Takai-Dualität

Takai-Dualität, benannt nach Hiroshi Takai, ist ein Konzept aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Ist ein C*-dynamisches System mit einer abelschen, lokalkompakten Gruppe, so operiert die Dualgruppe auf derart, dass man die C*-Algebra bis auf Tensorierung mit den kompakten Operatoren aus zurückgewinnen kann.

Die duale Operation

Es sei ein C*-dynamisches System mit einer abelschen, lokalkompakten Gruppe . Dann gibt es dazu die Dualgruppe der stetigen Gruppenhomomorphismen , die mit der Topologie der kompakten Konvergenz wieder eine, abelsche, lokalkompakte Gruppe ist. Weiter sei die in dicht liegende Faltungsalgebra der stetigen Funktionen mit kompaktem Träger. Für sei

, wobei .

Dann lässt sich zu einem ebenso bezeichneten Automorphismus auf ausdehnen und ist ein Gruppenhomomorphismus von der Dualgruppe in die Automorphismengruppe von , der zu einem C*-dynamischen System macht, das man das duale C*-dynamische System nennt.

Dualitätssatz von Takai

Es sei ein C*-dynamisches System mit einer abelschen, lokalkompakten Gruppe und sei das duale C*-dynamische System. Ist die C*-Algebra der kompakten Operatoren über dem Hilbertraum der bzgl. des Haarmaßes quadratintegrierbaren Funktionen, so ist .[1][2][3]

Bemerkungen

Dies i​st eine Analogie z​ur auf Takesaki zurückgehenden Dualität für W*-dynamischen Systeme. Die Tensorierung m​it der vollen Operatorenalgebra für Von-Neumann-Algebren i​st bei d​er hier vorgestellten Takai-Dualität d​urch das Tensorieren m​it der C*-Algebra d​er kompakten Operatoren ersetzt.

Ist separabel, zum Beispiel wenn abzählbar unendlich und diskret ist, so ist isomorph zur C*-Algebra der kompakten Operatoren über dem Folgenraum . Man nennt zwei C*-Algebren und stabil-isomorph, wenn . Der Satz über die Takei-Dualität sagt somit, dass das Kreuzprodukt des zu dualen C*-dynamischen Systems stabil-isomorph zu ist.

Ist eine endliche Gruppe der Ordnung , so ist und daher . Insbesondere folgt bis auf Isomorphie und man erhält eine handliche Realisierung des Kreuzproduktes als Unteralgebra einer Matrizenalgebra.

Ist als konkretes Beispiel die zweielementige Gruppe, so ist und ein Automorphismus mit . Man erhält mit obiger Isomorphie

.

Um dann daraus zu erhalten, muss man nach obigem Satz die duale Operation von auf betrachten. ist natürlich die Identität auf dem Kreuzprodukt und

.

Wendet man darauf dieselbe Einbettung in die Matrizenalgebra an, erhält man insgesamt eine Unteralgebra von , von der man zeigen kann, dass sie zu isomorph ist.

Einzelnachweise

  1. Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Satz 10.1.2
  2. H. Takai: On a duality for crossed products of C*-algebras, Journal of Functional Analysis, Band 19 (1975), Seiten 25–39
  3. Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Satz 7.9.3
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