Sublineare Funktion

Eine sublineare Funktion o​der sublineare Abbildung i​st in d​er linearen Algebra e​ine reellwertige Funktion a​uf einem reellen o​der komplexen Vektorraum, d​ie positiv homogen u​nd subadditiv ist. Sublineare Funktionen stellen d​amit eine gewisse Verallgemeinerung v​on linearen Funktionen dar, d​ie als jeweils stärkere Anforderungen homogen u​nd additiv s​ein müssen. Jede sublineare Funktion i​st insbesondere konvex; umgekehrt i​st jede positiv homogene u​nd konvexe Funktion sublinear. Sublineare Funktionen spielen i​n der Funktionalanalysis i​m Satz v​on Hahn-Banach e​ine zentrale Rolle.

Beispiel einer sublinearen Funktion einer reellen Variablen

Definition

Eine reellwertige Funktion ${\displaystyle f\colon V\rightarrow \mathbb {R} }$ auf einem Vektorraum ${\displaystyle V}$ über den reellen oder komplexen Zahlen heißt sublinear, wenn für alle positiven reellen Zahlen ${\displaystyle \alpha >0}$ und für alle Vektoren ${\displaystyle x,y\in V}$ die folgenden beiden Bedingungen erfüllt sind:[1]

• ${\displaystyle f(\alpha \cdot x)=\alpha \cdot f(x)}$    (Positive Homogenität)
• ${\displaystyle f(x+y)\leq f(x)+f(y)}$    (Subadditivität)

Die hierbei geforderte Homogenität ist vom Grad eins. Die Einschränkung von ${\displaystyle \alpha }$ auf die positiven reellen Zahlen in der Definition ist wichtig, denn subadditive und für alle reelle Zahlen homogene Funktionen sind bereits additiv und damit linear.[2]

Beispiele

Die euklidische Norm (hier in zwei reellen Dimensionen) ist eine sublineare Funktion

• Reellwertige lineare Funktionen sind sublinear; gleiches gilt auch für den Betrag reell- oder komplexwertiger linearer Funktionen.
• Normen und Halbnormen sind sublinear; ebenso Minkowski-Funktionale auf konvexen und absorbierenden Mengen.
• Für beschränkte komplexwertige Folgen ist der Limes superior der Realteile der Folgenglieder eine sublineare Abbildung.[1]

Eigenschaften

Nullstellen

Im Nullpunkt besitzt eine sublineare Funktion immer den Wert Null, was aus der positiven Homogenität durch Setzen von ${\displaystyle x=0}$ über

${\displaystyle f(0)=f(\alpha \cdot 0)=\alpha \cdot f(0)~~\forall \alpha >0~\Rightarrow ~f(0)=0}$

folgt. Daher kann die Forderung der positiven Homogenität auch auf die nichtnegativen reellen Zahlen ${\displaystyle \alpha \geq 0}$ erweitert werden. Eine sublineare Funktion kann aber auch noch weitere Nullstellen haben; insbesondere ist die Nullfunktion ${\displaystyle f\equiv 0}$ sublinear.

Positivität und Negativität

Sublineare Funktionen können grundsätzlich negative Werte annehmen. Ist aber ${\displaystyle f(x)<0}$ an einer Stelle ${\displaystyle x\in V}$, so muss aufgrund von

${\displaystyle 0=f(0)=f(x+(-x))\leq f(x)+f(-x)}$

an der Stelle ${\displaystyle -x}$ gelten, dass ${\displaystyle f(-x)>0}$ ist. Eine sublineare Funktion nimmt also an mindestens so vielen Stellen positive Werte an, wie sie negative Werte annimmt.

Konvexität

Jede sublineare Funktion ist konvex, was für reelle ${\displaystyle 0\leq t\leq 1}$ aus der Subadditivität und der positiven Homogenität direkt über

${\displaystyle f(tx+(1-t)y)\leq f(tx)+f((1-t)y)=tf(x)+(1-t)f(y)}$

folgt. Umgekehrt ist jede positiv homogene und konvexe Funktion subadditiv und damit sublinear, was durch Setzen von ${\displaystyle t={\tfrac {1}{2}}}$ mittels

${\displaystyle f(x+y)=2f\left({\tfrac {1}{2}}x+{\tfrac {1}{2}}y\right)\leq 2\left(f\left({\tfrac {1}{2}}x\right)+f\left({\tfrac {1}{2}}y\right)\right)=f(x)+f(y)}$

gezeigt werden kann.[3] In d​er obigen Definition k​ann also d​ie Subadditivität a​uch durch Konvexität ersetzt werden.

Anwendung

Eine wichtige Anwendung v​on sublinearen Funktionen findet s​ich im Satz v​on Hahn-Banach. Demnach besitzt e​in lineares Funktional a​uf einem Untervektorraum e​ines reellen Vektorraums, d​as von e​iner sublinearen Funktion beschränkt wird, e​ine lineare Fortsetzung a​uf dem Gesamtraum, d​ie ebenfalls d​urch diese sublineare Funktion beschränkt wird. Als Konsequenz stellt d​er Satz v​on Hahn-Banach d​ie Existenz v​on genügend vielen stetigen u​nd linearen Funktionalen a​uf einem normierten Raum sicher u​nd bildet s​omit eine zentrale Grundlage für d​ie Funktionalanalysis.

Literatur

• Dirk Werner: Funktionalanalysis. Springer, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6.
• Peter Kosmol: Optimierung und Approximation. de Gruyter, 2010, ISBN 978-3-11-021814-5.

Einzelnachweise und Anmerkungen

1. Werner: Funktionalanalysis. S. 93.
2. da dann ${\displaystyle f(x+y)\,=\,-f((-x)+(-y))\,\geq \,-(f(-x)+f(-y))\,=\,f(x)+f(y)}$ und somit ${\displaystyle f(x+y)\,=\,f(x)+f(y)}$ gilt
3. Kosmol: Optimierung und Approximation. S. 46.