Uniforme Algebra

Uniforme Algebren werden i​m mathematischen Teilgebiet d​er Funktionalanalysis, genauer i​n der Theorie d​er Banachalgebren, untersucht. Es handelt s​ich dabei u​m abgeschlossene Unteralgebren v​on Algebren stetiger Funktionen a​uf einem Kompaktum bzgl. d​er Supremumsnorm. Da m​an letztere a​uch die uniforme Norm nennt, d​enn sie definiert d​ie Topologie d​er gleichmäßigen Konvergenz (engl. uniform convergence), erklärt s​ich der a​uch im Deutschen gebräuchliche Name uniforme Algebra.

Definitionen

Für einen kompakten Hausdorffraum ${\displaystyle X}$ sei ${\displaystyle C(X)}$ die ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Algebra der stetigen Funktionen ${\displaystyle C\rightarrow \mathbb {C} }$. ${\displaystyle C(X)}$ enthält die konstanten Funktionen und trennt nach dem Lemma von Urysohn die Punkte von ${\displaystyle X}$, das heißt zu je zwei verschiedenen Punkten ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$ gibt es eine Funktion ${\displaystyle f\in C(X)}$ mit ${\displaystyle f(x_{1})\not =f(x_{2})}$. Mit der Supremumsnorm ${\displaystyle \textstyle \|f\|_{X}:=\sup _{x\in X}|f(x)|}$ wird ${\displaystyle C(X)}$ eine kommutative Banachalgebra.

Eine uniforme Algebra auf einem kompakten Hausdorffraum ${\displaystyle X}$ ist eine ${\displaystyle \|\cdot \|}$-abgeschlossene Unteralgebra ${\displaystyle A\subset C(X)}$, die die Konstanten enthält und die Punkte von ${\displaystyle X}$ trennt.[1][2][3]

Beispiele

• Die Algebren der Form ${\displaystyle C(X)}$, ${\displaystyle X}$ kompakter Hausdorffraum, sind selbst uniforme Algebren.
• Für eine kompakte Teilmenge ${\displaystyle X\subset \mathbb {C} ^{n}}$ sei ${\displaystyle P(X)\subset C(X)}$ die Unteralgebra aller Funktionen, die auf ${\displaystyle X}$ gleichmäßig durch Polynome approximiert werden können. Ist ${\displaystyle S^{1}}$ die Einheitskreislinie, so ist ${\displaystyle P(S^{1})}$ die Diskalgebra.
• Für eine kompakte Teilmenge ${\displaystyle X\subset \mathbb {C} ^{n}}$ sei ${\displaystyle R(X)\subset C(X)}$ die Unteralgebra aller Funktionen, die auf ${\displaystyle X}$ gleichmäßig durch rationale und in einer Umgebung von ${\displaystyle X}$ holomorphen Funktionen approximiert werden können.
• Für eine kompakte Teilmenge ${\displaystyle X\subset \mathbb {C} ^{n}}$ sei ${\displaystyle A(X)\subset C(X)}$ die Unteralgebra aller Funktionen, die auf ${\displaystyle \mathrm {int} (X)}$ holomorph sind, wobei ${\displaystyle \mathrm {int} (X)}$ das Innere von ${\displaystyle X}$ bezeichne. Ist ${\displaystyle D\subset \mathbb {C} }$ der Einheitskreis, so ist ${\displaystyle A(D)}$ die Diskalgebra. Es ist also ${\displaystyle P(S^{1})\cong A(D)}$, beachte aber, dass es sich um uniforme Algebren über verschiedenen Mengen handelt.

Bemerkungen

Der Begriff der uniformen Algebra hängt ganz wesentlich von ${\displaystyle X}$ ab. Die Algebra ${\displaystyle A:=\{f\in C([0,1])\mid f(0)=f(1)\}}$ ist keine uniforme Algebra auf ${\displaystyle X=[0,1]}$, denn die Punkte 0 und 1 werden nicht durch ${\displaystyle A}$ getrennt. Aber ${\displaystyle A}$ ist isometrisch isomorph zur unifomen Algebra ${\displaystyle C(S^{1})}$ der stetigen Funktionen auf der Einheitskreislinie ${\displaystyle S^{1}}$, denn

${\displaystyle \Phi :C(S^{1})\rightarrow A,\quad (\Phi (f))(t):=f(e^{2\pi \mathrm {i} t}),\quad t\in [0,1]}$

ist offenbar e​in solcher Isomorphismus.

Ist ${\displaystyle A\subset C(X)}$ eine uniforme Algebra auf ${\displaystyle X}$, so definiert jedes ${\displaystyle x\in X}$ einen Homomorphismus

${\displaystyle \delta _{x}:A\rightarrow \mathbb {C} ,\quad \delta _{x}(f):=f(x)}$.

Da ${\displaystyle A}$ die konstante Funktion 1 enthält und ${\displaystyle \delta _{x}(1)=1}$, ist ${\displaystyle \delta _{x}\not =0}$, das heißt ${\displaystyle \delta _{x}}$ ist ein Element des Gelfand-Raums ${\displaystyle X_{A}}$. Da ${\displaystyle A}$ die Punkte von ${\displaystyle X}$ trennt, ist ${\displaystyle \delta _{x_{1}}\not =\delta _{x_{2}}}$ für zwei verschiedene Punkte ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in X}$. Daher ist

${\displaystyle \delta :X\rightarrow X_{A},\quad x\mapsto \delta _{x}}$

eine homöomorphe Einbettung, d​ie im Allgemeinen a​ber nicht surjektiv ist.

