Maximalitätssatz von Wermer

Der Maximalitätssatz v​on Wermer, a​uch Wermers Maximalitätssatz genannt, englisch Wermer's maximality theorem, i​st ein mathematischer Lehrsatz, welcher zwischen Funktionentheorie u​nd Funktionalanalysis angesiedelt ist. Der Satz g​eht zurück a​uf den Mathematiker John Wermer u​nd behandelt Maximalitätseigenschaften e​iner speziellen banachschen Funktionenalgebra über d​em Körper d​er komplexen Zahlen.[1]

Formulierung des Satzes

Der Maximalitätssatz v​on Wermer lässt s​ich angeben w​ie folgt:[1]

Sei ${\displaystyle \mathbb {D} =\{z\in \mathbb {C} \colon |z|\leq 1\}\subseteq \mathbb {C} }$ die abgeschlossene Einheitskreisscheibe im Körper der komplexen Zahlen, deren topologischer Rand die Einheitssphäre ${\displaystyle S^{1}=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|=1\}}$ ist.[2]

Sei dazu ${\displaystyle {\mathcal {C}}={\mathcal {C}}(S^{1}\;,\;\mathbb {C} )}$ die ${\displaystyle \mathbb {C} }$ -Banachalgebra der stetigen komplexwertigen Funktionen ${\displaystyle f\colon S^{1}\to \mathbb {C} }$ , versehen mit den üblichen punktweise definierten Operationen und der Maximumsnorm.

Hier sei schließlich ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ die Teilmenge derjenigen Funktionen ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}}$, welche eine stetige Fortsetzung auf ${\displaystyle \mathbb {D} }$ derart besitzen, dass diese Fortsetzungsfunktion auf der offenen Einheitskreisscheibe ${\displaystyle \mathbb {E} ={\mathbb {D} }^{\circ }=\{z\in \mathbb {C} \colon |z|<1\}}$ sogar holomorph ist.[3][4]

Dann gilt:

${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ bildet eine echte abgeschlossene Teilalgebra von ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ und ist als solche maximal.

Das bedeutet:

${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ist eine echte abgeschlossene Teilalgebra von ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ und es existiert keine andere abgeschlossene Teilalgebra ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ von ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ mit ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subsetneqq {\mathcal {B}}\subsetneqq {\mathcal {C}}}$.

Charakterisierung der Teilalgebra

Hinsichtlich der Zugehörigkeit einer gegebenen Funktion ${\displaystyle f\in {\mathcal {C}}}$ zu der Teilalgebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ gilt das folgende Kriterium:[1]

${\displaystyle f\in {\mathcal {A}}\iff }$     ${\displaystyle \forall k\in \mathbb {N} \colon \int _{0}^{2\pi }f(e^{{i}\phi })\;e^{ik\phi }\;d{\phi }=0}$

Verallgemeinerung des Maximalitätssatzes

Wermers Maximalitätssatz hat folgende Verallgemeinerung, aus der unter anderem hervorgeht, dass neben ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ noch weitere maximale abgeschlossenen Teilalgebren in ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ existieren:[1]

Sei ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ eine abgeschlossene Teilalgebra von ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$, welche

(1) die konstanten komplexwertigen Funktionen enthält

und

(2) eine Funktion ${\displaystyle g\in {\mathcal {C}}}$ , deren Einschränkung ${\displaystyle g{\upharpoonright }{S^{1}}}$ auf die Einheitssphäre injektiv ist .

Dann bildet ${\displaystyle {\mathcal {D}}}$ eine echte abgeschlossene Teilalgebra von ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ , welche als solche maximal ist, oder es ist ${\displaystyle {\mathcal {D}}={\mathcal {C}}}$.

Siehe auch

• Diskalgebra

Quellen

• Paul J. Cohen: A note on constructive methods in Banach algebras. In: Proceedings of the American Mathematical Society. Band 12, 1961, S. 159–163, doi:10.2307/2034144. MR0124515
• Edmund Landau, Dieter Gaier: Darstellung und Begründung einiger neuerer Ergebnisse der Funktionentheorie. 3., erweiterte Auflage. Springer-Verlag, Berlin (u.   a.) 1986, ISBN 3-540-16886-9. MR0869998
• G. Lumer: On Wermer's maximality theorem. In: Inventiones Mathematicae. Band 8, 1969, S. 236–237, doi:10.1007/BF01406075. MR0251542
• Walter Rudin: Analyticity, and the maximum modulus principle. In: Duke Mathematical Journal. Band 20, 1953, S. 449–457, doi:10.1215/S0012-7094-53-02045-6. MR0056076
• John Wermer: On algebras of continuous functions. In: Proceedings of the American Mathematical Society. Band 4, 1953, S. 866–869, doi:10.2307/2031819. MR0058877

Einzelnachweise

1. Edmund Landau, Dieter Gaier: Darstellung und Begründung einiger neuerer Ergebnisse der Funktionentheorie. 1986, S. 174–181
2. ${\displaystyle z\mapsto |z|}$ ist die komplexe Betragsfunktion.
3. ${\displaystyle \mathbb {E} }$ besteht also aus den inneren Punkten von ${\displaystyle \mathbb {D} }$ .
4. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ist im Wesentlichen mit der Diskalgebra gleichzusetzen.