Strikt konvexer Raum

Strikt konvexe Räume werden i​m mathematischen Teilgebiet d​er Funktionalanalysis betrachtet. Es handelt s​ich um normierte Räume, d​eren Norm bestimmte geometrische Eigenschaften hat, d​ie für d​ie Optimierungstheorie wichtig sind.

Definitionen

Ist ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ ein reeller normierter Raum, so sei ${\displaystyle X_{1}}$ die Einheitskugel, das heißt die Menge aller Elemente ${\displaystyle x\in X}$ mit ${\displaystyle \|x\|\leq 1}$, ${\displaystyle X\,'}$ sei der Dualraum, das heißt der Banachraum der stetigen linearen Funktionale ${\displaystyle f\colon X\rightarrow \mathbb {R} }$ mit der Dualraumnorm ${\displaystyle \textstyle \|f\|:=\sup _{x\in X_{1}}|f(x)|}$.

Ein reeller normierter Raum ${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$ heißt strikt konvex, wenn er eine der folgenden untereinander äquivalenten Bedingungen erfüllt[1]:

• Ist ${\displaystyle \|x+y\|=\|x\|+\|y\|}$ für ${\displaystyle x,y\in X\setminus \{0\}}$, so gibt es eine reelle Zahl ${\displaystyle \lambda }$ mit ${\displaystyle x=\lambda y}$.
• Ist ${\displaystyle \|x\|=\|y\|=1}$ für zwei verschiedene ${\displaystyle x,y\in X}$, so gilt ${\displaystyle \|\lambda x+(1-\lambda )y\|<1}$ für alle reellen Zahlen ${\displaystyle 0<\lambda <1}$.
• Ist ${\displaystyle \|x\|=\|y\|=1}$ für zwei verschiedene ${\displaystyle x,y\in X}$, so gilt ${\displaystyle \|{\tfrac {1}{2}}(x+y)\|<1}$.
• Die Funktion ${\displaystyle X\rightarrow \mathbb {R} ,\,x\mapsto \|x\|^{2}}$ ist strikt konvex.
• Jedes ${\displaystyle f\in X\,'\setminus \{0\}}$ nimmt das Supremum auf ${\displaystyle X_{1}}$ in höchstens einem Punkt an.

Aus der zweiten Eigenschaft ergibt sich direkt, dass die Menge der Extremalpunkte von ${\displaystyle X_{1}}$ mit dem Rand der Einheitskugel ${\displaystyle \partial X_{1}=\{x\in X;\ \|x\|=1\}}$ zusammenfällt.

Aus d​er vierten Eigenschaft f​olgt die für d​ie Optimierungstheorie wichtige Aussage, d​ass eine konvexe Menge i​n einem strikt konvexen Raum höchstens e​inen Vektor minimaler Länge hat.[2]

Beispiele

• Gleichmäßig konvexe Räume sind strikt konvex, insbesondere also prä-Hilberträume und die L^p-Räume für ${\displaystyle 1<p<\infty }$.
• ${\displaystyle \ell ^{1}}$ ist nicht strikt konvex, denn ist ${\displaystyle x=(1,0,0,\ldots )}$ und ${\displaystyle y=(0,1,0,\ldots )}$, so ist ${\displaystyle \|x+y\|=2=\|x\|+\|y\|}$.
• Jeder endlichdimensionale strikt konvexe Raum ist gleichmäßig konvex. Es gibt strikt konvexe Räume, die nicht gleichmäßig konvex sind; diese müssen dann unendlichdimensional sein.[3] Siehe auch Renormierungssatz.

Glattheit

Die hier vorgestellte Eigenschaft Glattheit (engl.: smoothness) ist die zur strikten Konvexität duale Eigenschaft. Es sei ${\displaystyle F:X\rightarrow {\mathcal {P}}(X\,')}$ die Korrespondenz, die jedem ${\displaystyle x\in X}$ die Menge derjenigen Funktionale ${\displaystyle f\in X\,'}$ mit ${\displaystyle f(x)=\|x\|^{2}=\|f\|^{2}}$ zuordnet. Man nennt ${\displaystyle F}$ auch die Dualitätsabbildung. Nach dem Satz von Hahn-Banach ist ${\displaystyle F(x)\not =\emptyset }$ für alle ${\displaystyle x\in X}$. Man nennt einen normierten Raum glatt, wenn ${\displaystyle F(x)}$ für jedes ${\displaystyle x\in X}$ einelementig ist. Es gilt nun folgender Satz[4][5]:

• Sei ${\displaystyle X}$ ein normierter Raum.

Ist ${\displaystyle X\,'}$ strikt konvex, so ist ${\displaystyle X}$ glatt.

Ist ${\displaystyle X\,'}$ glatt, so ist ${\displaystyle X}$ strikt konvex.

Für reflexive Räume erhält m​an dann perfekte Dualität:

• Sei ${\displaystyle X}$ ein reflexiver Banachraum.

${\displaystyle X\,'}$ ist genau dann strikt konvex, wenn ${\displaystyle X}$ glatt ist.

${\displaystyle X\,'}$ ist genau dann glatt, wenn ${\displaystyle X}$ strikt konvex ist.

Da die Dualitätsabbildung ${\displaystyle F}$ für glatte Räume nur einelementige Bilder hat, kann man sie auch als Funktion ${\displaystyle F:X\rightarrow X\,'}$ betrachten. Man kann zeigen, dass diese Abbildung stetig ist, wenn man auf ${\displaystyle X}$ die Normtopologie und auf ${\displaystyle X\,'}$ die schwach-*-Topologie betrachtet.[6]

Ein Renormierungssatz

In vielen Fällen k​ann man s​ich durch Übergang z​u einer äquivalenten Norm d​ie hier vorgestellten Normeigenschaften verschaffen, d​enn es gilt[7]:

• Jeder separable Banachraum hat eine äquivalente Norm, die sowohl strikt konvex als auch glatt ist.

Insbesondere k​ann man a​uf diese Weise nicht-reflexive, strikt konvexe Banachräume konstruieren. Damit h​at man Beispiele für strikt konvexe a​ber nicht gleichmäßig konvexe Banachräume, d​enn letztere s​ind nach e​inem Satz v​on Milman s​tets reflexiv.

Siehe auch

• Konvexitätsbedingung: für verwandte Klassen normierter Räume

Einzelnachweise

1. V. Barbu, Th. Precupanu: Convexity and Optimization in Banach Spaces, D. Reidel Publishing Company (1986), ISBN 90-277-1761-3, Satz 2.13
2. Peter Kosmol: Optimierung und Approximation, Walter de Gruyter (2010), ISBN 3-110-21814-3, Folgerung aus Satz 3.17.1
3. N. L. Carothers: A short course on Banach space theory, Cambridge University Press (2005), ISBN 0521603722, Kapitel 11, Seite 114
4. V. Barbu, Th. Precupanu: Convexity and Optimization in Banach Spaces, D. Reidel Publishing Company (1986), ISBN 90-277-1761-3, Theorem 2.6
5. N. L. Carothers: A short course on Banach space theory, Cambridge University Press (2005), ISBN 0521603722, Theorem 11.4
6. V. Barbu, Th. Precupanu: Convexity and Optimization in Banach Spaces, D. Reidel Publishing Company (1986), ISBN 90-277-1761-3, Theorem 2.8
7. Joram Lindenstrauss: Handbook of the geometry of Banach spaces Band 1, Elsevier (2001), ISBN 0444828427, Seite 33