V(t)=t^{-{3 \over 2}}(-1+t-2t^{2}+t^{3}-2t^{4}+t^{5}).$

Ihr Komplement ist hyperbolisch.[3] Ein Fundamentalbereich im hyperbolischen Raum ist der regelmäßige ideale Oktaeder. Das hyperbolische Volumen des Komplements der Whitehead-Verschlingung ist deshalb 3.663862377…, das Volumen des regelmäßigen idealen Oktaeders.

Der invariante Spurkörper ist $\mathbb {Q} (i)$ .

Die Komplemente der Whitehead-Verschlingung und ihrer „Schwester“, der (-2,3,8)-Brezelverschlingung, sind die beiden orientierbaren, hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeiten kleinsten Volumens, deren Rand aus mindestens zwei Zusammenhangskomponenten besteht.[4]

Durch (5,1)-Dehn-Chirurgie an einer der beiden Komponenten der Whitehead-Verschlingung erhält man die Schwestermannigfaltigkeit des Achterknoten-Komplements, welche einer der beiden orientierbaren, hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeiten kleinsten Volumens mit nichtleerem Rand ist. Durch eine weitere (5,2)-Dehn-Chirurgie an der verbliebenen Komponente erhält man die Weeks-Mannigfaltigkeit, welche die (geschlossene) hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit kleinsten Volumens ist.

Weblinks

Whitehead Link im Knot Atlas
Whitehead Link in MathWorld

Einzelnachweise

Whitehead, A certain open manifold whose group is unity, Quarterly journal of mathematics 6, 1935, S. 268–279
Whitehead, Certain theorems about three-dimensional manifolds (I), Quarterly journal of mathematics, Band 5, 1934, S. 308–320
William Thurston: The Geometry and Topology of Three-Manifolds, Kapitel 3.3, online (PDF; 2,4 MB)
Ian Agol: The minimal volume orientable hyperbolic 2-cusped 3-manifolds. Proc. Amer. Math. Soc. 138 (2010), no. 10, 3723–3732.

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[1] Whitehead, A certain open manifold whose group is unity, Quarterly journal of mathematics 6, 1935, S. 268–279

[2] Whitehead, Certain theorems about three-dimensional manifolds (I), Quarterly journal of mathematics, Band 5, 1934, S. 308–320

[3] William Thurston: The Geometry and Topology of Three-Manifolds, Kapitel 3.3, online (PDF; 2,4 MB)

[4] Ian Agol: The minimal volume orientable hyperbolic 2-cusped 3-manifolds. Proc. Amer. Math. Soc. 138 (2010), no. 10, 3723–3732.