Korrespondenz (Mathematik)

In der Mathematik ist der Begriff der Korrespondenz eine Präzisierung des in der älteren mathematischen Literatur häufiger anzutreffenden Begriffs der mehrwertigen Funktion oder Multifunktion. Während eine Funktion im üblichen Sinn jedem Element der Definitionsmenge ein einziges Element der Zielmenge als Funktionswert zuordnet, können bei einer mehrwertigen Funktion einem Element der Definitionsmenge mehrere Elemente der Zielmenge zugeordnet werden. Beim Begriff der Korrespondenz werden diese mehreren Funktionswerte zu einer Menge (also einer Teilmenge der Zielmenge) zusammengefasst. Eine Korrespondenz von einer Menge ${\displaystyle A}$ in eine Menge ${\displaystyle B}$ ist somit eine Funktion, die jedem Element von ${\displaystyle A}$ eine Teilmenge von ${\displaystyle B}$ zuordnet.

Definition

Eine Korrespondenz von einer Menge ${\displaystyle A}$ in eine Menge ${\displaystyle B}$ ist eine Abbildung ${\displaystyle \phi }$ von ${\displaystyle A}$ in die Potenzmenge von ${\displaystyle B}$.

Notation

Eine Korrespondenz von ${\displaystyle A}$ nach ${\displaystyle B}$ wird geschrieben als:

${\displaystyle \phi \colon A\multimap B}$ bzw. ${\displaystyle \phi \colon A\to {\mathfrak {P}}(B).}$

Korrespondenzen als Relation

Eine Korrespondenz ${\displaystyle \phi }$ von ${\displaystyle A}$ nach ${\displaystyle B}$ kann mit der Relation ${\displaystyle R=\{(a,b)\in A\times B\mid b\in \phi (a)\}}$ identifiziert werden, denn aus der Relation ${\displaystyle R\subseteq A\times B}$ erhält man durch die Definition ${\displaystyle \phi (a):=\kappa _{R}(a)=\{b\in B\mid (a,b)\in R\}}$ wieder die Korrespondenz zurück. Näheres siehe:

• Relation §Relationen und Funktionen und
• Funktion §Multifunktionen.

Demnach s​ind Relation u​nd Korrespondenz äquivalente Begriffe, b​ei der Korrespondenz s​teht aber d​ie Interpretation a​ls Abbildung e​iner Menge i​n die Potenzmenge e​iner zweiten i​m Vordergrund.

Im Fall ${\displaystyle B=A}$ stellt die Relation ${\displaystyle R}$ eine Transitionsrelation dar, und ${\displaystyle \Phi =\kappa _{R}}$ ist die zugehörige Transitionsfunktion.

Eigenschaften von Korrespondenzen

Sind ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ topologische Räume, so lassen sich interessante Eigenschaften von Korrespondenzen ${\displaystyle \phi }$ zwischen ${\displaystyle A}$ und ${\displaystyle B}$ definieren.

Man nennt ${\displaystyle \phi }$ abgeschlossen (offen), wenn die zugehörige Relation im Produktraum abgeschlossen (offen) ist.

Ein Fixpunkt einer Korrespondenz ${\displaystyle \phi }$ von ${\displaystyle A}$ nach ${\displaystyle A}$ ist ein Punkt ${\displaystyle a\in A}$ mit ${\displaystyle a\in \phi (a)}$.

Der folgende, nicht-konstruktive Existenzsatz v​on Shizuo Kakutani sichert d​ie Existenz v​on Fixpunkten.

Fixpunktsatz von Kakutani

→ Hauptartikel: Fixpunktsatz von Kakutani

Formulierung des Satzes für ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Sei ${\displaystyle A\subset {\mathbb {R} }^{n}}$ nicht leer, konvex und kompakt, und sei ${\displaystyle \phi \colon A\multimap A}$ eine abgeschlossene Korrespondenz von ${\displaystyle A}$ nach ${\displaystyle A}$ derart, dass ${\displaystyle \phi (a)}$ für jedes ${\displaystyle a}$ konvex und nicht leer ist. Dann besitzt ${\displaystyle \phi }$ einen Fixpunkt.

Anwendungen

Dieser Fixpunktsatz verallgemeinert den brouwerschen Fixpunktsatz, denn eine Abbildung ${\displaystyle f\colon A\rightarrow A}$ kann man als Korrespondenz ${\displaystyle \phi }$ mit ${\displaystyle \phi (a)=\{f(a)\}}$ auffassen, und ein Fixpunkt von ${\displaystyle \phi }$ ist ein Fixpunkt von ${\displaystyle f}$.

In d​er mathematischen Wirtschaftstheorie führt dieser Satz z​u interessanten Existenzsätzen über Gleichgewichtspreise. In d​er mathematischen Spieltheorie h​at John Nash diesen Satz verwendet, u​m die Existenz v​on Gleichgewichtspunkten i​n gewissen kooperativen Zweipersonenspielen z​u zeigen (siehe Nash-Gleichgewicht).

Korrespondenzen in der algebraischen Geometrie

In der algebraischen Geometrie bezeichnet man als Korrespondenz zwischen Varietäten ${\displaystyle X}$ und ${\displaystyle Y}$ eine Untervarietät des Produkts ${\displaystyle X\times Y}$.

Für einen Körper ${\displaystyle K}$ definiert man die Kategorie der Korrespondenzen ${\displaystyle Corr_{K}}$ als die Kategorie, deren Objekte die glatten, projektiven Varietäten über ${\displaystyle K}$ sind und deren Morphismen mittels der Chow-Gruppen gegeben sind durch

${\displaystyle Mor(X,Y):=\bigoplus _{i,j}\left\{{\begin{array}{cc}CH^{\mathrm {dim} (X_{i})}(X_{i}\times Y_{j})&\mathrm {dim} (X_{i})=\mathrm {dim} (Y_{j})\\0&sonst\end{array}}\right\}}$

wobei ${\displaystyle X=\bigcup _{i}X_{i},Y=\bigcup _{j}Y_{j}}$ die Zerlegung der Varietäten in irreduzible Komponenten bezeichnet. Die Komposition zweier Morphismen ${\displaystyle f\in Mor(X,Y),g\in Mor(Y,Z)}$ ist definiert durch

${\displaystyle g\circ f:=(pr_{13})_{*}(((pr_{12})^{*}(f)\cdot (pr_{23})^{*}(g))\in CH^{\mathrm {dim} (X)}(X\times Z),}$

wobei ${\displaystyle pr_{ij}}$ die Projektion von ${\displaystyle X\times Y\times Z}$ auf das Produkt des ${\displaystyle i}$-ten und ${\displaystyle j}$-ten Faktors bezeichnet. Die Identität ${\displaystyle id_{X}}$ ist die Diagonale ${\displaystyle \Delta _{X}\in CH^{\mathrm {dim} (X)}(X\times X)}$.

Literatur

• Heinz König, Michael Neumann: Mathematische Wirtschaftstheorie. Verlag Anton Hain Meisenheim GmbH (1986)
• Burkhard Rauhut, Norbert Schmitz, Ernst-Wilhelm Zachow: Eine Einführung in die mathematische Theorie strategischer Spiele. Teubner Studienbücher (1979)
• Harro Heuser: Lehrbuch der Analysis – Teil 2. 5-te Auflage, Teubner 1990, ISBN 3-519-42222-0, S. 609

Weblinks

• Correspondence, Encyclopedia of Mathematics, Springer