Gemeinsames Spektrum

Das gemeinsame Spektrum von endlich vielen Elementen einer kommutativen ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Banachalgebra verallgemeinert den in der Mathematik bei der Untersuchung von Banachalgebren verwendeten Begriff des Spektrums eines Elementes.

Motivation und Definition

Sei ${\displaystyle A}$ eine ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Banachalgebra mit Einselement 1. Das Spektrum ${\displaystyle \sigma (a)}$ eines Elementes ${\displaystyle a\in A}$ ist die Menge aller komplexen Zahlen ${\displaystyle \lambda }$, für die das Element ${\displaystyle a-\lambda \cdot 1}$ nicht invertierbar ist. Bezeichnet man mit ${\displaystyle X_{A}}$ die Menge aller ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Homomorphismen ${\displaystyle A\rightarrow \mathbb {C} }$, so hat man im Falle einer kommutativen Banachalgebra die Beziehung

${\displaystyle \sigma (a)\,=\,\{\phi (a);\,\phi \in X_{A}\}\,\subset \,\mathbb {C} }$.

Diese Beziehung kann man auch auf mehrere Elemente einer Banachalgebra ausdehnen. Für eine kommutative ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Banachalgebra ${\displaystyle A}$ mit Einselement und Elementen ${\displaystyle a_{1},\ldots a_{n}\in A}$ setzt man

${\displaystyle \sigma (a_{1},\ldots ,a_{n})\,=\,\{(\phi (a_{1}),\ldots ,\phi (a_{n}));\,\phi \in X_{A}\}\,\subset \,\mathbb {C} ^{n}}$.

${\displaystyle \sigma (a_{1},\ldots ,a_{n})}$ heißt das gemeinsame Spektrum der Elemente ${\displaystyle a_{1},\ldots a_{n}}$. Hat die Banachalgebra kein Einselement, so adjungierte man ein Einselement und definiere dort das gemeinsame Spektrum.

Eigenschaften

Invertierbarkeit

Der Zusammenhang zwischen Spektrum u​nd Invertierbarkeit verallgemeinert s​ich wie f​olgt auf d​ie Situation mehrerer Elemente:

Ist ${\displaystyle A}$ eine kommutative ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Banachalgebra mit 1, ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in A}$, ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots \lambda _{n}\in \mathbb {C} }$, so sind folgende Aussagen äquivalent:

• ${\displaystyle (\lambda _{1},\ldots \lambda _{n})\notin \sigma (a_{1},\ldots ,a_{n})}$
• Es gibt ${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{n}\in A}$ mit ${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}(a_{k}-\lambda _{k})b_{k}\,=\,1}$

Kompaktheit

Das gemeinsame Spektrum ${\displaystyle \sigma (a_{1},\ldots ,a_{n})}$ von endlich vielen Elementen einer kommutativen ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Banachalgebra ist eine kompakte Teilmenge von ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$. Die Abbildung ${\displaystyle X_{A}\rightarrow \mathbb {C} ^{n},\,\phi \mapsto (\phi (a_{1}),\ldots ,\phi (a_{n}))}$ ist nach Definition der schwach-*-Topologie, die auf dem Gelfand-Raum ${\displaystyle X_{A}}$ betrachtet wird, stetig. Da der Gelfand-Raum einer Banachalgebra mit 1 kompakt ist, ergibt sich daraus die Kompaktheit des gemeinsamen Spektrums, denn stetige Bilder kompakter Mengen sind wieder kompakt.

Polynomkonvexität

Eine Banachalgebra ${\displaystyle A}$ wird per definitionem von Elementen ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in A}$ erzeugt, wenn ${\displaystyle A}$ die kleinste Unterbanachalgebra von ${\displaystyle A}$ ist, die ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ enthält.

Für eine Teilmenge ${\displaystyle K\subset \mathbb {C} }$ kann man zeigen, dass genau dann ${\displaystyle K=\sigma (a)}$ gilt für eine kommutative ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Banachalgebra mit Einselement, die von einem Element ${\displaystyle a\in A}$ erzeugt wird, wenn ${\displaystyle K}$ kompakt und ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus K}$ zusammenhängend ist.

Eine entsprechende topologische Charakterisierung von Mengen im ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, die als gemeinsames Spektrum von erzeugenden Elementen ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ einer kommutativen ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Banachalgebra mit Einselement auftreten, gelingt nicht. Da eine kompakte Menge ${\displaystyle K\subset \mathbb {C} }$ genau dann polynomkonvex ist, wenn ${\displaystyle \mathbb {C} \setminus K}$ zusammenhängend ist, stellt der folgende Satz eine Verallgemeinerung obigen Sachverhaltes dar:

Für eine Menge ${\displaystyle K\subset \mathbb {C} ^{n}}$ sind folgende Aussagen äquivalent:

• Es gibt eine kommutative ${\displaystyle \mathbb {C} }$-Banachalgebra mit Einselement, die von ${\displaystyle n}$ Elementen ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in A}$ erzeugt wird, so dass ${\displaystyle K=\sigma (a_{1},\ldots ,a_{n})}$.
• ${\displaystyle K}$ ist kompakt und polynomkonvex.

Hat m​an endlich v​iele Elemente, d​ie nicht d​ie gesamte Banachalgebra erzeugen, s​o ist d​eren gemeinsames Spektrum i​m Allgemeinen n​icht polynomkonvex.

Literatur

• F. F. Bonsall, J. Duncan: Complete Normed Algebras. Springer-Verlag 1973, ISBN 3540063862
• Lars Hörmander: An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, North-Holland Mathematical Library 1973