Takai-Dualität
Takai-Dualität, benannt nach Hiroshi Takai, ist ein Konzept aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis. Ist ein C*-dynamisches System mit einer abelschen, lokalkompakten Gruppe, so operiert die Dualgruppe auf derart, dass man die C*-Algebra bis auf Tensorierung mit den kompakten Operatoren aus zurückgewinnen kann.
Die duale Operation
Es sei ein C*-dynamisches System mit einer abelschen, lokalkompakten Gruppe . Dann gibt es dazu die Dualgruppe der stetigen Gruppenhomomorphismen , die mit der Topologie der kompakten Konvergenz wieder eine, abelsche, lokalkompakte Gruppe ist. Weiter sei die in dicht liegende Faltungsalgebra der stetigen Funktionen mit kompaktem Träger. Für sei
- , wobei .
Dann lässt sich zu einem ebenso bezeichneten Automorphismus auf ausdehnen und ist ein Gruppenhomomorphismus von der Dualgruppe in die Automorphismengruppe von , der zu einem C*-dynamischen System macht, das man das duale C*-dynamische System nennt.
Dualitätssatz von Takai
Es sei ein C*-dynamisches System mit einer abelschen, lokalkompakten Gruppe und sei das duale C*-dynamische System. Ist die C*-Algebra der kompakten Operatoren über dem Hilbertraum der bzgl. des Haarmaßes quadratintegrierbaren Funktionen, so ist .[1][2][3]
Bemerkungen
Dies ist eine Analogie zur auf Takesaki zurückgehenden Dualität für W*-dynamischen Systeme. Die Tensorierung mit der vollen Operatorenalgebra für Von-Neumann-Algebren ist bei der hier vorgestellten Takai-Dualität durch das Tensorieren mit der C*-Algebra der kompakten Operatoren ersetzt.
Ist separabel, zum Beispiel wenn abzählbar unendlich und diskret ist, so ist isomorph zur C*-Algebra der kompakten Operatoren über dem Folgenraum . Man nennt zwei C*-Algebren und stabil-isomorph, wenn . Der Satz über die Takei-Dualität sagt somit, dass das Kreuzprodukt des zu dualen C*-dynamischen Systems stabil-isomorph zu ist.
Ist eine endliche Gruppe der Ordnung , so ist und daher . Insbesondere folgt bis auf Isomorphie und man erhält eine handliche Realisierung des Kreuzproduktes als Unteralgebra einer Matrizenalgebra.
Ist als konkretes Beispiel die zweielementige Gruppe, so ist und ein Automorphismus mit . Man erhält mit obiger Isomorphie
- .
Um dann daraus zu erhalten, muss man nach obigem Satz die duale Operation von auf betrachten. ist natürlich die Identität auf dem Kreuzprodukt und
- .
Wendet man darauf dieselbe Einbettung in die Matrizenalgebra an, erhält man insgesamt eine Unteralgebra von , von der man zeigen kann, dass sie zu isomorph ist.
Einzelnachweise
- Bruce Blackadar: K-Theory for Operator Algebras, Springer Verlag (1986), ISBN 3-540-96391-X, Satz 10.1.2
- H. Takai: On a duality for crossed products of C*-algebras, Journal of Functional Analysis, Band 19 (1975), Seiten 25–39
- Gert K. Pedersen: C*-Algebras and Their Automorphism Groups, Academic Press Inc. (1979), ISBN 0125494505, Satz 7.9.3