Damit ist ${\displaystyle X\cong \delta (X)\subset X_{A}}$ definitionsgemäß ein Rand der Banachalgebra und kann daher als abgeschlossene Menge des Schilow-Randes ${\displaystyle \partial _{A}}$ von ${\displaystyle A}$ aufgefasst werden. In Analogie obiger Beispiele ${\displaystyle P(X)}$ oder ${\displaystyle A(X)}$ versucht man in der Theorie der uniformen Algebren für die Restmenge ${\displaystyle X_{A}\setminus X}$ unter anderem Begriffsbildungen aus der Theorie der analytischen Funktionen zu verallgemeinern.

Spezialfälle

Eine uniforme Algebra ${\displaystyle A}$ heißt antisymmetrisch, wenn alle reellwertigen Funktionen aus ${\displaystyle A}$ konstant sind. Die oben genannte Diskalgebra ist ein Beispiel für eine antisymmetrische uniforme Algebra.

Eine uniforme Algebra ${\displaystyle A\subset C(X)}$ heißt maximal, wenn es keine echt zwischen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle C(X)}$ gelegene uniforme Algebra auf ${\displaystyle X}$ gibt. Nach dem Maximalitätssatz von Wermer ist die Diskalgebra ${\displaystyle P(S^{1})\subset C(S^{1})}$ maximal. Die Diskalgebra tritt auch als uniforme Algebra ${\displaystyle A(D)\subset C(D)}$ auf und ist offenbar nicht maximal in ${\displaystyle C(D)}$. Der Begriff der Maximalität hängt also von ${\displaystyle X}$ ab.[4]

Eine uniforme Algebra ${\displaystyle A\subset C(X)}$ heißt Dirichlet auf ${\displaystyle X}$, wenn der ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Vektorraum ${\displaystyle \mathrm {Re} (A):=\{\mathrm {Re} (f)\mid f\in A\}}$ der Realteile der Funktionen aus ${\displaystyle A}$ eine dichte Teilmenge in ${\displaystyle \mathrm {Re} (C(X))}$ ist. Ist zusätzlich ${\displaystyle X=\partial _{A}}$, so nennt man ${\displaystyle A}$ eine Dirichlet-Algebra.

Eine uniforme Algebra ${\displaystyle A\subset C(X)}$ heißt logmodular, wenn die Menge ${\displaystyle \mathrm {log} |A^{-1}|:=\{\mathrm {log} \circ |f|\mid f\in A^{-1}\}}$ der Logarithmen der Beträge von in ${\displaystyle A}$ invertierbaren Funktionen dicht in ${\displaystyle \mathrm {Re} (C(X))}$ ist. Dirichlet-Algebren sind logmodular.[5]

Verallgemeinerung

Das obige Beispiel ${\displaystyle A:=\{f\in C([0,1])\mid f(0)=f(1)\}}$ wirft die Frage auf, wann eine kommutative Banachalgebra mit Einselement isometrisch isomorph zu einer uniformen Algebra ist. Mittels der Gelfand-Transformation und der Spektralradiusformel sieht man leicht, dass eine kommutative Banachalgebra ${\displaystyle A}$ mit Einselement genau dann isometrisch isomorph zu einer uniformen Algebra ist, wenn ${\displaystyle \|a^{2}\|=\|a\|^{2}}$ für alle ${\displaystyle a\in A}$. Im unten angegebenen Lehrbuch von H. Goldmann[6] wird das sogar als Definition verwendet. Ist die Banachalgebra endlich erzeugt, so kann ihr Gelfand-Raum mit dem gemeinsamen Spektrum eines Erzeugendensystems identifiziert werden und daher mit einer kompakten Teilmenge des ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$.[7]

Diese Charakterisierung kann für eine Verallgemeinerung auf Fréchet-Algebren verwendet werden. Eine Fréchet-Algebra ${\displaystyle A}$ heißt uniforme Fréchet-Algebra, wenn die Fréchet-Raum-Topologie durch eine Folge ${\displaystyle (p_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ submultiplikativer Halbnormen gegeben ist, für die ${\displaystyle p_{n}(a^{2})=p_{n}(a)^{2}}$ gilt für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ und ${\displaystyle a\in A}$.[8]

Einzelnachweise

1. T. W. Gamelin: Uniform Algebras, Chelsea Publishing Company 1969, Kapitel II
2. S. A. Gregoryan, T. V. Tonev: Shift-invariant Uniform Algebras on Groups, Birkhäuser-Verlag 2006, ISBN 3-7643-7606-6, Kapitel 1.2: Uniform Algebras
3. J. Agler, J. E. McCarthy: Pick Interpolation and Hilbert Function Spaces, American Mathematical Society 2002, ISBN 0-8218-2898-3, Definition 13.13
4. T. W. Gamelin: Uniform Algebras, Chelsea Publishing Company 1969, Kapitel II.5: Maximal Subalgebras
5. T. W. Gamelin: Uniform Algebras, Chelsea Publishing Company 1969, Kapitel II.4: Logmodular Algebras
6. H. Goldmann: Uniform Fréchet Algebras, Elsevier Science Publishing Company, ISBN 0-444-88488-2, Definition 1.1.2
7. Winfried Kaballo: Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie, Springer-Verlag 2014, ISBN 978-3-642-37794-5, Kap. 13.4: Uniforme Algebren und gemeinsame Spektren.
8. H. Goldmann: Uniform Fréchet Algebras, Elsevier Science Publishing Company, ISBN 0-444-88488-2, Definition 4.1.2